Längenkontraktion

Die Kettensäge ist etwas zu kompliziert. Ich schlage stattdessen einen Ring (blau) und eine Scheibe (rot) vor.


Der Ring dreht sich beispielsweise durch kleine Raketendüsen, und zwischen dem Ring und der Scheibe ist Schmiermittel.

Wenn wir die Anfangsbeschleunigung nicht betrachten:
Aus der Sicht der Scheibe wird der Umfang des Rings kleiner, bis sie sich fest zusammendrücken oder der Ring reißt.
Aus der Sicht des Rings schrumpft die Scheibe, und der Abstand zwischen dem Ring und der Scheibe wird größer.

Jamali schrieb:

Aus der Sicht der Scheibe wird der Umfang des Rings kleiner, bis sie sich fest zusammendrücken oder der Ring reißt.

Also hast du einen Widerspruch in deinen beiden Systemen, denn das da oben klingt als ob der Ring an die Scheibe gedrückt würde, während er hier unten von der Scheibe separiert:
 

Jamali schrieb:

Aus der Sicht des Rings schrumpft die Scheibe, und der Abstand zwischen dem Ring und der Scheibe wird größer.

Der Abstand zwischen Ring und Scheibe ist nicht in Bewegungsrichtung, Lorentzkontraktion gibt es in dieser Richtung also keine. Deine Logik ist noch ärger als die von Badhofer, denn solche Invarianten wie ob sie zusammengedrückt oder auseinandergezogen werden müssen natürlich in allen Systemen übereinstimmen.

badhofer schrieb:

[...] und steht wieder neben seinem Bruder. Dieser ist um 50 Jahre älter geworden, also er ist jetzt 70 Jahre alt. Er selbst ist nur 10 Jahre älter geworden [...]
50 Jahre gleichmäßig geradliniger Flug mit nahezu c

Was verstehst Du denn unter nahezu? Alles ab γ=10? [/quote]
Einer altert um 10 Jahre während der andere um 50 Jahre altert.
Also gilt 10 ∙ γ = 50 ⇔ γ = 5.

Im Übrigen altern beide natürlich ganz gleichmäßig. Bin selten von einem Tag auf den anderen um 10 Jahre gealtert oder sowas, naja manchmal schon. Aber das sah dann immer nur so aus, "aus Sicht von bla..." ;–)
 

Yukterez schrieb:

Jamali schrieb:

Aus der Sicht der Scheibe wird der Umfang des Rings kleiner, bis sie sich fest zusammendrücken oder der Ring reißt.

Also hast du einen Widerspruch in deinen beiden Systemen, denn das da oben klingt als ob der Ring an die Scheibe gedrückt würde, während er hier unten von der Scheibe separiert:
 

Ja, ich meine, ohne die Beschleunigung ist es widersprüchlich, und das ist nicht physikalisch korrekt.

Yukterez schrieb:

Jamali schrieb:

Aus der Sicht des Rings schrumpft die Scheibe, und der Abstand zwischen dem Ring und der Scheibe wird größer.

Der Abstand zwischen Ring und Scheibe ist nicht in Bewegungsrichtung, Lorentzkontraktion gibt es in dieser Richtung also keine. Deine Logik ist noch ärger als die von Badhofer, denn solche Invarianten wie ob sie zusammengedrückt oder auseinandergezogen werden müssen natürlich in allen Systemen übereinstimmen.
 

Ich stelle mir vor, dass der Umfang der Atome bei der Scheibe in Bewegungsrichtung kleiner wird und der Raum zwischen den Atomen sich vergrößert. Dadurch könnten sich diese Atome in die entstandenen freien Räume bewegen (die Anordnung der Atome könnte sich verändern), was eine Schrumpfung der Scheibe bedeuten würde. Wenn sie nicht schrumpft, ändert sich der Durchmesser der Scheibe nicht und müsste viele Risse bekommen.

Rainer Raisch schrieb:

badhofer schrieb:
[...] und steht wieder neben seinem Bruder. Dieser ist um 50 Jahre älter geworden, also er ist jetzt 70 Jahre alt. Er selbst ist nur 10 Jahre älter geworden [...]
50 Jahre gleichmäßig geradliniger Flug mit nahezu c

Was verstehst Du denn unter nahezu? Alles ab γ=10?

