Vielkörpermetrik

Angeblich ist die Metrik gemäß ART wegen ihrer Nichtlinearität nicht überlagerbar. Daher gibt es keine Lösung für das Zweikörperproblem und erst Recht nicht für Mehrkörper, soviel ich weiß.

Ich hatte ja schon einen Ansatz hier

Rainer Raisch schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

Selbstverständlich versuche ich nur eine statische VakuumLösung a la Schwarzschild:
gtt = σ² = (1-Σₐ.(rsₐ/rₐ))
grr ist schwieriger, weil hier rₐ verktoriell aufzuteilen ist
ds² = -gtt·c²dt²+gxx·dx²+gyy·dy²+gzz·dz²
grr = (1-Σₐ.(rsₐ/Δ.rₐ)) für r = x,y,z
1/r = ²(1/(x²+y²+z²)+1/r²-1/x²-1/y²-1/z²) für r = x,y,z
zB für r=x
1/x = ²(1/(x²+y²+z²)-1/y²-1/z²)

gtt steht aus meiner Sicht fest, aber ich denke, ich kenne jetzt auch grr
²|grr| = 1/²(1-2g·r/c²) ist ja eine bekannte Formel, daraus folgt
²|grr| = 1/²(𝟙¹-2Σ(gₐ¹·rₐ)/c²) = 1/²(𝟙¹-Σₐ.(rsₐ·rₐ¹/rₐ²)) mit Vektoraddition !
Wie erwartet wird der Wert jedenfalls bei Nullgravitation zwischen zwei Trichtern oder im Zentrum eines Sterns zu |grr| = 1

Es bleibt noch das mathematische Problem, den Vektor im Inneren der Wurzel auszuwerten. Naja bei grr fällt die Wurzel weg und die Division durch einen Radialvektor liefert einen Axialvektor und umgekehrt.

Naja es geht natürlich einfacher in zwei Formeln aufgeteilt.
X¹=Σₐ.(rsₐ·rₐ¹/rₐ²)
gxyz¹ = X¹/(X-X²)
oops korrigiert

 

Ich denke, ich habe das Problem (wennauch im Prinzip nur geraten) nun zufriedenstellend gelöst:

d.s² = -c²d.t²(1-Σ.(rs/r)) + d.x²/(1-Σ.(Δ.x·rs/r²)) + d.y²/(1-Σ.(Δ.y·rs/r²)) + d.z²/(1-Σ.(Δ.z·rs/r²))

Rainer Raisch schrieb:

Selbstverständlich versuche ich nur eine statische VakuumLösung a la Schwarzschild:

Ich habe zwar keine Ahnung was dein Σ und die ganzen anderen unerklärten Variablen bedeuten, aber wenn die Metrik trotz mehrerer Massen statisch sein soll braucht man entweder elektrische Ladung die der Gravitation entgegenwirkt oder eine kosmologische Konstante damit die Körper zumindest einen Abstand haben können auf dem sie statisch bleiben, ansonsten werden die Skalare nicht passen.

Rainer Raisch schrieb:

Selbstverständlich versuche ich nur eine statische VakuumLösung a la Schwarzschild:
 

Yukterez schrieb:

aber wenn die Metrik trotz mehrerer Massen statisch sein soll
 

Die Metrik "soll" nicht statisch stabil sein, sondern sie beschreibt einen statischen Zustand, völlig egal, ob dieser stabil ist.
DASS dies nicht real stabil wäre, ist dafür ja nicht abträglich, sondern eine Abstraktion.
Schwarzschild postuliert auch eine inkompressible Kugel, egal, ob sie sich real kontrahieren würde. Dies ist nur eine statische Beschreibung. Für die Dynamik ist der Anwender verantwortlich. Die Kräfte (Beschleunigungen)  ergeben sich ja aus dieser Metrik, aber zusätzlich eben auch die konkrete Raumzeitkrümmung.

Das Σ ist das normale Summenzeichen. Δ ist die Differenz. (als Funktion erkenntlich an dem verbindenden Punkt).
r = ²(Δ.x²+Δ.y²+Δ.z²) Koordinatenabstand  jedes Körpers zum Raumzeit-Punkt X muss größer als 0 sein.
Δ.xₐ = x-xₐ
Also keine Zaubersymbole.
Den Index zB a habe ich weggelassen, das ergibt sich ja so schon aus der Summe. Alle in der Summe vorkommenden Größen (rs, r und x, y, z) sind auf das jeweilige Objekt bezogen.

Schön wäre es ja, wenn man die Formel anhand eines bekannten Ergebnisses testen könnte.
Jedenfalls kann man Raumdehung und Zeitdilatation für jeden Punkt im Raum bei gegebener Massenverteilung berechnen, egal ob Zweikörper, Dreikörper oder mehr.

