Kugel-Koordinaten! Zu viele Punkte?

Steinzeit-Astronom schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Und was ist Ω?

Das ist die Kurzschreibweise für
dΩ² = dθ²+sin²θ·dφ²
deckt also die Fläche der Sphäre mit Koordinatenradius r ab.

Braucht man das denn? Man kann den Weg doch einfach mal radial abschreiten, ohne diese Winkel.





 

Das sind die beiden Winkel vom Kugel-Koordinaten-System Theta und Phi wenn du sie beide auf Null setzt bewegst du dich mit r ausschließlich entlang der z-Achse. Delta_r ist dann deine Schrittweite.

EDIT:

Ich Denke was hier Hilfreich wäre, weil es auch mir aktuell helfen würde, wäre wenn jemand mal genau die Abhängigkeiten von den Linie-, Flächen- oder Volumen-Elementen erklärt.
Wenn ich einer Koordinate in den Beiden K... Koordinaten Systemen ein Volumen zuordnen möchte ist es im kartesisches Koordinatensystem einfach. Im kartesisches Koordinatensystem habe ich ganz klar Würfel vor Augen (außer am Rand einer Kugel) aber bei Kugel Koordinaten sind es Pyramiden und Pyramidenstümpfe. 


Mein Problem mit Kugelkoordinaten ist, das ich zwar ein Delta_r bestimmen kann, ich mir das aber durch die Bogensekunden wieder Kaput mache.
 

FabsOtX schrieb:

Linie-, Flächen- oder Volumen-Elementen erklärt.

Das ist doch ganz einfach. Ein Volumen ist zB
dV = dr×dr×dR = dr³/σ

Aω = dr×dr ist eine Fläche orthogonal zur radialen Richtung.
Ar = dr×dR = dr²/σ ist eine Fläche parallel zur radialen Richtung.

Reale Größen (in Koordinatenmaßen) sind zu integrieren, wobei nur die Größen mit einem Faktor σ sich gegenüber dem einfachen Produkt verändern.
Aω = a×b
Ar = a·∫(1/σ)d.z > a×z

Liegen die Maße jedoch in Eigenlängen vor, dann ist das ganz normale Physik bzw Geometrie V = L×B×H. Man kann dies in Koordinatenmaße umwandeln, um zu berechnen, wie es für einen anderen Beobachter "aussieht".

Rainer Raisch schrieb:

dV = dr×dr×dR = dr³/σ






 

Aber eine einzelne Kugelkoordinate hat doch nur für d_V = d_r × d_Theta × d_Phi platz und da eine Bogensekunde kleiner sein kann als d_r Überlagern sich deine Volumen doch.

FabsOtX schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

dV = dr×dr×dR = dr³/σ

Aber eine einzelne Kugelkoordinate hat doch nur für d_V = d_r × d_Theta × d_Phi platz

Hä?? dV ist hier das Volumen eines kleinen Quaders. Was willst du denn mit den Winkeln?
Vielleicht meinst du einen Ausschnitt aus einer Kugel mit bestimmtem Radius und der Spitze im Zentrum... keine Ahnung. Beschreibe das mal genau, dass man auch verstehen kann wovon du redest.
 
 

FabsOtX schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

dV = dr×dr×dR = dr³/σ
 

Aber eine einzelne Kugelkoordinate hat doch nur für d_V = d_r × d_Theta × d_Phi platz
 

Du meinst d.V = d.r·r²d.θ×d.φ
d.r = r·d.θ = r·d.φ
Du vergisst, dass der physikalische Radius ("Eigenradius") d.R und nicht der Koordinatenradius d.r ist.
d.V = d.R·r²d.θ×d.φ = d.r³/σ

Es geht um ein infinitesimales Volumen, da kann man die Krümmung des Raumes im Verlauf der (zum Radius) orthogonalen Sphärenfläche vernachlässigen, jedenfalls will man keinen gekrümmten Würfel.

FabsOtX schrieb:

da eine Bogensekunde kleiner sein kann als d_r Überlagern sich deine Volumen doch.
 

Das hat mit Maßeinheiten (zB Bogensekunde as) gar nichts zu tun, sondern immer geht d.x → 0
Womit sich ein einzelnes Volumen überlagern sollte, ist gar nicht nachzuvollziehen.

Jedenfalls geht es überhaupt nicht darum, das Volumen einer Kugel nachzuempfinden. Das muss man durch geeignete Infinitesimalrechnung erledigen, wenn man keine Polarkoordinaten für die Lösung des Problems findet.