Einer altert um 10 Jahre während der andere um 50 Jahre altert.
Also gilt 10 ∙ γ = 50 ⇔ γ = 5 ⇒ v = 1–1/γ² = 0,96 c.

Im Übrigen altern beide natürlich ganz gleichmäßig und nicht sprunghaft.
Bin selten von einem Tag auf den anderen um 10 Jahre gealtert oder sowas, naja manchmal schon.
Aber das sah dann immer nur so aus, "aus Sicht von bla..." ;–) 

Jamali schrieb:

Wenn wir die Anfangsbeschleunigung nicht betrachten:
Aus der Sicht der Scheibe wird der Umfang des Rings kleiner, bis sie sich fest zusammendrücken oder der Ring reißt.
Aus der Sicht des Rings schrumpft die Scheibe, und der Abstand zwischen dem Ring und der Scheibe wird größer.

Wenn Du den Zustand betrachtest, dann "wird" nichts keiner und nichts größer, sondern etwas ist allenfalls kleiner oder größer, nur muss man dann die Vergleichsbasis benennen.
Ich hatte es oben auch schon beschrieben, dass jedes Kettenglied die gegenüberliegenden Kettengleider stark kontrahiert sieht. Der Umfang der Kette ist daher auch aus Sicht der Kette gegenüber den Abständen zu ihren Nachbarn kontrahiert. Insoweit wird sie wohl insgesamt mit der Sicht der Scheibe einig gehen. Beide sind der Ansicht, dass sie schlackern müsste, wenn sie nicht kontrahiert wäre, von zerreißen kann da gar keine Rede sein.
Die Kette sieht die Scheibe kontrahiert, tangential gegenüber orthogonal. Wenn also Kette und Scheibe nicht kontrahiert wären, würde auch wieder alles gut passen.

Das Problem entsteht nur bei der Beschleunigung. Denn nur eines von beiden Bauteilen wird in der Regel beschleunigt. Aus Sicht der Scheibe ist hingegen nur die Kette kontrahiert, genau dies wird durch die Dehnung der Kette bei der Beschleunigung ausgeglichen. Nur die Kette muss mit der Dehnung während der Beschleunigung zurecht kommen, sonst reißt sie dabei.

Rainer Raisch schrieb:

Das Problem entsteht nur bei der Beschleunigung. Denn nur eines von beiden Bauteilen wird in der Regel beschleunigt. Aus Sicht der Scheibe ist hingegen nur die Kette kontrahiert, genau dies wird durch die Dehnung der Kette bei der Beschleunigung ausgeglichen. Nur die Kette muss mit der Dehnung während der Beschleunigung zurecht kommen, sonst reißt sie dabei.

Ja. Das Zwillingsparadoxon ist nicht symmetrisch, da die Zwillinge unterschiedlich alt werden. Dies erklärt man durch die (tatsächliche) Beschleunigung oder den Wechsel des Inertialsystems usw. Bei diesem Beispiel ist ebenfalls eine einseitige Beschleunigung im Spiel und deshalb muss das Ergebnis nicht symmetrisch sein.
Wenn man die (tatsächliche) Beschleunigung (oder den Wechsel des Inertialsystems) nicht berücksichtigt, kann man die Realität beim Wiederzusammenkommen der Zwillinge nicht erklären. Genauso ist es hier.

Die Scheibe erfährt keine Beschleunigung (wie der Zwilling auf der Erde), deshalb gibt es keine Veränderung. Der Ring (die Kette) wird beschleunigt, wodurch eventuelle Veränderungen auftreten. Zum Beispiel könnte sich der Ring zusammenziehen.

Die Kettensäge.Annahme: Ein Beobachter auf dem Blatt sieht nur einen Teil der Kette, wie sie gerade von links nach rechts läuft. Diesen Teil sieht er verkürzt. Wenn es ein Auto wäre, wäre es auch verkürzt und hätte ovale Räder. Wenn die Autos Stossstange an Stossstange fahren, sieht der Beobachter eben verkürzte Autos, die Stossstange an Stossstange fahren. Für den Beobachter auf der Kette ist der Beobachter auf dem Blatt verkürzt, die Kette ist für ihn völlig normal, eine ganz normale Kette eben, wie für den Fahrer im Auto, es ändert sich nichts, die Räder sind rund.Wenn die Kette reissen sollte, liegt das nicht an der Längenkontraktion, sondern an den Fliehkräften am Rundbogen des Blattes. Das soll ja schon bei sehr geringen Geschwindigkeiten passiert sein.... Ich sehe das Problem nicht. Bei der Längenkontraktion wird nichts kontrahiert, es erscheint dem Beobachter, der sich relativ  zu einem anderen Beobachter bewegt einfach so.Es ist doch genau das gleiche wie mit dem Zug und dem Bahnsteig. Oder hab ich den Puck nicht gesehen? Ich versteh den badhofer irgendwie schon. 

