frühe Strukturbildung

Für Strukturbildung ist erforderlich, dass sich Teilchen verdichten, also aufeinander zu bewegen.

BAO sind eine (bekannte) Möglichkeit, die ich hier nicht erörtern will.

In der Expansion muss also die Bewegung schneller sein als der Hubble Flow.
Da der Hubble Flow in sich selber ruht, ergibt dies nur dann Sinn, wenn man eine bestimmte Entfernung betrachtet.

H·D < v

Im thermodynamischen Gleichgewicht bewegt sich alles mit thermischer (mittlerer) Geschwindigkeit
vT= ²(2kB·T/m)

Die Entfernung, die also für eine Strukturbildung in Betracht kommt, beträgt
r = ²(2kB·T/m)/H

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist dies allerings illusorisch, weil keine freie Bewegung möglich ist. Man könnte allenfalls den Random Walk zugrunde legen. Daher ist diese Überlegung für die Zeit vor der Rekombination nur für DM maßgeblich und für Baryonen nachher. 

Weiterhin muss die gravitative Anziehung größer sein als die Expansionbeschleunigung
H²D < g
H²r = G·M/r²
ρ·(8·π·G/3)r = G·ρᵣ·(4π/3)r
Man sieht, dass ρᵣ zumindest doppelt so groß wie die allgemeine Dichte ρ sein muss, die Überdichte muss also größer als 
od = ρᵣ/ρ > 2
sein. Zudem kann diese Überdichte nicht aus Strahlung bestehen, weil diese im thermodynamischen Gleichgewicht allenfalls den BAO folgt.
Somit muss also in dieser überdichten Region Materiedichte ρmᵣ > ρr = ρ Strahlungsdichte sein.

Für das virial Modell bzw nach NFW {Navarro, Frenk, White} geht man üblich von od=200 aus. Es stellt sich halt die Frage, wie diese große Überdichte zustande kommen soll.

Hat sich allerdings eine Überdichte von od > 2 ergeben, dann sorgt die weitere Expansion des Universums sehr schnell für ein Ansteigen der Überdichte um den Faktor a⁴ bzw materiedominiert a³, weil die allgemeine Dichte ρ/a⁴ so verdünnt wird, ohne dass sich die Dichte ρᵣ in der überdichten Zielregion überhaupt erhöhen müsste. Auch hier ist allerdings wieder die Strahlungsdichte herauszurechnen, weil diese nicht konstant bleibt, sondern der Expansion folgt. Die Materiedichte müsste also zunehmen, wenn die Gesamtdichte konstant bleiben soll.

Zwischen dem Ausfrieren der Neutrinos und der Rekombination liegt ein Skalenfaktor von 
Ϙ.a = 4620000
In dieser Zeitspanne verdünnt sich ρ also um
4620000⁴ = 4.5568e+26
Um am Ende od > 200 oder mehr zu erreichen, genügt also eine winzige statistische anfängliche Überdichte. Wie gesagt ist zwar eine anfängliche Überdichte von 2 nötig. Bei od < 2 bedeutet dies lediglich, dass die gravitative Anziehung geringer als die Expansionswirkung ist, und die Rechnung komplizierter wird. Es ist jedoch offensichtlich, dass eine geringere anfängliche Überdichte od < 2 ausreichen wird, um einen geringeren Endwert als 4,5568e+26 zu erreichen.

Die anfängliche Dichte (Ausfrieren der Neutrinos) betrug
ρ = H²/(8piG/3) = 14071000 kg/m³
und zur Zeit der Rekombination
ρ' = 4.15498775e-18 kg/m³
 

Der Temperaturunterschied in der CMB beträgt ca 
ΔT = 27e-6K
ΔT/T = 0.00001
Zwar liegt dies nach Sachs-Wolfe an der Zeitdilatation der überdichten Regionen, also einer zeitversetzten Rekombination. Der Einfachheit halber errechne ich hier aber aus der Temperatur die Dichte
T =  ⁴(c²ρr/σa) 
ρr = T⁴σa/c²
od = Ϙ.ρr = 1.00001⁴ = 1,00004

Nun gut, ich weiß zwar nicht, ob dies nach Sachs-Wolfe ganz anders endet, aber mit diesem Ergebnis erübrigen sich die obigen Überlegungen zu DM. Es stellt sich die Frage, wie es nun mit der baryonischen Materie weiter geht.