Das Volumen der Kugel ergibt sich in Polarkoordinaten natürlich ganz einfach durch
Vk = ∫4r²π·d.R = ∫4r²π/σ·d.r
www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=In...5C%2841%29%5D%2Cr%5D

Für ein SL ergibt sich zB
Vs = 10pi³rG³
rG = rs/2 = "M"

Für praktische Zwecke ist jedoch nur die Innere Schwarzschildlösung von Interesse, die auf einer inkompressiblen Flüssigkeit (~ homogene Verteilung) beruht.
Vki = ∫4r²π·d.R = ∫4r²π/λi·d.r
Hier unterscheiden sich zwar die Faktoren für Zeitkomponente σi und radiale Komponente λi
σi = (²(1-rs/ra)3-²(1-r²rs/ra³))/2
λi = ²(1-r²rs/ra³)
www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=In...5C%2841%29%5D%2Cr%5D

Ein homogener NS mit ra ≈ 2rs = 4rG hätte zB dieses physikalische Volumen
V.NS = ²2rG³64(π-2)π = 324,61 rG³
"homogen" bedeutet, dass die physikalische Teilchendichte im Inneren konstant ist, die Koordinaten-Teilchendichte im Inneren also höher ist, was aber durch die unterschiedliche Potentielle Energie ausgeglichen wird. Daher ist die Energiedichte in Koordinatenmaßen konstant und physikalisch nach innen sinkend.
Das geometrische Volumen wäre ja nur
V = 4ra³π/3 = 268.08 rG³

Bei inhomogener Verteilung musst Du die Formel eben selber berechnen, oder jede Schicht gemäß den Messdaten separat.

Aber Du wolltest ja kartesische Würfel und Flächen.

Rainer Raisch schrieb:

FabsOtX schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

dV = dr×dr×dR = dr³/σ

Aber eine einzelne Kugelkoordinate hat doch nur für d_V = d_r × d_Theta × d_Phi platz

Du meinst d.V = d.r·r²d.θ×d.φ

Nein nicht ganz, ich meinte eigentlich.

dV = r² * sin(θ) * dr * dθ * dϕ
Das Volumenelement in Kugelkoordinaten. In Kartesischen Koordinaten ist das Volumenelement dV = dx * dy * dz. In Kugelkoordinaten jedoch müssen wir die Maßstäbe anpassen, da die Koordinaten r, θ (theta) und ϕ (phi) eine gekrümmte Struktur haben, die das Volumenelement verändert. Der Abstand in Kugelkoordinaten wird durch den Radius r bestimmt, und jeder Punkt auf einer Kugel hat eine Fläche, die proportional zu r² ist. Dies liegt daran, dass die Oberfläche einer Schicht (mit einer kleinen Änderung dr) bei einer Kugel mit Radius r eine Fläche hat, die mit r² skaliert.

dV in Kartesischen Koordinaten ist Konstant
aber
dV in Kugel Koordinaten ist nicht Konstant sondern wächst mit dem Abstand.

Ich will auch keine Würfel hinein interpretieren sondern ich möchte ein korrekte Verteilung von Kugel Koordinaten mit einem Gleichbleibenden dV.

 
 

FabsOtX schrieb:

Nein nicht ganz, ich meinte eigentlich.
dV = r² * sin(θ) * dr * dθ * dϕ

Den sin(θ) brauchen wir hier im Allgemeinen nicht, da bei geeigneter Wahl sin(θ)=1

FabsOtX schrieb:

Nein nicht ganz, ich meinte eigentlich.
dV in Kartesischen Koordinaten ist Konstant
aber
dV in Kugel Koordinaten ist nicht Konstant sondern wächst mit dem Abstand.


 

nein, denn wir rechnen gleich nur mit d.r anstatt r·d.θ, wenn wir einen infinitesimalen Würfel wollen. Siehst Du denn nicht, dass das dasselbe ist? Die Implementierung erfolgt erst beim Integrieren, genau genommen bei Festlegung der Integrationsgrenzen.
Und r·d.θ ist einfach eine Länge (eines Bogens), und nicht von Haus aus gebogen.

