Schwerefeld der Erde

Steinzeit-Astronom schrieb:

Das Quadrat beim Sinus muss aber weg.

Nein, der erste ist für aZ wegen des Radius r₁ und der zweite ist für die radiale Komponente davon, deshalb ja auch die Quadrate bei den Radien.
sin² = r₁²/r²

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Das Quadrat beim Sinus muss aber weg.

Nein, der erste ist für aZ wegen des Radius r₁ und der zweite ist für die radiale Komponente davon, deshalb ja auch die Quadrate bei den Radien.
sin² = r₁²/r²

Mir wurde diese Formel gegeben:
|az₁| = |ω×(ω×r)| sin ∢ (NZP₁) [Z = Punkt im Zentrum der Kugel]
Da gibt's mal kein Quadrat im Sinus. Und mit bekanntem |g₁| soll dann für das resultierende g einfach gelten:
|g| = |g₁| - |az₁|
Die Frage war halt, ob das stimmen kann (nebst anderen Fragen). Du meintest es wäre Kokolores. Mal sehen, ob mit deinen Formeln was anderes rauskommt...

Steinzeit-Astronom schrieb:

g = |g₁| - |aZ₁|r₁/r = |g₁| - ω²r₁²/r
Ganz ohne Sinus. Mal sehen, ob es funktioniert.

Die Nummer kommt mir Seltsam vor! Kein Plan warum. aber ich habe gelernt das es ohne den Cosinus nicht geht.
Ich frage ChatGPT.


Antwort ChatGPT:

Fazit:
✅ Die Formel ist dimensionsrichtig
⚠️ Aber physikalisch weicht sie vom realen Modell ab, weil die Zentrifugalbeschleunigung linear mit 𝑟1 (nicht quadratisch) abnimmt.


​und hier steckt der Cosinus :

r₁²/r = r cos²(ϕ)

Jetzt Quadrierst du ihn sogar noch. OK doppelt gemoppelt hält besser.

Also.... es ist so:

Der Punkt P₁ beschreibt eine Kreisbahn. Wenn der Radius r₂ dieser Bahn bekannt ist – er steht senkrecht auf der Achse – dann braucht man keinen Sinus oder Kosinus. Es gilt für die Zentrifugalbeschleunigung einfach |az| = |ω×(ω×r₂)| . Die Richtung von az zeigt weg von der Achse.

Wenn der Radius r₂ der Bahn nicht bekannt ist (das ist er aber), nur dann muss man auf ihn mit Sinus aus dem Radius r₁ zum Zentrum schließen. Es gilt dann |az| = |ω×(ω×r₁)| sin(∢ (NZP₁))

Also gilt tatsächlich |az| = |ω×(ω×r₂)| = |ω×(ω×r₁)| sin(∢ (NZP₁)) (ist überprüft).

So. Und damit bin ich leider wieder bei meiner Ausgangsfrage: Die Beträge der beiden Beschleunigungen |g₁| und |az| sind fertig berechnet, und ich suche lediglich die daraus die resultierende Beschleunigung g.

Ist es also korrekt, wenn man sie einfach subtrahiert |g| = |g₁| - |az| ?
Könnte schon stimmen. Die verschiedenen Richtungen sind ja bereits verwurstet, irgendwie^^.

Vielleicht hat Rainer aber recht, und man muss den Winkel jetzt nochmal extra berücksichtigen, was mir durchaus plausibel scheint.

Der Witz ist ja dabei, dass der oblate Ellipsoid sich diesen Gegebenheiten so anpasst, dass r₁(g-aZ) im Prinzip überall an der Oberfläche gleich ist. Das heißt, die Zeitdilatation wäre überall gleich.

Das sicher nicht. Beim Ellipsoid ist erstens die Gravitation an den abgeplatteten Polen größer (weil näher am Zentrum) und es existiert dort keine Zentrifugalbeschleunigung, die diese Gravitationskraft abschwächen könnte. Eine gute Uhr am Südpol z.B. wäre eine perfekte Referenzuhr für Experimente zur Zeitdilatation: Der kinetische Teil entfällt völlig und die Uhr würde wirklich im ECI ruhen.... abgesehen von der Bewegung der Erde auf ihrer Bahn.

Gemäß RT läuft an den Polen die Zeit langsamer als überall sonst auf dem Ellipsoid oder der Kugel, denn überall sonst existiert eine Zentrifugalbeschleunigung. Das will ich mal möglichst genau ausrechnen um das Ausmaß zu sehen. Es zeichnet sich ab, dass es beträchtliche Unterschiede gibt, in Nanosekunden natürlich, aber heutzutage gut messbar.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Vielleicht hat Rainer aber recht, und man muss den Winkel jetzt nochmal extra berücksichtigen, was mir durchaus plausibel scheint.

