Schwerefeld der Erde

Steinzeit-Astronom schrieb:

σ ??

Wie immer der Shapirofaktor (gravit.Zeitdilatation)
σ = ²|gtt| = ²(1-rs/r)

Aber der Rest war ohnehin falsch, die Lorentzkontraktion kontrahiert ja nicht den Lorentzfaktor, sondern den Parameter r.
Aber dies jetzt einzuflechten ist mir zu fummeling.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

So ich habs mal durchgerechnet:
Am Pol haben wir (γ=1)
σ/γ = 0.9999999993023175
und am Äquator
σ/γ = 0.999999999303444

σ ??

Rainer Raisch schrieb:

Wie immer der Shapirofaktor (gravit.Zeitdilatation)
σ = ²|gtt| = ²(1-rs/r)

Ach der "Shapirofaktor". Nicht jeder kennt den und weiß, dass er bei dir σ heißt.

Mit σ = √(1-rs/r)  = √(1-2MG/rc²) und wenn man folgendes noch bedenkt...

Rainer Raisch schrieb:

Φ = -M·G/r  wird immer nach Newton gerechnet.
2Φ/c² = -rs/r ist eine IDENTITÄT.

....kommt man auf σ = √(1+2Φ/c²) und wegen des Zusammenhangs mit der Fluchtgeschwindigkeit v_esc(r) = √(2MG/r) auf die Analogie zum Lorentzfaktor σ(r) = γ( v_esc(r) ).

---

Nachtrag: Lorentzfaktor stationär im Abstannd r vom Zentrum im Gravitationspotential Φ bei entsprechender Fluchtgeschwindigkeit v (Schwarzschild): Weiß nicht wie es anderen geht, aber ich finde das eine schöne Einsicht, weil sie zwei Extreme – Schwerkraft und Bewegung – in eine symmetrische Beziehung bringt. Es zeigt sich Einsteins Äquivalenzprinzip.

---

Will man so einen Faktor wie den Lorentzfaktor verwenden für einen Potentialunterschied zwischen Φ₁ und Φ₂, dann muss er wohl so definiert werden:
σ_grav = √( (1 + 2Φ₁/c²) / (1 + 2Φ₂/c²) ), was sich für kleine ΔΦ/c² zu σ_Φ = 1+ΔΦ/c² entwickelt.
(Nachtrag:  Herleitung hier #9061 )

Damit sollte t₁ = σ_Φ·t₂ gelten.

Das ist doch mal übersichtlich, und ich komme damit auf eine Zeitdifferenz zwischen Pol und Äquator pro Tag von -103,9 ns am Pol, wenn Φ mit dem Quadrupolmoment berechnet wird. Könnte stimmen. Bei einer perfekten Kugel ergibt sich natürlich keine zeitl. Differenz, weil auch Φ überall gleich ist.

Steinzeit-Astronom schrieb:

σ = √(1-2Φ/c²)

Φ ist bereits negativ, daher gtt=1+2Φ/c². Da du es weiter unten eh mit + hast wirst du dich da wahrscheinlich vertippt haben.

Yukterez schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

σ = √(1-2Φ/c²)

Φ ist bereits negativ, daher gtt=1+2Φ/c². Da du es weiter unten eh mit + hast wirst du dich da wahrscheinlich vertippt haben.

Ja danke, hab's oben korrigiert.

Steinzeit-Astronom schrieb:

was sich für kleine ΔΦ/c² zu σΦ = 1+ΔΦ/c² entwickelt.

fehlt da die Wurzel? Und σΔ wäre wohl die bessere Bezeichnung.

Bei meiner Linearisierung komme ich zwar auf
σΔ = 1-Δ²/4 = 1-ΔΦ²/c⁴

Rainer Raisch schrieb:

σΔ wäre wohl die bessere Bezeichnung.

Danke, ist gekauft. 

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

was sich für kleine ΔΦ/c² zu σΦ = 1+ΔΦ/c² entwickelt.

fehlt da die Wurzel?

Nö, das passt schon so. In erster Ordnung verschwindet die Wurzel.
Meine naive Erklärung: Unter der Wurzel ist ΔΦ verbaut, für kleine ΔΦ/c² quasi 1, was das gleiche ist wie ohne die Wurzel. Der berühmte Herr Schneyder argumentiert so (Taylor-Entwicklung):

Wegen √(1+x) ≈ 1 + x/2 - x²/8 + ....
ergibt sich in erster Ordnung mit den Eigenzeiten τ im Koordinatenzeit-System (fern):
dτ₁ / dτ₂ ≈ (1+Φ₁/c²) / (1+Φ₂/c²) = 1+ (Φ₁ - Φ₂)/c² = 1+ΔΦ/c²
Somit dann t₁/t₂ = 1+ΔΦ/c² ⇔ t₁ = (1+ΔΦ/c²)∙t₂ ⇔ t₁ = σΔ∙t₂ ▢

Da staunst du, was? Ich auch, und nicht zu knapp. 

Steinzeit-Astronom schrieb:

Es gilt (1+ϵ) / (1+δ) ≈ 1+(ϵ−δ)

Ach, so machst Du das.

Bei mir war es

(1+ϵ) / (1+δ) = (1+ϵ) (1- δ)

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Es gilt (1+ϵ) / (1+δ) ≈ 1+(ϵ−δ)

Ach, so machst Du das.

Bei mir war es

(1+ϵ) / (1+δ) = (1+ϵ) (1- δ)

Wenn das Produkt aus ϵ und δ verschwindend klein ist, sind beide Näherungen quasi identisch.