Die orthogonale Fläche d.r² ist auch nicht von der Position im Trichter abhängig, ebenso d.R, nur das radiale d.r hängt von der Position (r) ab. Denn wir interessieren uns für die physikalischen Eigengrößen und nicht für die Koordinatenmaße. Zuletzt wollen wir dies allerdings in Koordinatenmaßen ausdrücken, also in d.R→d.R(r) = d.r/σ(r) umformen.

d.V = d.r²d.R = d.r³/σ = B×L×H(r)/σ

Beim Integrieren eines makroskopischen Würfels muss man natürlich die Raumkrümmung berücksichtigen, bzw bei einem Segment die gekrümmte Figur.

Rainer Raisch schrieb:

nein, denn wir rechnen gleich nur mit d.r anstatt r·d.θ, wenn wir einen infinitesimalen Würfel wollen. Siehst Du denn nicht, dass das dasselbe ist? Die Implementierung erfolgt erst beim Integrieren, genau genommen bei Festlegung der Integrationsgrenzen.
Und r·d.θ ist einfach eine Länge (eines Bogens), und nicht von Haus aus gebogen.

Du kennst doch meine Meinung zu Mathematischen Vereinfachungen, Gut für Beschreibungen und Nutzen aber Kontra Produktiv für Erklärungen.
Ich möchte also keinen Würfel.

Die Integrationsgrenzen habe ich für mich festgelegt. Ich habe dr bestimmt, eine länge die nicht unterschritten werden kann in keine Richtung.
Aber wie du schon sagst:  ".... r·d.θ ist einfach eine Länge (eines Bogens), ..."  die kleiner sein kann als dr, und das passt mir nicht.

EDIT:

Darf ich bestimmen das für das Volumen Element an einer Koordinate dr = dθ = dϕ gilt. Ist die Mathematik da so frei? 

FabsOtX schrieb:

Ich möchte also keinen Würfel.

Was wollt ihr denn dann? Ich habe kein Maoam.
Die Kugel habe ich ja oben schon vorgerechnet.

FabsOtX schrieb:

Ich habe dr bestimmt, eine länge
 

d.r ist ein Infinitesimal und hat also keine feste Länge.

wiki:
In der Mathematik ist eine positive Infinitesimalzahl ein Objekt, welches bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen größer ist als null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl.

Rainer Raisch schrieb:

FabsOtX schrieb:

Ich möchte also keinen Würfel.

Was wollt ihr denn dann? Ich habe kein Maoam.
Die Kugel habe ich ja oben schon vorgerechnet.

FabsOtX schrieb:

Ich habe dr bestimmt, eine länge

 

d.r ist ein Infinitesimal und hat also keine feste Länge.

wiki:
In der Mathematik ist eine positive Infinitesimalzahl ein Objekt, welches bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen größer ist als null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl.

Wie bereits erwähnt habe ich dr für mich als Schrittweite bestimmt und kann ihr somit einen festen Wert zuweisen.
Sagen wir einfach wir hebeln den infiniten Regress aus.

FabsOtX schrieb:

Ich habe dr bestimmt, eine länge die nicht unterschritten werden kann in keine Richtung.
Aber wie du schon sagst:  ".... r·d.θ ist einfach eine Länge (eines Bogens), ..."  die kleiner sein kann als dr, und das passt mir nicht. [...] Sagen wir einfach wir hebeln den infiniten Regress aus.

Wenn das so ist, dann hast du keine Kugeln oder Sphären, sondern nur Polyeder bzw. Polygone. Die einzelnen Polygone sind natürlich flach, weil die Kanten nicht gekrümmt sein können, wenn sie eine festgelegte, minimalste Länge haben müssen. Für eine perfekte Sphäre müssen die Abstände zwingend infinitesimal werden.



Meinst du das? Dann sag's doch einfach.
Und welches Volumen meinst du dann?
Das unterhalb eines roten Polygons z.B.?
Aus deinen Äußerungen wird man nicht schlau und kann nur spekulieren.

Steinzeit-Astronom schrieb:

FabsOtX schrieb:

Ich habe dr bestimmt, eine länge die nicht unterschritten werden kann in keine Richtung.
Aber wie du schon sagst:  ".... r·d.θ ist einfach eine Länge (eines Bogens), ..."  die kleiner sein kann als dr, und das passt mir nicht. [...] Sagen wir einfach wir hebeln den infiniten Regress aus.

Wenn das so ist, dann hast du keine Kugeln oder Sphären, sondern nur Polyeder bzw. Polygone. Die einzelnen Polygone sind natürlich flach, weil die Kanten nicht gekrümmt sein können, wenn sie eine festgelegte, minimalste Länge haben müssen. Für eine eine perfekte Sphäre müssen die Abstände aber zwingend infinitesimal werden.

