Schwerefeld der Erde

Wollte mir mal das Schwerefeld z.B. der Erde veranschaulichen.

Als erste Näherung mal eine Vollkugel mit homogener Masseverteilung mit Rotationsgeschwindigkeit  = 2π/Tag. An einem Punkt P₁ auf der Oberfläche gibt es nach Newton die Gravitationsbeschleunigung zum Zentrum hin und außerdem die Zentrifugalbeschleunigung az₁ vertikal zur Rotationsachse und zur Bahngeschwindigkeit   .

Im Bild unten weist ω nach Norden und die Bahngeschwindigkeit v bei P₁ steht senkrecht auf der Zeichenebene:

g₁= –GM/r²  (r = Abstand von P₁ zum Zentrum der Kugel)
az₁ = ω × v = ω × (ω × r) (Vektorprodukt)

az₁ wirkt also senkrecht von der Rotationsachse weg und der Betrag ist
|az₁| = |ω×(ω×r)| sin ∢ (NZP₁) [Z = Punkt im Zentrum der Kugel]

Jetzt kann man angeblich für den Betrag der resultierenden Beschleunigung g₀ am Punkt P₁ einfach die beiden Beträge subtrahieren:
|g₀| = |g₁| - |az₁|.

Fragen:
1. Kann das so stimmen mit dem Betrag? Obwohl az₁ in eine andere Richtung zeigt als g₁? Ist wohl mit dem Sinus erledigt?
2. Wohin zeigt der resultierende Schwerkraftvektor g₀? Wohl nicht mehr zum Zentrum.
3. Gibt es noch weitere grundlegende Kräfte zu berücksichtigen, abgesehen davon, dass die Erde keine Vollkugel ist und die Masseverteilung nicht homogen? 

Letztlich will ich auf eine Berechnung der grav. Zeitdilatation hinaus. Dafür muss das Schwerefeld möglichst genau bekannt sein.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Wollte mir mal das Schwerefeld z.B. der Erde veranschaulichen.

Als erste Näherung mal eine Vollkugel mit homogener Masseverteilung mit Rotationsgeschwindigkeit

 = 2π/Tag. An einem Punkt P₁ auf der Oberfläche gibt es nach Newton die Gravitationsbeschleunigung zum Zentrum hin und außerdem die Zentrifugalbeschleunigung az₁ vertikal zur Rotationsachse und zur Bahngeschwindigkeit 

 .

Im Bild unten weist ω nach Norden und die Bahngeschwindigkeit v bei P₁ steht senkrecht auf der Zeichenebene:

g₁= –GM/r²  (r = Abstand von P₁ zum Zentrum der Kugel)
az₁ = ω × v = ω × (ω × r) (Vektorprodukt)

az₁ wirkt also senkrecht von der Rotationsachse weg und der Betrag ist
|az₁| = |ω×(ω×r)| sin ∢ (NZP₁) [Z = Punkt im Zentrum der Kugel]

Jetzt kann man angeblich für den Betrag der resultierenden Beschleunigung g₀ am Punkt P₁ einfach die beiden Beträge subtrahieren:
|g₀| = |g₁| - |az₁|.

Zwei Fragen:
1. Kann das so stimmen mit dem Betrag, obwohl az₁ in eine andere Richtung zeigt als g₁? Ist wohl mit dem Sinus erledigt?
2. Wohin zeigt der resultierende Schwerkraftvektor g₀? Wohl nicht mehr zum Zentrum.

Mit der Schwerkraft hat das was sich da zeigt nichts zu tun, die kannst du ruhig weglassen. (leg das Rad einfach waagrecht)
Die Schwerkraft dient in den Beispielen und Videos dazu das Rad "am Tisch" zu halten.

Entscheidend ist was ganz anderes, etwas das sich immer zeigt, egal wo sich das Rad auch befinden mag.
Der Grund dafür liegt viel tiefer als hier gezeigt.
Mit diesem "Grund" ist es wohl auch möglich zu erkennen ob bewegt oder ruhend, analog zur U2.

Kurt

Kurt schrieb:

Mit diesem "Grund" ist es wohl auch möglich zu erkennen ob bewegt oder ruhend, analog zur U2.

