Schwerefeld der Erde

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Fluchtgeschwindigkeit und die Schwerkraft hängen ja doch auch zusammen

Man muss hier auch die Geschwindigkeit des Beobachters berücksichtigen.
Das Zentrifugalpotential ist ja genau die Kinetische Energie [...]
ΦZ = - Φrot = - r²ω²/2
de.wikipedia.org/wiki/Zentrifugalkraft#Zentrifugalpotential

Die Fluchtgeschwindigkeit hat doch nichts mit dem Zentrifugalpotential zu tun. Sie beträgt einfach v = √(2MG/r) (Schwarzschild). Damit ergibt sich der gleiche Lorentzfaktor wie in der SRT für die Relativgeschwindigkeit v, und damit auch die gleiche Zeitdilatation:


Wie man damit jetzt konkret rechnen kann z.B. für die Erdkugel oder das Geoid ist mir leider nicht ganz klar. Eigentlich sollte es einfach sein, bin halt nur Laie und komme da schnell an meine Grenzen.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Die Fluchtgeschwindigkeit hat doch nichts mit dem Zentrifugalpotential zu tun. Sie beträgt einfach v = √(2MG/r) (Schwarzschild).

Nein, das wäre nur für einen ruhenden Beobachter so. Die (benötigte) Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich letztlich aus der Gesamtenergie eines Teichens. Solange diese zB σ·γ=1 beträgt, ist ein Teilchen ungebunden, es bedarf keiner (zusätzlichen) Fluchtgeschwindigkeit.
Allerdings ist es hier ja umgekehrt, hier geht es um σ/γ, also die Zeitdilatation.
Ich fürchte, Yukterez lag hier falsch. Sonst müsste das Ellipsoid ja prograd sein.
Natürlich ist die Fluchtgeschwindigkeit am Äquator geringer als am Pol, drum starten hier ja die Weltraumflüge.
 

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Die Fluchtgeschwindigkeit hat doch nichts mit dem Zentrifugalpotential zu tun. Sie beträgt einfach v = √(2MG/r) (Schwarzschild).

Nein, das wäre nur für einen ruhenden Beobachter so. 

Du verstehst mich nicht. Die Masse M ist in Ruhe bei Schwarzschild. Da rotiert nichts und es gibt keine kinetische Energie. Um da weg zu kommen z.B. von der Oberfläche (im Abstand r zum Zentrum) bis ins Unendliche braucht es die Fluchtgeschwindigkeit v = √(2MG/r).

Ich bin hier immer nur bei der rein gravitativen Zeitdilatation. Alles kinetische kommt dann evtl. dazu. Aber davon rede ich hier nicht, noch nicht. Ich will das schrittweise verstehen und in Einzeldosen zusammenbauen, nicht gleich alle Zutaten nach Gutdünken in den Topf werfen.

Natürlich ist die Fluchtgeschwindigkeit am Äquator geringer als am Pol, drum starten hier ja die Weltraumflüge.

Ja, weil der Abstand r zum Gravizentrum größer ist als am Pol. Man sollte also schon allein über den Unterschied in der Fluchtgeschwindigkeit den Zeitunterschied zw. Äquator und Pol bestimmen können. Den rein gravitativen, wohl gemerkt.

Rainer Raisch schrieb:

Natürlich ist die Fluchtgeschwindigkeit am Äquator geringer als am Pol, drum starten hier ja die Weltraumflüge.
 

Aber nur in eine Richtung.
Sie setzt sich aus der Leistung der Rakete (Beschleunigungsstärke) und der Oberflächengeschwindigkeit der Startrampe gegen das ECI zusammen.

Kurt

Yukterez schrieb:

Die gravitative Zeitdilatation hängt nicht von der Schwerkraft sondern von der Fluchtgeschwindigkeit ab.

Rainer Raisch schrieb:

Ich fürchte, Yukterez lag hier falsch. Sonst müsste das Ellipsoid ja prograd sein.

Du verwechselst die gravitative mit der totalen Zeitdilatation.
 

Rainer Raisch schrieb:

Natürlich ist die Fluchtgeschwindigkeit am Äquator geringer als am Pol, drum starten hier ja die Weltraumflüge.

Die starten vor allem deshalb am Äquator weil die Rakete dort wegen der Erdrotation mit 1670 km/h startet wenn sie nach Osten fliegt, während sie am Pol mit 0 km/h starten würde. 

Für die Erde wird das hier bei 6.33 vorgerechnet.