Meinst du das? Dann sag's doch einfach.
Und welches Volumen meinst du dann?
Das unterhalb eines roten Polygons z.B.?
Aus deinen Äußerungen wird man nicht schlau und kann nur spekulieren.

Die Oberfläche ist eine Sphäre ein 2D Objekt und die nächste Oberfläche /Sphäre die folgt ist auch ein 2D Objekt das bedeutet das die beiden Sphären sich nicht berühren weil ein dr hohes Volumen zwischen den 2D Objekten liegt. Rechnen wir eine Sphäre * dr erhalten wir eine Schalle.

Aber das was ich suche geht wohl eher in Richtung "Dichteste Kugelpackung".

FabsOtX schrieb:

Wie bereits erwähnt habe ich dr für mich als Schrittweite bestimmt und kann ihr somit einen festen Wert zuweisen.
Sagen wir einfach wir hebeln den infiniten Regress aus.

Du willst selber integrieren, kann man annähern, ändert aber gar nichts am Konzept, es wird nur ungenauer.

Das war aber nicht die Frage, sondern WAS Du berechnen willst. Die Vollkugel? Eine Hohlkugel? Den Raum um ein SL herum?

FabsOtX schrieb:

Die Oberfläche ist eine Sphäre ein 2D Objekt...

Achtung Fachbegriffe: Die Oberfläche eine Balls ist eine Sphäre.

Die Frage war, wie deine Sphäre aussieht. Das muss man wissen um das Volumen zu berechnen.

1. Deine "Sphäre" kann unmöglich kugelrund sein, wenn jeder Punkt auf ihr bereits eine Fläche ist.
2. Deine Punkte (kleinste Flächen) auf der "Sphäre" müssen Polygone sein, wenn sie lückenlos den ganzen Innenraum begrenzen und sich nicht überlappen sollen.
3. Wenn deine Punkte Kreise sind, dann begrenzen sie nicht den ganzen Innenraum und es gibt Lücken zwischen den Punkten, die kleiner sind als deine kleinste Länge, was ein Widerspruch wäre zu deiner Voraussetzung.
4. Wenn deine Punkte Kreisscheiben sind und trotzdem den ganzen Innenraum begrenzen, dann überlappen sie sich irgendwie seltsam.

FabsOtX schrieb:

... aber die nächst Oberfläche /Sphäre die folgt ist auch ein 2D Objekt das bedeutet das die beiden Sphären sich nicht berühren weil ein dr hohes Volumen zwischen den 2D Objekten liegt.

Du meinst Schale, nicht Schalllle, und so eine kleine Länge wie sie dir vorschwebt nennt man in der Mathematik meistens ε (Epsilon), nicht dr. Man spricht auch von einer ε-Umgebung (Epsilontik).

Auch die Gestalt der zweiten "Sphäre" unterhalb im Abstand ε muss bekannt sein, wenn man das Volumen der Schale berechnen will. Auch die kann mit deinen flächigen "Punkten" nicht kugelrund sein, d.h. keine echte Sphäre.

Also wie sollen diese Oberflächen mit deinen Punkten aussehen? Das ist die entscheidende Frage.

Rainer Raisch schrieb:

Das war aber nicht die Frage, sondern WAS zu berechnen willst. Die Vollkugel? Eine Hohlkugel? Den Raum um ein SL herum?

Das ist mir auch grade eben erst so richtig bewusst geworden. Ich suche eine Koordinaten System für die "Dichteste Kugelpackung"

Hier liegt der Fehler

FabsOtX schrieb:

aber bei Kugel Koordinaten sind es Pyramiden und Pyramidenstümpfe.

Nein, man rechnet in diesem Fall am besten mit Kugelschalen.
Die Sphäre hat bekanntlich die Fläche S=4r²π und der Ball dann das Volumen ∫S dr bzw ∫S dR = ∫S/λ dr
Aber für eine gekrümmte Raumzeit muss vorher die Massenverteilung festgelegt werden.

Steinzeit-Astronom schrieb:

1. Deine "Sphäre" kann unmöglich kugelrund sein, wenn jeder Punkt auf ihr bereits eine Fläche ist.

Gut beobachtet ist auch nicht.