Du fragst nach dem Grund der Massenträgheit und von Bewegung überhaupt. Ich fürchte, den kann dir niemand sagen. Man kann nur beschreiben wie die Dinge zusammenhängen, nicht was sie sind und warum. Das sind eher naturphilosophische Überlegungen über die man dicke Bücher schreiben kann ohne endgültiges Ergebnis.

Kurt schrieb:

Mit diesem "Grund" ist es wohl auch möglich zu erkennen ob bewegt oder ruhend, analog zur U2.

Ob rotierend oder nicht kann man immer erkennen, z.B. die Tatsache der Erddrehung mit dem Foucaultschen Pendel. Ob geradlinig gleichförmig bewegt oder nicht kann man nicht erkennen ohne Blick auf eine Außenwelt.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Kurt schrieb:

Mit diesem "Grund" ist es wohl auch möglich zu erkennen ob bewegt oder ruhend, analog zur U2.

Ob rotierend oder nicht kann man immer erkennen, z.B. die Tatsache der Erddrehung mit dem Foucaultschen Pendel. Ob geradlinig gleichförmig bewegt oder nicht kann man nicht erkennen ohne Blick auf eine Außenwelt.

Auch wenn du das ständig wiederholst, die U2 zeigt wie man es auch ohne Blick nach aussen erkennen kann.
Ich gehe davon aus, dass man, mit dem Phänomen "Trägheit", das auch erkennen kann.
Und zwar noch viel einfacher als mit einer Uhr.

Kurt

Steinzeit-Astronom schrieb:

....

Jetzt kann man angeblich für den Betrag der resultierenden Beschleunigung g₀ am Punkt P₁ einfach die beiden Beträge subtrahieren:
|g₀| = |g₁| - |az₁|.

Fragen:
1. Kann das so stimmen mit dem Betrag? Obwohl az₁ in eine andere Richtung zeigt als g₁? Ist wohl mit dem Sinus erledigt?


 

Das gilt nur wenn |g₁| und |az₁| Antiparallel sind. Das heißt wenn sie Parallel liegen aber in entgegen gesetzte Richtungen laufen.
Denke eher so:

|g₀| = |g₁ + az₁|

FabsOtX schrieb:

Das gilt nur wenn |g₁| und |az₁| Antiparallel sind. Das heißt wenn sie Parallel liegen aber in entgegen gesetzte Richtungen laufen.

Die Beträge selbst haben keine Richtung mehr. Aber das ist eben die Frage: Sie ergeben sich ja aus Vektoren mit Richtung, und einfach subtrahieren kann darf man m.E. nur, wenn die zugehörigen Vektoren antiparallel sind. Das sehe ich eigtl. auch so^^.

Kurt schrieb:

Beim "Drehimpuls" liegt ein Bestreben vor konstante Geschwindigkeit von Materie im Medium gegen das Medium zu halten, also Beschleunigung zu vermeiden.

Mit einem Medium hat das absolut gar nichts zu tun.

Kurt schrieb:

Mit der Schwerkraft hat das was sich da zeigt nichts zu tun, die kannst du ruhig weglassen. (leg das Rad einfach waagrecht)
Die Schwerkraft dient in den Beispielen und Videos dazu das Rad "am Tisch" zu halten.

Die Schwerkraft ist erforderlich, damit das Rad kippt. Beim Versuch, bei dem das Rad mit den Händen gehalten wird, muss diese Kraft manuell aufgebracht werden, da ist die Schewrkraft natürlich nur dafür wichtig, dass der Experimantator auf dem Stuhl bleibt.

Steinzeit-Astronom schrieb:

FabsOtX schrieb:

Das gilt nur wenn |g₁| und |az₁| Antiparallel sind. Das heißt wenn sie Parallel liegen aber in entgegen gesetzte Richtungen laufen.