Das auf jeden Fall.
Noch genauer müsste man den richtigen Winkel berechnen, denn infolge der restlichen Komponente der Zentrifugalkraft wird die Richtung der Schwere (auch ohne Abplattung) nicht zum Zentrum der Kugel zeigen.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Gemäß RT läuft an den Polen die Zeit langsamer als überall sonst auf dem Ellipsoid oder der Kugel

Naja, wenn die Kugel nicht rotiert, dann ist die Zeitdilatation überall gleich.
Wenn sie rotiert, ist zwar die gravitative Zeitdilatation σ an den Polen wegen der Abplattung stärker, dafür kommt aber überall sonst die kinematische Zeitdilatation γ obendrauf.

Bei der Erde gibt es natürlich immer Abweichungen, weil die Kruste nicht ganz elastisch ist und der Körper nicht homogen ist. Dennoch sollten die Unterschiede gering sein.

Ich bezweifle aber, dass Du Deinen Ergebnissen mit womöglich fünf- und sechsstelligen Werten für Masse, G, Radius, Geschwindigkeit, etc, auf Nanosekunden genau vertrauen darfst, zumal die Masse nicht homogen ist. Zu fragen wäre auch, in welcher Höhe über NN die Zeitabweichungen überhaupt gemessen wurden. Jedes Festland weicht schonmal von den theoretischen Werten ab.

PS
Ich werde dann mal die ganzen Posts diesbezüglich abtrennen, wie soll der Titel lauten? Schwerefeld der Erde?

Rainer Raisch schrieb:

Ich bezweifle aber, dass Du Deinen Ergebnissen mit womöglich fünf- und sechsstelligen Werten für Masse, G, Radius, Geschwindigkeit, etc, auf Nanosekunden genau vertrauen darfst, zumal die Masse nicht homogen ist. Zu fragen wäre auch, in welcher Höhe über NN die Zeitabweichungen überhaupt gemessen wurden. Jedes Festland weicht schonmal von den theoretischen Werten ab.

Das Programm rechnet mit mind. 15 Stellen nach dem Komma. Für die Erde benutze ich die WELMEC-Schwereformel, die schon recht genau ist. Die grav. Dilatation vom Maryland-Experiment mit +53,9 ns nach 15 Stunden Flug in 15000 Fuß Höhe kann ich schon gut verifizieren. Das ist schon mal was.

Aber es soll dann allgemein auch für andere Himmelkörper einigermaßen funktionieren, für es noch keine guten Schwereformeln gibt. Da hilft dann nur noch die reine Theorie mit homogener Masseverteilung usw. Vllt. macht die Zentrifugalkraft den Kohl wirklich nicht fett, aber egal. Will sie eben mal berücksichtigen. Wenn es nichts hilft, so kann's auch nicht schaden.

PS
Ich werde dann mal die ganzen Posts diesbezüglich abtrennen, wie soll der Titel lauten? Schwerefeld der Erde?[/quote]
"Schwerefeld der Erde" ist okay.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Das Programm rechnet mit mind. 15 Stellen nach dem Komma.

Das ist nicht das Problem, sondern die Messwerte der Erde, zB der Radius r₁ und r₂

Übringes steht das von Dir gesuchte Ergebnis bereits bei wiki:
Die Formeln zur Berechnung der Normalschwere basieren auf der Annahme eines rotationssymmetrisch aufgebauten Erdellipsoiden, dessen Oberfläche gleichzeitig eine Äquipotentialfläche ist (Normalellipsoid).

Eine Äquipotentialfläche oder Äquipotenzialfläche, auch Potenzialfläche, ist die Menge aller Punkte gleichen (lateinisch: aequalis) Potentials, das heißt gleicher potentieller Energie eines Probekörpers in einem Potentialfeld.

Dies berücksichtigt allerdings die Rotation nicht....oder soll die einfließen? Sonst müsste es ja eine Kugel werden.

Dies ist allerdings genauer als ich dachte:
a = 6 378 137 m b = 6 356 752,314 1 m

Soweit ich sehe, ist WELMEC und die reale Messung auf fünf Stellen genau.

Rainer Raisch schrieb:

Übringes steht das von Dir gesuchte Ergebnis bereits bei wiki:
Die Formeln zur Berechnung der Normalschwere basieren auf der Annahme eines rotationssymmetrisch aufgebauten Erdellipsoiden, dessen Oberfläche gleichzeitig eine Äquipotentialfläche ist (Normalellipsoid).

Da stehen komplizierte Formeln mit auf die Erde zugeschnittenen Parametern. Was ich suche, sind einfache, allgemeingültige Formeln. Es geht mir nicht nur um die Erde, wie gesagt. Für die tut's WELMEC, und gut. Denke mal, das alles schon reingepackt ist, also das Zentrifugalgedöns, die Bahngeschwindigkeit(en) etc.