relham schrieb:

Ich versteh den badhofer irgendwie schon

Anscheinend nicht, denn du redest von den Fliehkräften:
 

relham schrieb:

Wenn die Kette reissen sollte, liegt das nicht an der Längenkontraktion, sondern an den Fliehkräften am Rundbogen des Blattes

die weder bei Badhofer:
 

badhofer schrieb:

Die Fliehkraft, die die Kette bei der Umkehr ausgesetzt ist, bleibt unbeachtet 

noch im zu seinem Beispiel äquivalenten Bells Paradoxon eine Rolle spielen, dort reißt die Kette ohne irgendwelche Fliehkräfte.

relham schrieb:

 Oder hab ich den Puck nicht gesehen?

Ja, so ist es.
Bei der Beschleunigung wirkt sich die Lorentzkontraktion aus. Die Kette müsste sich also aus Sicht der Scheibe verkürzen. Da aber die Position jedes Punktes bei der Beschleunigung quasi erhalten bleibt (ihre Abstände bleiben gleich), ergeben sich für die Moleküle der Kette aus der Lorentzkontraktion tatsächliche Dehnungskräfte.

Bei den üblichen Paradoxa wird der Beobachter bei einer Beschleunigung (zB Zwillingspradoxon) als Punkt angenommen, Seine eigene Größe wird gar nicht behandelt. Aber bei einem Wechsel des IS während der Beschleunigung ändert sich der innere Zustand für jeden Punkt anders, sofern die Beschleunigung nicht für jeden Punkt angepasst ist, das ist ähnlich wie bei den Gezeitenkräften. Denn eine gleichmäßige Beschleunigung orientiert sich immmer am IS beim Beginn der Beschleunigung. Bei der Rotation ist da gar nichts grundsätzlich anders.

Betrachten wir einen Stab. Wenn er beschleunigt wird, wird er lorentzkontrahiert, doch um/an welchem Punkt? Die Spitze? Das Ende? Das Zentrum? Keines davon. Es ist ja offensichtlich, dass jeder Punkt eines rigiden Körpers anders beschleunigt werden müsste. An JEDEM Punkt verkürzen sich die Abstände, aber die Punkte behalten ihre Position, und das geht eben nicht. "Die Schnur reißt", weil die Lorentzkontraktion effektiv zur Dehnung wird. Abhilfe schafft eine Rakete, die nur am Ende beschleunigt wird, da kann das Gesamtgefüge auf den Schub angemessen reagieren und der Lorentzkontraktion folgen. Der Gegenschub beim Bremsen sollte also durch eine vorherige Wende erfolgen und nicht durch eine Umpolung der Triebwerke am hinteren Ende (zB seitlich angebracht) Naja bei dem relativistisch betrachtet  geringen Schub ist das natürlich egal.

relham schrieb:

Wenn die Autos Stossstange an Stossstange fahren, sieht der Beobachter eben verkürzte Autos, die Stossstange an Stossstange fahren. 

Das schon, aber bei der geschlossenen Kette funktioniert das nicht. Wenn alle bewegten Kettenglieder miteinander verbunden bleiben sollen (Stossstange an Stossstange) und mit der Beschleunigung zunehmend verkürzt erscheinen, dann wird doch die gesamte Kette für den ruhenden Beobachter zu kurz für den Umfang. Sie muss also reißen, oder es muss eine wundersame Vermehrung von Kettengliedern geben oder sie werden eben gedehnt durch Dehnungskräfte, damit sie trotzdem auf den Umfang passen. Denn der bleibt ja permanent wie er ist.
 

Ja, ich hatte offensichtlich nicht genau gelesen und der Puck ist zu schnell an mir vorbeigeflogen. Ich habe nicht gemerkt, dass es hier offenbar um die Beschleunigung der Kette geht. Sorry!

relham schrieb:

Ich habe nicht gemerkt, dass es hier offenbar um die Beschleunigung der Kette geht. Sorry!