Bei langsamen Pekuliarbewegungen ist diese Lösung sicherlich für eine momentane Situation im Sonnensystem mit sehr guter Näherung anwendbar. Inwieweit die Dynamik Einfluss auf die Raumzeitkrümmung hätte, kann ich nicht beurteilen.

Rainer Raisch schrieb:

Das Σ ist das nornale Summenzeichen.

Dann würde dein gtt beim doppelten Schwarzschildradius zweier Massen 0.
 

Rainer Raisch schrieb:

ds² = -gtt·c²dt²+gxx·dx²+gyy·dy²+gzz·dz²

Die normalen Schwarzschildkoordinaten in kartesischer Form haben jedenfalls Kreuzterme, siehe

Yukterez schrieb:

Dann würde dein gtt beim doppelten Schwarzschildradius zweier Massen 0.

Nein, r ist kein Vektor und immer positiv.

Yukterez schrieb:

Die normalen Schwarzschildkoordinaten in kartesischer Form haben jedenfalls Kreuzterme

Das muss ich nochmal genau vergleichen.
Bei den Kreuztermen verstehe ich allerdings nicht die Bedeutung.

Rainer Raisch schrieb:

Bei den Kreuztermen verstehe ich allerdings nicht die Bedeutung.

Die normalen Schwarzschildkoordinaten in deren Stil deine Vielkörpermetrik geschrieben ist und auf die sie sich bei nur einer Masse reduzieren soll sind ja umfangtreu, aber radial verzerrt. Wenn der Umfang über φ und der Radius über r geht braucht man da das fein getrennt ist keine Kreuzterme, aber bei x,y,z wird es ja vermischt. Ganz unten auf der Seite wo man hinkommt wenn man auf die Formel da oben klickt ist die Transformation von sphärisch auf kartesisch.

Die kovarianten räumlichen Kreuzterme in kartesischer Form kriegt man zwar weg indem man stattdessen die räumlich flachen Gullstrand Painlevé Koordinaten nimmt, aber nur zu dem Preis dass man damit auch die raumzeitlichen Kreuzterme die man dort hat übernehmen muss (kontravariant hingegen gibt es dann gar keine leeren Einträge mehr):

Droste war schon eher, was ich meinte.
Die Kreuzterme fehlen halt bei meinem Entwrurf, es ist ja nicht so, dass sie stören.

Mir geht es ja nur darum, r, rs, und x,y,z durch eine Summe zu ersetzen, und zwar zeitlich als Skalare und räumlich als gerichtete Komponenten bzw vorzeichenbehaftet.

Aber es gibt noch kleine Unterschiede in den Diagonaltermen und bei den Kreuztermen fehlt mir noch jede Vorstellung. Der Faktor (x/r)² etc leuchtet mir zwar grundsätzlich ein, doch wundert es mich, dass er benötigt wird.

Bei der Berechnung der Shapiroverzögerung der Lichtablenkung an der Sonne habe ich auch keine Kreuzterme berücksichtigt, sondern an jedem Punkt die tangentiale und radiale Auswirkung vektoriell gewichtet. Kommen dabei auch noch Kreuzterme ins Spiel oder ist das dasselbe?

∫²(dr²/σ⁴+dt²/σ²)
σ=²(1-rs/r)
dr=dλ·r/D radiale Komponente
dt=dλ·²(D²-r²)/D tangentiale Komponente

Rainer Raisch schrieb:

∫²(dr²/σ⁴+dt²/σ²)
σ=²(1-rs/r)
dr=dλ·r/D radiale Komponente
dt=dλ·²(D²-r²)/D tangentiale Komponente

Mit "dt = tangentiale Komponente" und den undefinierten Variablen D und λ kann ich nichts anfangen, dt ist normalerweise das Differential für die Koordinatenzeit und das ändert sich nicht wenn man von sphärisch nach kartesisch transformiert. Die auf eine Ebene ausgerichteten Winkel haben auf Deutsch dΩ. Die Transformation hin und zurück geht so:

Yukterez schrieb:

Die Transformation hin und zurück geht so:

Ja, danke.
Aber wenn ich das Feld in kartesischen Koordinaten beschreibe, kann ich es doch ohne Kreuzterme beschreiben, das müsste im Ergebnis das gleiche sein.
Ich beschreibe nur die Raumdehnung in x,y,z-Richtungen. Das müsste doch genügen.
dr²/σ² → dx²x²/r²σ² +dy²y²/r²σ² +dz²z²/r²σ²
φ und θ benötige ich nicht, weil x,y,z bereits das ganze Feld abdecken.

Die Faktoren x²/r² etc sind mir jetzt schon klar, sie beziehen sich ja auf die Dehnung 1/σ², das hatte ich ursprünglich wohl in den Shapirofaktor hineingezogen, was den gegenteiligen Effekt hätte.


