Schwerefeld der Erde

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Setzt man in deine Formel die Beträge (=Längen) der Vektoren |g₁| und |az₁| ein, dann bekommt man die korrekte Länge des resultierenden Vektors. Die ist etwas größer als die vom reinen Gravitationsvektor g₁.

Ich bin mir nicht sicher ....
Dein g₁ heißt bei mir g=M·G/r², weil der Abstand r zum Mittelpunkt ja bei der Kugel überall gleich ist und von P₁ unabhängig.

Mein r₁ ist das (rote) Lot von P₁ auf die Achse....

Ja, so habe ich das bis jetzt.

Rainer Raisch schrieb:

Bei einem Ellipsoid dürfte man streng genommen gar nicht mit M·G/rₓ² rechnen, weil die Masseverteilung nicht kugelsymmetrisch ist.
(Extremata Stab und Scheibe)

Stimmt. Da müsste man noch ein Quadrupolmoment berücksichtigen, aber das ist mir derzeit noch zu hoch^^. Kann vlt. später noch eingebaut werden, wenn ich mehr darüber weiß.

Bei der Kugel gibt es wohl ein Extremum auf ca. 45° Breite: Ab 0° (Äquator) nimmt die Differenz mit/ohne Zentrifugalbeschl. zu, danach ab 45° bis 90° (Pol) wieder ab. Hätte eigentlich erwartet, dass die Differenz am Äquator am größten ist, aber anscheinend nicht.

Hätte nicht gedacht, dass das so kompliziert wird...

Steinzeit-Astronom schrieb:

....
Bei der Kugel gibt es wohl ein Extremum auf ca. 45° Breite: Ab 0° (Äquator) nimmt die Differenz mit/ohne Zentrifugalbeschl. zu, danach ab 45° bis 90° (Pol) wieder ab. Hätte eigentlich erwartet, dass die Differenz am Äquator am größten ist, aber anscheinend nicht.
...

Die absolute Differenz der Beträge zwischen 𝑔1 und 𝑔0 ist am Äquator am größten.

Kann mir nur vorstellen das du da die Winkel Abweichung zwischen Gravitation und Lot betrachtest.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Quadrupolmoment

Das Quadrupolmoment entsteht durch eine Asymmtrie in der Rotationsebene. (Stab, der sich um sein Zentrum dreht)
Hier ging es hingegen um eine asphärische Masseverteilung entlang der Rotationsachse. (Stab, der sich entlang seiner Achse dreht)

Also irgendwas ist mir da noch nicht ganz klar... nochmal zurück auf LOS, ganz prinzipiell.
Die kinematische Zeitdilatation gemäß SRT will ich hier mal ganz außen vor lassen.

1. Wir nehmen eine ideale homogene Vollkugel in Ruhe.
Die Gravitation an der Oberfläche ist überall gleich (Äquipotentialfläche).
Alle Uhren laufen synchron und haben das gleiche Gewicht auf der Waage.

2. Die Kugel soll jetzt um eine Nord-Süd-Achse rotieren.
Die Gravitation an der Oberfläche ist trotzdem überall gleich.
Das spürt jede freie Körper, der nicht zum Mitrotieren gezwungen ist.
Aber die mit rotierenden Uhren am Äquator sind jetzt leichter als vorher.
Denn die Gravitationskraft, die sie am Boden hält, wird teilweise kompensiert.

Das sollte doch soweit stimmen, oder nicht?.

Wie ist es jetzt in der ART mit der gravitativen Zeitdilatation?
Laufen die Uhren am Äquator schneller als am Pol, weil sie weniger Gravitation "spüren"?
Oder spielt das keine Rolle, weil sie nach wie vor relativ zueinander im gleichen Potential ruhen?

Steinzeit-Astronom schrieb:

Wie ist es jetzt in der ART mit der gravitativen Zeitdilatation?
Laufen die Uhren am Äquator schneller als am Pol, weil sie weniger Gravitation "spüren"?
Oder spielt das keine Rolle, weil sie nach wie vor relativ zueinander im gleichen Potential ruhen?

Wer ist gegen das ECI bewegt?
Die Uhr am Pol oder die Uhr am Äquator?

Kurt

Steinzeit-Astronom schrieb:

Wie ist es jetzt in der ART mit der gravitativen Zeitdilatation?
Laufen die Uhren am Äquator schneller als am Pol, weil sie weniger Gravitation "spüren"?

Nein. Wenn wiki von dieser Äquipotentialfläche sprechen würde, wäre es weiterhin eine Kugel.

Man führt das Rotationspotential (Zentrifugalpotential oder Drehimpulsbarriere) ein.
de.wikipedia.org/wiki/Zentrifugalkraft#Zentrifugalpotential
ΦZ = (ω×r)²/2 = L²/2r²m²

Insgesamt ergibt sich dann das effektive Potential.
de.wikipedia.org/wiki/Effektives_Potential
Φeff = Φ+ΦZ

In der Physik wird zwar meist von der effektiven mechanischen Energie Veff gesprochen und dies als das "Potential" bezeichnet.
Veff = m·Φeff = V+VZ

Also Vorsicht bei wiki. Auch das Formelzeichen V wird häufig statt Φ verwendet.