Die thermische Bewegung der Protonen betrug zuletzt
vT =  ²(2kB·T/m) = 7000 m/s
dies entspricht einer Entfernung im Hubble Flow von
r = vT/H = 15,364 ly

Zusätzlich ergibt sich aus den BAO eine Geschwindigkeit bis zu c/²3 = 173000000 m/s, was einer Entfernung im Hubble Flow entspricht
r = c/²3H = 379566 ly

Die Abbremsung durch die Expansion ergibt sich aus (selbst bei Annahme konstanter Parameter H und D)
v = 0 = v₀+t·a = c/²3-t·H²D
t = c/²3H²D
In Bezug auf r=D ergibt sich
t = 20746887966804 s = 657442 Jahre
Mit anderen Worten, die Anfangsbedingungen genügen jedenfalls für eine weitere Kontraktion, denn im Verlauf der Expansion sinkt ja H weiter und auch mit der immer geringeren Entfernung sinkt der Wert von H²D und steigt der beschleunigende Wert von g, was ich wegen der geringen anfänglichen Überdichte weggelassen habe. Auch die Überdichte steigt, weil ρ sinkt.

Der Radius des ersten Peak beträgt
r₁ = θ₁·dA = 590690 ly
Auch hier ergibt sich t = 422460 Jahre, also Zeit genug für weitere Kontraktion.

Anmerkung zu den Farben in der CMB und Sachs-Wolfe.

Die Unterschiede kommen daher, dass die Rekombination in dichteren und daher lokal heißeren Regionen später erfolgte also in weniger dichten Regionen. Die Strahlung wurde überall bei der lokal gleichen Temperatur 3000 K frei.

In den "Voids" erfolgte die Rekombination also zeitlich früher, das Licht von dort wurde daher stärker rotverschoben und ist daher heute kälter. Dies wurde in der CMB blau markiert.

Der Faktor ist relativ gering Ϙ.a = 1,00001, also zwischen 
1089,91 < z < 1089,93

Nach der ART sind Zeitdilatation und Temperaturunterschied linear verbunden. Also gilt hier
Ϙ.σ = 1 ± 0,00001
Für die Dichte ist hierbei aber auch der Radius der Region maßgeblich.

Allerdings ist hier die innere Lösung nach Schwarzschild anzuwenden, da es sich ja um den Innenbereich einer Region handelt und nicht um den Außenbereich.
σi = (²(1-rs/ra)3-²(1-r²rs/ra³))/2
im Zentrum mit r=0 ergibt sich (ra Außenradius der Region)
σc = (²(1-rs/ra)3-1)/2 = (²(1-8π·ρ·ra³·G/3c²ra)3-1)/2 = 0,99999
ρi = (1-(2·0,99999+1)²/9)3c²/(8π·ra²G) = 2.143e+21/ra² kg/m³

mit dem ersten Peak r₁ für ra ergibt sich
ρi = 6,86254e-23 kg/m³
Dies muss wohl die Überdichte Δ.ρ sein, da für den mittleren Hintergrund σ=1 angesetzt ist.
ρ = 4,15938e-18 kg/m³
Die Überdichte ist also 
od = 1+ρi/ρ = 1,0000165
also etwas mehr als die Rotverschiebung von 1+0,00001 ausmacht, aber deutlich weniger als wenn man dies unmittelbar als Temperaturunterschiede interpretiert.

Eigentlich müsste das Licht aus den dichten Regionen nun wegen der Gravitation wieder stärker rotverschoben sein
1,00001·0,99999 = 1,00000000
1089.91/0.99999 = 1089.92
was den Effekt zunichte machen würde.