Steinzeit-Astronom schrieb:

2. Deine Punkte (kleinste Flächen) auf der "Sphäre" müssen Polygone sein, wenn sie lückenlos den ganzen Innenraum begrenzen und sich nicht überlappen sollen.

Ich gehe von Volumen aus und schwanke noch zwischen Dodekaeder oder Ikosaeder.

Steinzeit-Astronom schrieb:

3. Wenn deine Punkte Kreise sind, dann begrenzen sie nicht den ganzen Innenraum und es gibt Lücken zwischen den Punkten, die kleiner sind als deine kleinste Länge, was ein Widerspruch wäre zu deiner Voraussetzung.

Sind sie nicht!

Steinzeit-Astronom schrieb:

4. Wenn deine Punkte Kreise sind und trotzdem den ganzen Innenraum begrenzen, dann überlappen sie sich.

Das ist was ich RR vorwerfe mit seinen Würfeln in den Kugelkoordinaten.

FabsOtX schrieb:

Das ist was ich RR vorwerfe mit seinen Würfeln in den Kugelkoordinaten.

Nein, das habe ich doch erklärt.
Die Würfel waren nur, weil Du gesagt hast, Dir die Formen nicht vorstellen zu können. Aber zum Integrieren verwendet man sowas nicht für Kugeln. Dafür verwendet man gar keine eckigen Körper, sondern Kugelschalen.

FabsOtX schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

2. Deine Punkte (kleinste Flächen) auf der "Sphäre" müssen Polygone sein, wenn sie lückenlos den ganzen Innenraum begrenzen und sich nicht überlappen sollen.

Ich gehe von Volumen aus und schwanke noch zwischen Dodekaeder oder Ikosaeder.

Ein 3D-Volumen wird von 2D-Flächen begrenzt. Die muss man kennen um das eingeschlossene Volumen zu berechnen.

Sind deine Punkte mit Ausdehnung etwa 3-dimensional, also platonische Körper wie Dodekaeder oder Ikosaeder?

Wenn das so ist, wie sollen die lückenlos den Raum füllen? Ich fürchte, das geht nicht.

Habe mal gelesen:
Von den platonischen Körpern gibt es nur einen, der lückenlos gepackt werden kann: der Würfel. Das liegt daran, dass die Würfelkanten und -flächen perfekt aneinander passen, ohne dass Lücken entstehen. Die anderen platonischen Körper, wie das Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder, können nicht lückenlos gepackt werden, da ihre Kanten und Flächen nicht so angeordnet sind, dass sie ohne Zwischenräume aneinander passen.

Aber natürlich kann man auch aus Würfeln keine Kugelschale bauen und keinen Ball. Das liegt daran, dass π keine rationale Zahl ist. Es passt in den Umfang 2π keine ganze Anzahl Kantenlängen eines einheitlichen Würfels.
 

Steinzeit-Astronom schrieb:

...
Sind deine Punkte mit Ausdehnung etwa 3-dimensional, also platonische Körper wie Dodekaeder oder Ikosaeder?

Wenn das so ist, wie sollen die lückenlos den Raum füllen? Ich fürchte, das geht nicht.

Habe mal gelesen:
Von den platonischen Körpern gibt es nur einen, der lückenlos gepackt werden kann: der Würfel. Das liegt daran, dass die Würfelkanten und -flächen perfekt aneinander passen, ohne dass Lücken entstehen. Die anderen platonischen Körper, wie das Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder, können nicht lückenlos gepackt werden, da ihre Kanten und Flächen nicht so angeordnet sind, dass sie ohne Zwischenräume aneinander passen.

Aber natürlich kann man auch aus Würfeln keine Kugelschale bauen und keinen Ball. Das liegt daran, dass π keine rationale Zahl ist. Es passt in den Umfang 2π keine ganze Anzahl Kantenlängen eines einheitlichen Würfels.


 

Es ist auch Blödsinn sich auf eine form festzulegen ich hätte das anders ausdrücken müssen. Aber es Erleichtert schon die Verständigung. Eigentlich rede ich bisher nur von Volumen und diese können wir als elastisch betrachten.

Die beste Wahl für das dV, wenn es um die Koordinate geht, ist aber die Kugel. Wenn wir nun bestimmen das eine Koordinate immer der Mittelpunkt eines dV ist dann haben wir durch die Kugel die Garantie das die Koordinaten alle gleich verteilt liegen und das würde dann der Anordnung in der "Dichtesten Kugelpackung" entsprechen.