In dem verlinkten Paper steht was Interessantes: Die Erde ist ja gerade deswegen ein Rotationsellipsoid und keine Kugel, weil sich das Potential angleicht. Die Zentrifugalbeschleunigung sogt dafür.

Ohne Rotation wäre die Fallbeschleunigung überall gleich und der Planet kugelförmig. Mit Rotation ist die Fallbeschleunigung am Äquator um die Zentrifugalbeschl. reduziert, und das Material darf sich deshalb weiter weg vom Zentrum aufhalten: Der Planet wird breiter als hoch.

Weil er keine Kugelform hat, kann man nicht einfach die Fluchtgeschwindigkeit überall mit √(2MG/r) ansetzen. Man müsste sie anders ermitteln... fragt sich nur wie genau. Dann könnte man auch einfach auf die Zeitdilatation schließen über den oben genannten Zusammenhang.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Weil er keine Kugelform hat, kann man nicht einfach die Fluchtgeschwindigkeit überall mit √(2MG/r) ansetzen. Man müsste sie anders ermitteln... fragt sich nur wie genau. Dann könnte man auch einfach auf die Zeitdilatation schließen über den oben genannten Zusammenhang.

Die inhomogene Dichte der Erde zu integrieren ist mehr Arbeit als die totale Zeitdilatation durch die kinematische zu dividieren um die gravitative zu erhalten, dann hat man die Fluchtgeschwindigkeit relativ zum Erdmittelpunkt.

Wenn wir auch die Erbsen an den hintersten Nachkommastellen zählen wollen müssen wir auch das Frame Dragging berücksichtigen, aber das ist bei der Erde so schwach dass wir es hier nicht unnötig verkomplizieren wollen.

Yukterez schrieb:

 
Die starten am Äquator weil die Rakete dort wegen der Erdrotation mit 1670 km/h startet, während sie am Pol mit 0 km/h starten würde.

Wie kommst du auf den Wert 1670 km/h?

Steinzeit-Astronom schrieb:

Wie kommst du auf den Wert 1670 km/h?

Man dividiert den Erdumfang durch 24 Stunden.

Wenn man nicht nach Osten sondern Westen startet werden einem diese 1670 km/h natürlich nicht aufgerechnet sondern abgezogen.

Yukterez schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Weil er keine Kugelform hat, kann man nicht einfach die Fluchtgeschwindigkeit überall mit √(2MG/r) ansetzen. Man müsste sie anders ermitteln... fragt sich nur wie genau. Dann könnte man auch einfach auf die Zeitdilatation schließen über den oben genannten Zusammenhang.

Die inhomogene Dichte der Erde zu integrieren ist mehr Arbeit als die totale Zeitdilatation durch die kinematische zu dividieren um die gravitative zu erhalten, dann hat man die Fluchtgeschwindigkeit relativ zum Erdmittelpunkt.

Mir geht es jetzt nicht um praktische Rechentricks, die wenig Arbeit machen, sondern um's Grundverständnis. Die Arbeit kann ich dann einem Computer aufhalsen, wenn ich das Grundverständnis habe und ihm sagen kann wie er arbeiten soll. Meiner kennt zum Glück keine Faulheit. 
 Die Masseverteilung im Ellipsoid darf meinetwegen als homogen angenommen werden. Da bleibt wohl trotzdem noch genügend Arbeit.

Yukterez schrieb:

Wenn wir auch die Erbsen an den hintersten Nachkommastellen zählen wollen müssen wir auch das Frame Dragging berücksichtigen, aber das ist bei der Erde so schwach dass wir es hier nicht unnötig verkomplizieren wollen.

Einverstanden, zumal ich das Frame Dragging eigtl. nur vom Hörensagen kenne. 

Steinzeit-Astronom schrieb:

Mir geht es jetzt nicht um praktische Rechentricks, die wenig Arbeit machen, sondern um's Grundverständnis.

Vom Grundverständnis her liegen beiden Methoden auf dem selben Niveau, man muss nur die Frequenz eines Fixsterns messen und den kinematischen Doppler wegdividieren.
 

Steinzeit-Astronom schrieb:

Die Arbeit kann ich dann einem Computer aufhalsen, wenn ich das Grundverständnis habe und ihm sagen kann wie er arbeiten soll. Meiner kennt zum Glück keine Faulheit.

Wenn dein Programm bis ins Unendliche integrieren kann siehe unten, ansonsten musst du so weit integrieren wie du kannst um anzunähern.
 