Englischsprachig wird hingegen V für das Potential und U für die Energie benützt. U wird deutschsprachig hingegen sonst nur für die Innere Gibbs Energie bzw für die Spannung verwendet, welche ein Potentialunterschied ist, wofür englischsprachig auch wieder V (voltage) benützt wird.

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Wie ist es jetzt in der ART mit der gravitativen Zeitdilatation?
Laufen die Uhren am Äquator schneller als am Pol, weil sie weniger Gravitation "spüren"?

Nein.

Gut. Sie laufen in dem Fall nach wie vor alle synchron miteinander.
Sowohl die am Äquator als auch die am Pol.
Das ist schon mal nützlich zum Eintüten.

Man kann also nicht allein durch Uhrenvergleich mit einer Pol-Uhr feststellen, auf welchem Breitengrad man sich etwa befindet.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Gut. Sie laufen in dem Fall nach wie alle synchron miteinander.
Sowohl die am Äquator als auch die am Pol.
Das ist schon mal nützlich zum Eintüten.

oops das war nicht ganz korrekt, da gibt es ja die Uhrenresynchronisation, die dafür sorgt, dass alle Uhren gleich schnell laufen bzw dass Eingkeit mit dem zentralen Bezugssystem herrscht.
Sie egalisiert dabei die kinematische Zeitdilatation.

Naja die Aussage zur gravitativen Dilatation war schon korrekt.

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Gut. Sie laufen in dem Fall nach wie alle synchron miteinander.
Sowohl die am Äquator als auch die am Pol.
Das ist schon mal nützlich zum Eintüten.

oops das war nicht ganz korrekt, da gibt es ja die Uhrenresynchronisation, die dafür sorgt, dass alle Uhren gleich schnell laufen bzw dass Eingkeit mit dem zentralen Bezugssystem herrscht.
Sie egalisiert dabei die kinematische Zeitdilatation.

?? Welche Resynchronisation denn, wenn sie eh synchron laufen?

Dass sie unterschiedlich schnell bewegt sind relativ zur starren Achse, das soll hier wie gesagt erst mal keine Rolle spielen. Wenn man das berücksichtigt, dann laufen sie nicht mehr synchron, ist klar. Es ging mir jetzt nur mal um den gravitativen Teil. Immer der Reihe nach...

Steinzeit-Astronom schrieb:

Dass sie unterschiedlich schnell bewegt sind relativ zur starren Achse, das soll hier wie gesagt erst mal keine Rolle spielen.

Ja, ich hatte nur einen Schreck bekommen und wollte das Ergebnis zumindest dokumentieren.

Rainer Raisch schrieb:

In der Physik wird zwar meist von der effektiven mechanischen Energie Veff gesprochen und dies als das "Potential" bezeichnet.
Veff = m·Φeff = V+VZ

Also Vorsicht bei wiki. Auch das Formelzeichen V wird häufig statt Φ verwendet.

Englischsprachig wird hingegen V für das Potential und U für die Energie benützt. U wird deutschsprachig hingegen sonst nur für die Innere Gibbs Energie bzw für die Spannung verwendet, welche ein Potentialunterschied ist, wofür englischsprachig auch wieder V (voltage) benützt wird.

Na super, alle Klarheiten beseitigt. Die Fachleute sollten erst mal ihr Formalsprache vereinheitlichen. Dann klappt's auch mit der TOE.  

Steinzeit-Astronom schrieb:

Die Fachleute sollten erst mal ihr Formalsprache vereinheitlichen.

Erinnerst Du Dich an Grosch (im ursprünglichen uwudl-Forum)? (Dipl.Elektriker oder so) Er hat das komplett verwechselt. Naja er dachte auch, Photonen hätten eine Ladung.

Vielleicht wurde das eh schon weiter hinten irgendwo gesagt, ich habe nicht den ganzen Faden gelesen aber die gravitative Zeitdilatation hängt nicht von der Schwerkraft sondern von der Fluchtgeschwindigkeit ab. Deshalb hat man innerhalb einer Hohlkugel wo man gar keine Schwerkraft hat trotzdem die gleiche Zeitdilatation wie auf der Kugelschale wo die Schwerkraft auch sehr hoch sein kann.

Yukterez schrieb:

Vielleicht wurde das eh schon weiter hinten irgendwo gesagt

Das hatten wir zwar noch nicht thematisiert, aber es spielt auch auf der Oberfläche des Körpers keine Rolle.

Kannst du genau sagen, wie die Aquipotentialfläche des Ellipsoids definiert ist? Das kann doch nur auf dem effektiven Potential basieren?

Rainer Raisch schrieb:

Kannst du genau sagen, wie die Aquipotentialfläche des Ellipsoids definiert ist?