Die Beträge selbst haben keine Richtung mehr. Aber das ist eben die Frage: Sie ergeben sich ja aus Vektoren mit Richtung, und einfach subtrahieren kann darf man m.E. nur, wenn die zugehörigen Vektoren antiparallel sind. Das sehe ich eigtl. auch so^^.

\[ |\vec{g}_0| = \sqrt{|\vec{g}_1|^2 + |a_z|^2 + 2 |\vec{g}_1| |a_z| \cos(\theta)} \]

(mathjs)

kein plan wie es hier richtig angezeigt werden kann.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Jetzt kann man angeblich für den Betrag der resultierenden Beschleunigung g₀ am Punkt P₁ einfach die beiden Beträge subtrahieren:
|g₀| = |g₁| - |az₁|.

Nein, das ist natürlich Kokolores, es handelt sich natürlich um Vektoren in unterschiedlichen Richtungen.

Übrigens beinhaltet die Normfallbeschleunigung g ≈ 10 m/s² bereits die Zentrifugalkraft.

wiki (Schwerefeld)
Im engeren Sinne – insbesondere in den Geowissenschaften – ist das Schwerefeld eines Himmelskörpers zusammengesetzt aus dessen Gravitationsfeld („Erdanziehung“) und der Zentrifugalbeschleunigung in dem Bezugssystem, das mit dem Körper rotiert.

Wie sollte man sonst auch das Gewicht F einer Person berechnen, ohne die Zentrifugalkraft zu kennen
F = g·m

Steinzeit-Astronom schrieb:

Letztlich will ich auf eine Berechnung der grav. Zeitdilatation hinaus. Dafür muss das Schwerefeld möglichst genau bekannt sein.

Für jede nötige Genauigkeit genügt es, mit g zu rechnen.

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Jetzt kann man angeblich für den Betrag der resultierenden Beschleunigung g₀ am Punkt P₁ einfach die beiden Beträge subtrahieren:
|g₀| = |g₁| - |az₁|.

Nein, dass ist natürlich Kokolores, es handelt sich natürlich um Vektoren in unterschiedlichen Richtungen.

Eben. Wie genau muss man das also machen? Der Typ im Video verliert am Ende die Konzentration und verhaspelt sich dauernd. Letztlich soll es auch für ein Ellipsoid funktionieren, nicht nur für eine Kugel.

Rainer Raisch schrieb:

Übrigens beinhaltet g ≈ 10 m/s² bereits die Zentrifugalkraft.

Das weiß ich schon, will es aber einzeln zusammenklauben, damit man es allgemeingültig für alle Art Himmelskörper einigermaßen präzise rechnen kann. Für die Erde gibt es bereits gute Schwereformeln, WELMEC z.B.. Da muss müsste man das nicht von Hand machen.

Ich will eigtl. nur wissen, wie man das resultierende g bekommt, wenn der Radius zum Zentrum und der Radius senkrecht zur Rotationsachse bekannt sind. Das g nach Newton Richtung Zentrum ist klar, fehlt halt noch ein Term, den man subtrahieren muss wegen der Zentrifugalbeschl. Einen sin oder cos will ich möglichst nicht drin haben. Die Radien sollten reichen und natürlich die Winkelgeschwindigkeit.
 

Steinzeit-Astronom schrieb:

Eben. Wie genau muss man das also machen?

Du willst die Komponente von aZ, die in Richtung Erdmittelpunkt weist, also vektorielle Zerlegung der Kraft, das ist genauso der Cosinus nee natürlich der Sinus
sin.(π/2-β)aZ.

Selbst am Äquator beträgt aZ lediglich
aZ = 0,0339 m/s²

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Eben. Wie genau muss man das also machen?

Du willst die Komponente von aZ, die in Richtung Erdmittelpunkt weist, also vektorielle Zerlegung der Kraft, das ist genauso der Cosinus
cos.(π/2-β)aZ.

Ich will eigtl. nur wissen, wie man das resultierende g bekommt, wenn der Radius zum Zentrum und der Radius senkrecht zur Rotationsachse bekannt sind. Das g nach Newton Richtung Zentrum ist klar, fehlt halt noch ein Term, den man subtrahieren muss wegen der Zentrifugalbeschl. Einen sin oder cos will ich möglichst nicht drin haben. Die beiden Radien sollten reichen und natürlich die Winkelgeschwindigkeit.

Ich hatte den Cosinus korrigiert....