Für andere Himmelskörper (auch selber ausgedachte) muss man sich aber alles zusammenklauben, wenn man die Zeitdilatation halbwegs genau ausrechnen will:
1. Die rein gravitativen Effekte
2. Die kinematischen Effekte

Mit Punkt 1 bin ich schon fast durch. Die richtige Formel für meine gesuchte effektive Beschleunigung ist hoffentlich folgende:
 

Dann halt doch mit Kosinus. So hat es wohl auch Fabs notiert.

Rainer Raisch schrieb:

Dies ist allerdings genauer als ich dachte:
a = 6 378 137 m b = 6 356 752,314 1 m

Soweit ich sehe, ist WELMEC und die reale Messung auf fünf Stellen genau.

Ja, das ist schon ziemlich gut. Für den Mars gibt's auch schon brauchbare Daten als Ellipsoid.

Mit der Gravitationsbeschleunigung gibt's noch ein Problem...

Beim Ellipsoid kann man die auflaufende zeitl. Differenz während einer Laufzeit Δt zwischen dem Pol und dem Äquator bestimmen, indem man den Durchschnitt der Beschleunigungen g₀ (am Pol) und g₁ (am Äquator) nimmt und Differenz der Radien r₀ und r₁ als Höhendifferenz:

Δt ∙ (g₀+g₁)/2c² ∙ (r₁ - r₀)

Das ergibt z.B. -126 ns während 15 Stunden, d.h. am Pol läuft die Zeit langsamer, was zu erwarten war. Aber: Bei einer Kugelform sind beide Radien gleich und der Term (r₁ - r₀) zwingt die zeitl. Differenz auf 0.

Die Zentrifugalbeschleunigung am Äquator ist zwar in g₁ berücksichtigt und bei g₀ am Pol nicht, aber der Unterschied kann sich in dieser Rechnung gar nicht zeigen.

Wenn sich g₀ und g₁ nur im geringsten unterscheiden – und das ist ja auch bei der rotierenden Kugel der Fall – dann muss sich das doch als gravitative Zeitdilatation zeigen können, sollte man meinen... zumindest rein rechnerisch.

Es ist hier wohlgemerkt noch keine kinematische Zeitdilatation enthalten. Nur mal die gravitative. So gesehen liegt es wohl daran. Ohne Rotation gibt's ja auch nichts Zentrifugales, und das gehört wohl irgendwie in den kinematischen Teil.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Da stehen komplizierte Formeln

Du hast die Pointe verpasst.

Wenn es ein Äquipotential ist, also überall gleich, dann kannst Du Dir den Punkt mit der einfachsten Formel (zB am Pol) heraussuchen. Das Ergebnis gilt dann überall. Natürlich hilft dies dann nicht für Höhenabweichungen von NN.

Steinzeit-Astronom schrieb:

...
Die Zentrifugalbeschleunigung am Äquator ist zwar in g₁ berücksichtigt und bei g₀ am Pol nicht, aber der Unterschied kann sich in dieser Rechnung gar nicht zeigen.
...

Hä! Wie meinst du das? An den Polen wird die Zentrifugalbeschleunigung auch beachtet aber an den Polen ist sie halt 0.

Rainer Raisch schrieb:

Wenn es ein Äquipotential ist, also überall gleich, dann kannst Du Dir den Punkt mit der einfachsten Formel (zB am Pol) heraussuchen. Das Ergebnis gilt dann überall.

Das schon, aber dieses Normalellipsoid wurde mit den speziellen Parametern doch künstlich hingebogen, damit man nur noch die geogr. Breite einsetzen muss um die Gravitation an einem bestimmten Ort zu bekommen. Für einen Mars z.B. müssen diese Schwereformeln versagen. Die sind nicht allgemeingültig. Sie gelten nur für die Erde, dafür aber ziemlich gut.

Vielleicht hätte man die Erde im Thread-Titel besser nicht erwähnt.

Rainer Raisch schrieb:

Natürlich hilft dies dann nicht für Höhenabweichungen von NN.

Eben. Da muss man dann doch wieder allgemeinere Formeln benutzen.

FabsOtX schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

...
Die Zentrifugalbeschleunigung am Äquator ist zwar in g₁ berücksichtigt und bei g₀ am Pol nicht, aber der Unterschied kann sich in dieser Rechnung gar nicht zeigen.
...

Hä! Wie meinst du das? An den Polen wird die Zentrifugalbeschleunigung auch beachtet aber an den Polen ist sie halt 0.

Ja, so meine ich das. Weil sie an den Polen 0 ist, spielt sie dort praktisch nicht mit, muss also nicht extra berücksichtigt werden in einer Rechnung.