 

gelöscht da die diagonalisierten  Kastor Traschen style Koordinaten die ich dafür empfehlen wollte zu exotisch sind

Rainer Raisch schrieb:

Aber wenn ich das Feld in kartesischen Koordinaten beschreibe, kann ich es doch ohne Kreuzterme beschreiben, das müsste im Ergebnis das gleiche sein.
dr²/σ² → dx²x²/r²σ² +dy²y²/r²σ² +dz²z²/r²σ²
 

Das war zu einfach.
Bei x=0 ergäbe sich ja immer dx=0
1/σ ist ja die ganze Strecke, nicht nur die Dehnung.
Man muss also dx addieren, was zur Komponente +1 führt, diesen Beitrag muss man aber radial wieder eliminieren, was zu den Kreuztermen führt.

Aber noch ein Versuch:
Trennt man den normalen Term dr²/σ in einen ungedehnten Teil und die Dehnung auf
dr²/σ = dr²(1+(1/σ-1)) = dx²(1+(1/σ-1)x²/r²) + dy²(1+(1/σ-1)y²/r²) + dz²(1+(1/σ-1)z²/r²)
dann müsste das doch funktionieren?

für dx² → (1+(1/σ-1)x²/r²) = (1+x²(1-σ)/r²σ) = 1+x²(rs/r)/r(r-rs) = 1+(x²/r²)/(r/rs-1) = 1+x²/(r³/rs-r²)) = 1+ξ²β²/σ²
ξ = x/r
β² = rs/r
σ² = 1-β²
Damit bekommt man eine wunderbare Tangentengleichung für den Lichtweg weil dy = dz = 0
ds² = -c²dt²σ²+dx²(1+x²/(r³/rs-r²)))

Yukterez schrieb:

Mit "dt = tangentiale Komponente" und den undefinierten Variablen D und λ kann ich nichts anfangen, dt ist normalerweise


 

D ist die Distanz (Eikonal), die nach λ parametrisiert wird, also die Obergrenze des Integrals
D = ∫dλ
Da ich rein räumlich rechne, weil ich die Zeitdilatation σ in eine fiktive Streckenverlängerung 1/σ umrechne, habe ich dt für die tangentiale Komponente missbraucht. Ebenso habe ich ja dr für die radiale Komponente benützt, da ich nach λ parametrisiere, stört das nicht.
dλ² = dr²+dt² oder besser, um nicht dt zu missbrauchen dλ² = dr²+dθ²

Hierbei ergibt sich
r² = λ²+b²
mit dem Stoßparameter b, das ist im Fall der Lichtablenkung an der Sonne b = Ro Radius der Sonne.

Rainer Raisch schrieb:

Damit bekommt man eine wunderbare Tangentengleichung für den Lichtweg weil dy = dz = 0
ds² = -c²dt²σ²+dx²(1+x²/(r³/rs-r²)))
 

dt = dx·²(1/(1-rs/r)+x²/((1-rs/r)(r³/rs-r²)))/c
Δt = ∫dt-D/c
Ich habe hiermit die Shapiroverzögerung bei der Lichtablenkung am Sonnenrand neu berechnet und bekomme exakt dasselbe Ergebnis wie vorher bzw dieselben beiden Ergebnisse, zwischen denen sich WA nicht entscheiden kann.

Rainer Raisch schrieb:

Trennt man den normalen Term dr²/σ in einen ungedehnten Teil und die Dehnung auf

Mist, da ist mir ja ein σ flötengegangen, der Term lautet natürlich dr²/σ² ODER dr/σ
dann ergibt sich
dr²/σ² = dr²(1+(1/σ²-1)) = dx²(1+(1/σ²-1)x²/r²) + dy²(1+(1/σ²-1)y²/r²) + dz²(1+(1/σ²-1)z²/r²)

und somit
für dx² → (1+(1/σ²-1)x²/r²) = (1+x²(1-σ²)/r²σ²) =
Der Rest stimmte aber (Einsteinscher Doppelfehler
= 1+x²(rs/r)/r(r-rs) = 1+(x²/r²)/(r/rs-1) = 1+x²/(r³/rs-r²)) = 1+ξ²β²/σ²

Meine Lösung lautet also dann komplett
ds² = -c²dt²(1-Σₐ.(rsₐ/rₐ)) +dx²(1+Σₐ.[(Δxₐ/rₐ)²/(rₐ/rsₐ-1)]) +dy²(1+Σₐ.[(Δyₐ/rₐ)²/(rₐ/rsₐ-1)]) +dz²(1+Σₐ.[(Δzₐ/rₐ)²/(rₐ/rsₐ-1)])

Yukterez schrieb:

 gelöscht da die diagonalisierten  Kastor Traschen style Koordinaten die ich dafür empfehlen wollte zu exotisch sind

Kannst Du evtl verifizieren, ob dies das Gleiche ist wie meine Lösung? Die wichtigen Elemente kommen ja genauso vor.