Steinzeit-Astronom schrieb:

Die Masseverteilung im Ellipsoid darf meinetwegen als homogen angenommen werden. Da bleibt wohl trotzdem noch genügend Arbeit.

Für die homogene Dichte siehe hier.  Welche Methode du bevorzugst wird wahrscheinlich davon abhängen wie chinesisch die andere Methode aussieht, und wenn ich mich in dich hineinversetze wird wahrscheinlich die Methode mit dem Doppler weniger Hieroglyphen haben da sie ohne Summen und Integrale auskommt. Unterm Strich ist diese auch genauer da man den Fehler den man sich mit der homogenen Annahme (oder mit PREM oder N20A mit der Radialsymmetrie) einhandeln würde nicht mitschleppt.

Hier wo wir das Potential brauchen ist es sogar einfacher mit Einstein zu rechnen als mit Newton, denn mit Newton müsste man für ein genaues Ergebnis die Dichteschwankungen im Inneren der Erde vermessen und numerisch integrieren, während man mit Einstein einfach nur die eigene Geschwindigkeit kennen und die Frequenz eines Sterns vergleichen muss, dann kommt man mit den Grundrechenarten aus.

Kurt schrieb:

Aber nur in eine Richtung.

Darauf wollte ich zwar hinaus, aber zunächst wollte ich nur von der stationären Wirkung sprechen.

So ich habs mal durchgerechnet:
Am Pol haben wir (γ=1)
σ/γ = 0.9999999993023175
und am Äquator
σ/γ = 0.999999999303444

Steinzeit-Astronom schrieb:

Einverstanden, zumal ich das Frame Dragging eigtl. nur vom Hörensagen kenne. 

Mit Frame Dragging ist es eigentlich auch gar nicht so viel schwerer, der Zusammenhang zwischen gravitativer Zeitdilatation, potentieller Energie und radialer Fluchtgeschwindigkeit besteht eh auch bei Kerr, nur ist die Geschwindigkeit dann nicht relativ zum FIDO sondern zum ZAMO.

Yukterez schrieb:

Welche Methode du bevorzugst [...]

Wer die Wahl hat, hat die Qual. Das wird mir dann doch zu aufwendig.

Am besten gefällt mir die Methode mit dem J₂-Term der Multipolentwicklung. Das kommt schon ziemlich gut hin und ist nicht zu aufwendig. Nachteil ist, dass man J₂ jeweils irgendwo nachschlagen muss. Es scheint aber eine gängige Methode zu sein.
. Der dominante Beitrag bei einem abgeplatteten Planeten ist der J₂-Term für n=2:
. Die effektive Gravitationsbeschleunigung erhält man durch den Gradienten: 

So bekommt man das Potential für jeden Breitengrad und der Gradient ist die Fallbeschleunigung g: Letzteres ist relativ leicht zu berechnen und mehr braucht man eigentlich nicht. Einziger Wermutstropfen ist eben der aus dem Hut gezauberte Wert für J₂, der für jeden Himmelskörper anders ist. Für einen frei erfundenen wüsste ich jetzt nicht, wie man ihn bekommen kann. Es ist einfach eine dimensionslose Zahl in der Größenordnung von ca. 1/1000.

Für den effektiven Wert von g muss man schließlich noch die zugehörige Zentrifugalbeschleunigung berücksichtigen. Die hatten wir oben schon einigermaßen abgehakt.

Nachtrag:
Im Lehrbuch, das Yukterez verlinkt, hat ist die Formel für das Quadrupolmoment so notiert (mit a als großer Halbmesser):


Der Faktor 2 im Nenner kommt offenbar von P(cos θ), dem Legendre-Polynom 2.Ordnung P2(x) = ½∙(3x² -1), hier P(cos θ) = ½∙(3cos² θ -1).
Klammert man -GM/r aus  und setzt a = R, dann ist es dasselbe wie oben (was eine KI geliefert hat). Doppelt hält besser.

Yukterez schrieb:

nur ist die Geschwindigkeit dann nicht relativ zum FIDO sondern zum ZAMO.

Die Kerle sind mir suspekt. Beide trinken gern eins über den Durst und dass sie identisch sind, ist ihnen auch zuzutrauen.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Einziger Wermutstropfen ist eben der aus dem Hut gezauberte Wert für J₂, der für jeden Himmelskörper anders ist. Für einen frei erfundenen wüsste ich jetzt nicht, wie man ihn bekommen kann.