Mir geht es auch nicht um die Beschleunigung der Kette. Nachdem die Kette auch im geraden Teil während der vollen Geschwindigkeit aus der Sicht des Schwertes kontrahiert, habe ich alles ignoriert, was nicht diesen Bereich betrifft.

> Hier eine Zusammenfassung von dem ganzen Geschehen
 

badhofer schrieb:

Nachdem die Kette auch im geraden Teil während der vollen Geschwindigkeit aus der Sicht des Schwertes kontrahiert

Wenn zwei lange Stäbe oder Ketten aneinander vorbeifliegen, dann sind sie gegenseitig kontrahiert, da gibt es ja kein geometrisches Problem (außer der paradoxen Vorstellung). Warum sollte da eines von beiden Teilen reißen. Dieses Problem ergibt sich erst durch die zyklische Anordnung. Und auch hier kann ja bei unveränderter Geschwindigkeit nichts "passieren", das bedarf immer der Beschleuigung also einen vorher / nachher Vergleich.

Deine Fragen sind allerdings immer wieder so schwammig und unpräzise formuliert, dass man darauf gar nicht antworten sollte, anstatt vernünftige Randbedingungen zu unterstellen, die Du selber gar nicht verstanden hast.

badhofer schrieb:

Mir geht es auch nicht um die Beschleunigung der Kette.

Dann gibt es auch kein Problem mit der Längenkontraktion. Wenn sie bei voller Geschwindigkeit auf das Schwert passt, dann gilt das sowohl aus Sicht des Schwertes als auch aus Sicht der Kette. Dasselbe wenn sie relativ zum Schwert ruhend auf das Schwert passt. Dann passt sie natürlich auch für beide Systeme drauf.

In deinem Link steht: "Im System des Schwertes verkürzt sich die Kette. Die Kette reißt."
Das ist falsch. Sie verkürzt sich nicht, sondern ist bei voller Geschwindigkeit einfach kürzer als im Ruhesystem des Schwertes. Da du keine Beschleunigung willst, also auch kein Abbremsen ins Ruhesystem des Schwertes, bleibt es auch permanent so. Die Kette läuft volle Kanne auf dem Schwert und alles ist galaktisch gut.

In deinem Link steht: "Im System der Kette verkürzt sich das Schwert. Die Kette hängt durch."
Das ist auch falsch. Es verkürzt sich nicht, sondern ist bei voller Geschwindigkeit einfach kürzer als im Ruhesystem der Kette, aus Sicht von Kettengliedern auf einer Längsseite. Da du keine Beschleunigung willst, also auch kein Abbremsen ins Ruhesystem der Kette, bleibt es auch permanent so. Das Schwert läuft volle Kanne unter der Kette, und alles ist galaktisch gut.

Daran ändert sich erst etwas bei Beschleunigen oder Bremsen:
Passt die Kette ruhend auf das Schwert, dann reißt sie beim Beschleunigen oder das Schwert bricht.
Passt die Kette bei full speed auf das Schwert, dann reißt sie beim Bremsen oder das Schwert bricht (denk' ich mal), nee, dann müsste sie beim Bremsen zunehmend durchhängen.
 

badhofer schrieb:

Mir geht es auch nicht um die Beschleunigung der Kette.

In deinem Ursprungsposting spielt nur die Fliehkraftbeschleunigung am Umkehrpunkt der Kette keine Rolle, die geradlinige Beschleunigung entlang der geradlinigen Strecke aber schon, denn zunehmende Geschwindigkeit ist falls du das vergessen haben solltest das gleiche wie Beschleunigung:
 

badhofer schrieb:

Mit zunehmender Geschwindigkeit wird sie immer kürzer, denn bewegte Objekte verkürzen sich in der Bewegungsrichtung.

Wenn die Beschleunigung also keine Rolle spielen würde hättest du sie auch nicht extra schon im Eingangsbeitrag erwähnen müssen, anscheinend weißt du selbst nicht was du willst.

Gegenfrage:
Warum sollte sich die Kette in ihrem Ruhesystem darum scheren wie sie im Ruhesystem des Blattes ausschaut?