Denke jetzt habe ich es endlich mit dieser Zentrifugalsache:
 


Setzt man in deine Formel die Beträge (=Längen) der Vektoren |g₁| und |az₁| ein, dann bekommt man die korrekte Länge des resultierenden Vektors. Die ist etwas größer als die vom reinen Gravitationsvektor g₁.

Das entspricht einem neuen Abstand zum Grav.zentrum, für die Erde am Äquator immerhin ca. 2 km mehr. Und mit diesem "Höhenunterschied" kommt man jetzt auf die resultierende grav. Beschleunigung. Dabei ergibt sich sogar für eine perfekte Kugel ein Unterschied im Vergleich zum Pol, und für ein Ellipsoid erst recht. 

Nachtrag: Bleibt noch die Frage nach der Richtung des neuen Vektors und ob die überhaupt eine Rolle spielt. Es ist ja nur die Fallrichtung eines Objekts an der Oberfläche, die jetzt nicht mehr genau zum Zentrum zeigt. Am Betrag der so berechneten Schwerebeschleunigung ändert das ja wohl nichts.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Nachtrag: Bleibt noch die Frage nach der Richtung des neuen Vektors und ob die überhaupt eine Rolle spielt. Es ist ja nur die Fallrichtung eines Objekts an der Oberfläche, die jetzt nicht mehr genau zum Zentrum zeigt. Am Betrag der so berechneten Schwerebeschleunigung ändert das ja wohl nichts.

Das hatte ich doch auch schon geschrieben.

FabsOtX schrieb:

Vereinfacht:

p1 = {x=0, y=0, z=0}

g1.x + az.x = g0.x
g1.y + az.y = g0.y
g1.z + az.z = g0.z

Steinzeit-Astronom schrieb:

Setzt man in deine Formel die Beträge (=Längen) der Vektoren |g₁| und |az₁| ein, dann bekommt man die korrekte Länge des resultierenden Vektors. Die ist etwas größer als die vom reinen Gravitationsvektor g₁.

Ich bin mir nicht sicher ....
Dein g₁ heißt bei mir g=M·G/r², weil der Abstand r zum Mittelpunkt ja bei der Kugel überall gleich ist und von P₁ unabhängig.

Mein r₁ ist das (rote) Lot von P₁ auf die Achse....

Bei einem Ellipsoid dürfte man streng genommen gar nicht mit M·G/rₓ² rechnen, weil die Masseverteilung nicht kugelsymmetrisch ist.
(Extrema Stab und Scheibe)

Rainer Raisch schrieb:

Bei einem Ellipsoid dürfte man streng genommen gar nicht mit M·G/rₓ² rechnen, weil die Masseverteilung nicht kugelsymmetrisch ist.
(Extremata Stab und Scheibe)

Du darfst es schon und brauchst dann nur bis zu den Pollen zu rechnen dein r ist dann aber nur der Innenradius. Und der Überschuss sitz dann Fest auf dem Objekt.
Es muss dann aber auch beachtet werden was berechnet werden soll. Wenn du z.b. eine Luft Wiederstand berechnen willst ist es nicht geeignet da dort die genaue Form eine rolle spielt.

FabsOtX schrieb:

dann nur bis zu den Pollen zu rechnen
der Überschuss sitz dann

Was willst Du denn da rechnen, und von welchem Überschuss sprichst Du da?
Falls Du die Masse meinst, diese beträgt M, da wird gar nichts gerechnet und da bleibt auch kein Überschuss.

Rainer Raisch schrieb:

FabsOtX schrieb:

dann nur bis zu den Pollen zu rechnen
der Überschuss sitz dann

Was willst Du denn da rechnen, und von welchem Überschuss sprichst Du da?
Falls Du die Masse meinst, diese beträgt M, da wird gar nichts gerechnet und da bleibt auch kein Überschuss.

Bei der Berechnung einen ellipsoiden darfst du auch einen voll Kugel berechne die im inneren sitz. Diese Kugel hat dann ein r das gleiche dem Innenradius des ellipsoiden ist.
Den Überschuss musst du dann aber als feste Objekte auf der Voll Kugel angeben.

FabsOtX schrieb:

Bei der Berechnung einen ellipsoiden darfst du auch einen voll Kugel berechne die im inneren sitz. Diese Kugel hat dann ein r das gleiche dem Innenradius des ellipsoiden ist.
Den Überschuss musst du dann aber als feste Objekte auf der Voll Kugel angeben.
 

Ja, dann hatte ich Dich schon richtig verstanden, nur wird ja die Masse der Erde nicht berrechnet, sondern gemessen.
Letztlich läuft es jedenfalls auf eine Berechnung der Wirkung der exzentrischen Masseverteilung hinaus.