Beim Ellipsoid mit konstanter Dichte brauchst du dazu nur den polaren und den äquatorialen Radius, wenn dein Körper eh frei erfunden ist wird dich die homogene Dichte wahrscheinlich eh nicht stören. Für das Zentrifugalpotential bleibt alles gleich, das ist so lange die Rotationsgeschwindigkeit viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist weiterhin Vz=(ω×r)²/2=v²/2 (ω und r als Vektor und mit dem umgekehrten Vorzeichen wie das gravitative Potential).

Yukterez schrieb:

mit dem umgekehrten Vorzeichen wie das gravitative Potential

Nee, das Zentrifugalpotential ist wie das gravitative Potential negativ, im Gegensatz zum Rotationspotential.
Vz/m = Φz = - (ω×r)²/2 = - v²/2

Das ist doch offensichtlich, denn das gravitative Potential ist am Äquator natürlich höher als am Pol, was nur durch ein negatives Zentrifugalpotential ausgeglichen werden kann.

Insoweit ist das schon richtig, wie es bei wiki vorgerechnet wird. Insoweit unterscheiden sich effektives Potential und Äquipotential.

Die "Gleichsetzung" bei wiki habe ich korrigiert.

Rainer Raisch schrieb:

Yukterez schrieb:

mit dem umgekehrten Vorzeichen wie das gravitative Potential

Nee, das Zentrifugalpotential ist wie das gravitative Potential negativ, im Gegensatz zum Rotationspotential.
Vz/m = Φz = - (ω×r)²/2 = - v²/2

Das ist doch offensichtlich, denn das gravitative Potential ist am Äquator natürlich höher als am Pol, was nur durch ein negatives Zentrifugalpotential ausgeglichen werden kann.

Insoweit ist das schon richtig, wie es bei wiki vorgerechnet wird. Insoweit unterscheiden sich effektives Potential und Äquipotential.

Die "Gleichsetzung" bei wiki habe ich korrigiert.

Ha HA was ist das für ein Blödsinn hier?

Es gibt Physikalisch kein Zentrifugalpotential, dies ist ein Mathematisches Konstrukt um die Zentrifugalkraft die nur eine Scheinkraft ist als echte Kraft behandeln zu können.

Physikalisch hat Yukterez also recht und das was RR hier abliefert ist ein Phantasie Produkt das die Realität verzehrt um sie beschreiben zu können.

FabsOtX schrieb:

dies ist ein Mathematisches Konstrukt

Du hat echt keine Ahnung von Physik.

wiki:
Ein Konstrukt ist ein nicht empirisch erkennbarer Sachverhalt innerhalb einer wissenschaftlichen Theorie. Konstrukte sind somit gedanklicher bzw. theoretischer Natur. Das bedeutet nicht, dass der betreffende Sachverhalt nicht „existiert“, sondern nur, dass er aus anderen, messbaren Sachverhalten (Indikatoren) erschlossen wird.

www.metromath.org/theory-benefits-gainin...hematical-constructs
Mathematical constructs are often seen as a daunting and mysterious field, but gaining insight into them can be an incredibly rewarding experience. Understanding the concepts behind mathematical constructs can open up a world of possibilities, from making complex calculations to understanding the inner workings of the universe.

Rainer Raisch schrieb:

FabsOtX schrieb:

dies ist ein Mathematisches Konstrukt

Du hat echt keine Ahnung von Physik.

wiki:
Ein Konstrukt ist ein nicht empirisch erkennbarer Sachverhalt innerhalb einer wissenschaftlichen Theorie. Konstrukte sind somit gedanklicher bzw. theoretischer Natur. Das bedeutet nicht, dass der betreffende Sachverhalt nicht „existiert“, sondern nur, dass er aus anderen, messbaren Sachverhalten (Indikatoren) erschlossen wird.

www.metromath.org/theory-benefits-gainin...hematical-constructs
Mathematical constructs are often seen as a daunting and mysterious field, but gaining insight into them can be an incredibly rewarding experience. Understanding the concepts behind mathematical constructs can open up a world of possibilities, from making complex calculations to understanding the inner workings of the universe.

Du bist es der keine Ahnung hat. Du bist verpflichtet solche Mathematchen Konstrukte in Ausarbeitungen zu Kennzeichen(Benennen oder Diffieren). Das hat NICHTS mit der Realität zu tun.