Naja ich sehe gerade, Dein aZ₁ gilt ja für den Äquator, Du arbeitest ja mit r und nicht mit sin.(π/2-β)r

Du musst ja bei aZ₁ bereits den sin verwenden. Es ist derselbe. NZP₁ = π/2-β

Aber wenn Du die Komponente für einen Breitengrad β wissen willst, kommst Du um den Sinus nicht herum.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Eben. Wie genau muss man das also machen?

Du willst die Komponente von aZ, die in Richtung Erdmittelpunkt weist, also vektorielle Zerlegung der Kraft, das ist genauso der Cosinus
cos.(π/2-β)aZ.

Ich will eigtl. nur wissen, wie man das resultierende g bekommt, wenn der Radius zum Zentrum und der Radius senkrecht zur Rotationsachse bekannt sind. Das g nach Newton Richtung Zentrum ist klar, fehlt halt noch ein Term, den man subtrahieren muss wegen der Zentrifugalbeschl. Einen sin oder cos will ich möglichst nicht drin haben. Die beiden Radien sollten reichen und natürlich die Winkelgeschwindigkeit.

Dein Sinus um bis hierher zu kommen gilt nur für az. Jetzt hast du zwei Vektoren und musst den Winkel zwischen ihnen beachten, du wirst ohne den Cosinus nicht auskommen.

Ich habe die Formel oben notiert ist halt nur in mathjs formatiert.

Nochmal:



Alle Werte sind bekannt:
ω ist bekannt
g₁ ist bekannt
az₁ ist bekannt
Radius (rot) mit Richtung der Kreisbahn von P₁ ist bekannt

Das kann doch nicht so schwer sein....

Dein Sinus um bis hierher zu kommen gilt nur für az. Jetzt hast du zwei Vektoren und musst den Winkel zwischen ihnen beachten, du wirst ohne den Cosinus nicht auskommen.

Ich habe die Formel oben notiert ist halt nur in mathjs formatiert.

Okay, ich schau es mir mal an.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Radius mit Richtung der Kreisbahn von P₁ ist bekannt

sin.(π/2-β) = r₁/r = sin(∢ (NZP₁))

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Radius mit Richtung der Kreisbahn von P₁ ist bekannt

sin.(π/2-β) = r₁/r = sin(∢ (NZP₁))

Gesucht ist g. Die resultierende Beschleunigung. Da steht leider kein g = bla... in deiner Formel.

Du musst ja bei aZ₁ bereits den sin verwenden. Es ist derselbe. NZP₁ = π/2-β

Eigentlich verwende ich keinen Sinus. Das mache ich in GeoGebra, wo die Kreisbahn ganz magisch als Schnitt einer Ebene mit einer Kugel oder Ellipsoid rauskommt, wenn ich den Breitengrad angebe. Intern wird natürlich schon mit Sinus etc. gerechnet, denk' ich mal. Aber die Vektoren sollten mir doch auch reichen... Naja, vllt. auch nicht^^.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Gesucht ist g. Die resultierende Beschleunigung. Da steht leider kein g = bla... in deiner Formel.

g = |g₁| - |aZ₁|r₁/r = |g₁| - ω²r₁²/r = |g₁| - ω²r·sin²(π/2-β)

ich würde ja g und g₁ als Bezeichner vertauschen, g = M·G/r²

Der Witz ist ja dabei, dass der oblate Ellipsoid sich diesen Gegebenheiten so anpasst, dass r₁(g-aZ) im Prinzip überall an der Oberfläche gleich ist. Das heißt, die Zeitdilatation wäre überall gleich.

Vereinfacht:

p1 = {x=0, y=0, z=0}

g1.x + az.x = g0.x
g1.y + az.y = g0.y
g1.z + az.z = g0.z
 

Rainer Raisch schrieb:

g = ...= |g₁| - ω²r·sin²(π/2-β)
 

So weit war ich doch schon in meinem Ausgangspost. Das Quadrat beim Sinus muss aber weg.
Hier werden doch einfach zwei Beträge subtrahiert, die von Vektoren mit unterschiedlicher Richtung stammen. Das war mir eben suspekt.

Aber das sieht doch gut aus: g = |g₁| - |aZ₁|r₁/r = |g₁| - ω²r₁²/r
Ganz ohne Sinus. Mal sehen, ob es funktioniert.