Antwort:
Es gibt kein Ruhesystem der Kette. Die Kettenglieder liegen auf dem geradlinigen Teil zunächst einfach da während das Ende des Blattes immer näher rückt,
fallen dann plötzlich an den Umkehrpunkten runter (beschleunigt) um dann mit doppelter Geschwindigkeit an den noch oben liegenden Kettengliedern vorbei zu rasen.

Aus Sicht der Kettenglieder verkürzt sich zwar das Blatt einfach, aber der gegenüberliegende Teil der Kette verkürzt sich doppelt (relativistisch).
Nun betrifft die doppelte Verkürzung nur die Hälfte der Kettenglieder.
Wirklich die Hälfte? Wohl nicht. Weil das Blatt verkürzt erscheint passen weniger als die Hälfte der Kettenglieder auf den oberen Teil des Blatts und es stünden mehr Kettenglieder für den rücklaufenden Teil zur Verfügung.

Die Frage die nun aufaucht ist die: Hebt sich das Mehr an Kettengliedern für den Rücklauf mit der doppelten Verkürzung genau auf?

PS: mit doppelter Verkürzung meine ich das Resultat aus der relativistischen Geschwindigkeitsaddition. Die Rechnung hab ich mir im Text erspart.

Merilix schrieb:

Die Frage die nun aufaucht ist die: Hebt sich das Mehr an Kettengliedern für den Rücklauf mit der doppelten Verkürzung genau auf?

Dazu muss man die roten Pfeile die in dem Diagramm von Seite 3 die horizontale Achse schneiden zählen (es sind 10, die am linken Rand ist schon ein infinitesimal außerhalb der Plotrange die hier die Schwertlänge repräsentieren soll) und wegen der Pfeile in die andere Richtung die nicht eingezeichnet sind verdoppeln (im Ruhesystem sind das in jede Richtung gleich viele, also 2·10=20).

Dann spiegelt man die Gleichzeitigkeitshyperfläche, zählt die Pfeile die die grün markierte schneiden (diese 5 repräsentieren die Kettenglieder die in die gleiche Richtung laufen) und addiert sie zu den Pfeilen die die orangene schneiden (diese 15 repräsentieren die in die entgegengesetzte Richtung laufenden Kettenglieder). Eigentlich hätte ich streng genommen die Hyperfläche lassen und die Pfeile spiegeln müssen, aber viele Pfeile sind unübersichtlicher als wenige Hyperflächen, und unterm Strich kommt es aufs Gleiche.

Diese beiden Zahlen vergleicht man miteinander, dann sieht man ob die Kette noch immer aus der korrekten Zahl an Kettengliedern besteht (10+10=5+15=20)

Yukterez schrieb:

badhofer schrieb:

Mit zunehmender Geschwindigkeit wird sie immer kürzer, denn bewegte Objekte verkürzen sich in der Bewegungsrichtung.

Da hast du recht. Die Wortwahl ist da nicht eindeutig formuliert. Man kann daraus eine Beschleunigung herauslesen und das wäre falsch. Diese Formulierung ist falsch.

Grundsatzfrage:
Fährt beim Garagenparadoxon das Auto gleichmäßig geradlinig durch die Garage? Oder geht man davon aus, dass das Auto in einer Phase der Beschleunigung durch die Garage fährt? 

Yukterez schrieb:

Merilix schrieb:

Die Frage die nun aufaucht ist die: Hebt sich das Mehr an Kettengliedern für den Rücklauf mit der doppelten Verkürzung genau auf?

Diese beiden Zahlen vergleicht man miteinander, dann sieht man ob die Kette noch immer aus der korrekten Zahl an Kettengliedern besteht (10+10=5+15=20)

 

Das hab ich mir intutiv schon gedacht das sich das ausgeht.
Damit ist klar: für das Schicksal der Kette sind ausschließlich die unvermeidlichen Beschleunigungen an den Enden verantwortlich.

Allerdings ist schwer sich in dem Diagramm zurecht zu finden. Zählt man genauer dann kommen etwas mehr als 5 rote Linien auf die grüne und etwas mehr als 15 auf die gelbe im Diagrammbereich dargestellte Hyperfläche.
Müsste man nicht noch x=+-5 Linien auf die Hyperflächen projizieren? Wenn ich mich recht entsinne müssten diese Punkte auf Hyperbeln liegen um die LK richtig zu berücksichtigen.