So dass überall auf dessen Oberfläche die gleiche Zeitdilatation herrscht, deswegen hat die Äquipotentialfläche des Meeresspiegels am Äquator auch weniger g und mehr r, aber das gleiche ṫ.

Yukterez schrieb:

So dass überall auf dessen Oberfläche die gleiche Zeitdilatation herrscht

Ja, aber eben unter Einbeziehung der Rotationsgeschwindigkeit, sonst wäre es ja immer eine Kugel.
d.τ/d.t = σ/γ

Rainer Raisch schrieb:

Ja, aber eben unter Einbeziehung der Rotationsgeschwindigkeit, sonst wäre es ja immer eine Kugel.

Sicher, die kinematische Zeitdilatation fließt ja auch in ṫ ein. Für die Erde wird das hier bei 6.33 vorgerechnet. Das gleiche ṫ bezieht sich natürlich auf die Gleichzeitigkeitshyperfläche des Intertialsystems stationär zum Schwerpunkt, nicht auf die Bornschen Hyperflächen der Beobachter im rotierenden Nichtintertialsystem, denn in Letzterem gibt es bekanntlich keine wasserdichte Formulierung der Gleichzeitigkeit.

ich bekomme nur "Image not available"
Vermutlich ist Deine Session Nummer dabei

Jetzt ging es ....

Ja da steht es genau wie ich sagte
Φ+ΦZ = constant (6.33)

Rainer Raisch schrieb:

Φeff = Φ+ΦZ
Veff = m·Φeff = V+VZ

Yukterez schrieb:

die gravitative Zeitdilatation hängt nicht von der Schwerkraft sondern von der Fluchtgeschwindigkeit ab. Deshalb hat man innerhalb einer Hohlkugel wo man gar keine Schwerkraft hat trotzdem die gleiche Zeitdilatation wie auf der Kugelschale wo die Schwerkraft auch sehr hoch sein kann.

Daran habe ich zuerst gedacht, aber die Fluchtgeschwindigkeit und die Schwerkraft hängen ja doch auch zusammen. Und mit der Fluchtgeschw. allein bin ich nicht weiter gekommen^^.

In einer einfachen Erklärung wird das Maryland-Experiment  von 1975/76 (15 Stunden Flug in 30000 Fuß Höhe) so nachgerechnet:

Vergleicht man zum Beispiel die Uhr eines Flugzeugs, dass sich 15 Stunden lang in 30000 Fuß Höhe aufhält, mit einer Uhr am Boden, so ergibt sich der selbe Zeitunterschied wie bei unserer Rakete, wenn sie 30000 Fuß lang ist und 15 Stunden lang mit 9,81 m/s² beschleunigt hat. Diese Rakete hätte nach 15 Stunden eine Geschwindigkeit von v=529.740 m/s. Man kann nun die Zeitdifferenz der beiden Uhren nach obiger Formel berechnen, indem man die Geschwindigkeit v durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit teilt und mit der Höhe von 30000 Fuß multipliziert. Dabei kommt ein Wert von 53,9 Nanosekunden heraus.

Die "obige Formel" ist Δt = v/c²∙L (L als Länge einer Rakete und Δt als Zeitdifferenz zwischen Bug und Heck).

Die Rechnung stimmt. Demnach kann man also die rein gravitative Zeitdilatation in rel. kleinen Höhen über die Fallbeschleunigung g auf diese Weise berechnen. Jetzt muss man nur noch die verschiedenen g an der Oberfläche kennen.

Mit g = -GM/r² für 15 Stunden über die Höhendifferenz vom Äquator zum Pol gemittelt ergibt sich die zeitl. Differenz Δt ∙ (g₀+g₁)/2c² ∙ (r₁ - r₀) = -201,59 ns. Die Uhr am Pol läuft langsamer, was zu erwarten war, da der Pol näher am Zentrum ist.

Aber einfach GM/r² ist nicht korrekt beim Ellipsoid.

Da kommt jetzt der J₂-Term der Multipolentwicklung ins Spiel, mit R als Radius am Äquator und für die Erde J₂ = 1082,63, für den Mars J₂ = 1960,45 etc.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Fluchtgeschwindigkeit und die Schwerkraft hängen ja doch auch zusammen

Man muss hier auch die Geschwindigkeit des Beobachters berücksichtigen.
Das Zentrifugalpotential ist ja genau die Kinetische Energie
Φrot = r²ω²/2

Allerdings habe ich jetzt ein Problem mit dem Vorzeichen... ja genau
ΦZ = - Φrot = - r²ω²/2
de.wikipedia.org/wiki/Zentrifugalkraft#Zentrifugalpotential

Das ist der Unterschied zum effektiven Potential, das stattdessen das positive Rotationspotential berücksichtigt.
de.wikipedia.org/wiki/Effektives_Potential

Somit läuft es also doch auf σ/γ = konstant hinaus.