Das Kuppel Paradoxon

Rainer Raisch schrieb:
Das muss ich später in Ruhe lesen.

Der relevante Part ist der:
 

sites.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/Dome wrote:
The spontaneous motion can happen only on domes of the right shape, such as those of Figure 1a. It cannot happen on others such as a hemispherical dome. [...] on a hemispherical dome, the time taken for the mass to rise to its momentary halt increases without bound. The final trajectory we seek, the one that momentarily halts at the apex, turns out to require infinite time. This means that the mass never actually arrives. Its time reverse displays a mass that has been in motion at all past times, without any spontaneous launches. The corresponding time for the dome of Figure 1a, however, is finite, so the analysis does succeed for this case.

Norton gibt zwar nur die Funktion für h(r), aber um die Kuppel zu plotten ist h(x) besser. Auf Nortons Seite und im Video verwenden sie ja nur den obersten Teil der Kuppel, die komplette Range sieht so aus:

Bei r>0.6 würde die Kugel beim Hinunterrollen aber eigentlich von der Kuppel abheben und als Wurfparabel weiterfliegen da die horizontale Geschwindigkeit da ihr Maximum hat (oder beim Hochschießen geradewegs nach oben fliegen statt den Berg hinaufzurollen da die Abschussgeschwindigkeit ganz unten vertikal wäre), wenn man den ganzen Bereich bis r=1 nimmt wird eigentlich vorausgesetzt dass die Kugel aus Prinzip nicht fliegen kann und reibungslos an die Kuppel gebunden wäre:
 

sites.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/Dome wrote:
The gravitational force can only accelerate the mass along the surface.

Für den Bereich bei r=0 wo die eigentliche Musik spielt ist das zwar egal, aber nichtsdestotrotz.

Yukterez schrieb:

Norton gibt zwar nur die Funktion für h(r), aber um die Kuppel zu plotten ist h(x) besser

r als intrinsische Distanz ist sowieso total verwirrend.

Wie könnte man denn die Koordinaten des Mittelpunkts der rollenden Kugel berechnen?
Oder gilt das Ganze nur für eine Punktmasse?

Für eine rollende Kugel wäre ohnehin noch der eigene Drehimpuls zu berücksichtigen.

Yukterez schrieb:

wenn man den ganzen Bereich bis r=1 nimmt

Das muss man ja nicht, r < 1 genügt ja. r=1 kann man dann als fiktiven Grenzwert anfügen.

Interessant finde ich, dass die Spitze eher spitz als flach aussieht.

Rainer Raisch schrieb:

Wie könnte man denn die Koordinaten des Mittelpunkts der rollenden Kugel berechnen?
Oder gilt das Ganze nur für eine Punktmasse?

Kann man auch, aber dann braucht man auch noch den Radius, das Trägheitsmoment und die Reibung der Kugel, bei Norton wird da es nur ums Prinzip geht mit idealisierten und reibungsfreien Punktmasse gerechnet.
 

Rainer Raisch schrieb:

Interessant finde ich, dass die Spitze eher spitz als flach aussieht.

dh/dr und damit auch dh/dx ist in der Mitte zwar 0, aber es erreicht diesen Wert mit einer am y=dh/dx, x=x Diagramm spitz zulaufenden Funktion:

Yukterez schrieb:

Kann man auch, aber dann braucht man auch noch den Radius, das Trägheitsmoment und die Reibung der Kugel

 

Zunächst geht es nur um den Radius. Reibung berücksichtigen wir nicht. Hinsichtlich der Trägheitsmoments beschränkt man sich dann wohl am besten auf die Hohlkugel.

Ich ging zwar ursprünglich vom Trägheitsmoment Null aus, also Punktmasse im Zentrum der Kugel. Es ging mir dabei um den Unterschied zwischen dem Ende der Schräge und dem Beginn der Horizontale. An der Spitze ist für einen Punkt beides gleichzeitig gegeben. Es stellt sich eben die Frage, ob das Zentrum der Kugel ebenfalls zugleich die Position dH/dX=0 erreicht, wenn der Kontaktpunkt diese Position erreicht. Bei einer spitz zulaufenden Funktion dH/dX habe ich daran Zweifel. Soweit ich das verstehe, ist die zweite Ableitung dann auch nicht mehr kontinuierlich.

Yukterez schrieb:

idealisierten und reibungsfreien Punktmasse gerechnet.

Die Annahme von Punkten ist das große Manko. Bzw sprechen wir dann bestenfalls nur noch von Elementarteilchen und somit von UR etc.

Yukterez schrieb:

aber der Snap d⁴r/dt⁴=1/6

Das ist eigentlich die Lösung der Paradoxie.
Achja, das hast Du ja auch geschlussfolgert.

Lege ich eine Kugel mit sna = 0 auf die Spitze, wird sie dort liegen bleiben.

Außerdem ergibt sich daraus doch, dass die Kugel auch nach dem Erreichen der Spitze nicht dort liegenbleibt, sondern sie muss weiterrollen.
j = t·sna
a = t²sna/2
v = t³sna/6
s = t⁴sna/24

Soweit ich sehe, ist das genau mein Argument, dass an der Spitze das Ende der Kurve mit sna > 0 und die stabile Spitze mit sna = 0 in einen Topf geworfen werden.

Aber wenn sna → 0 dann j > 0 und wenn dann wieder j → 0 dann a > 0 und wenn wieder a → 0 dann v > 0 und die Kugel rollt ungebremst weiter bzw auf der anderen Seite hinunter.

Yukterez schrieb:

werde ich auf Stackexchange danach fragen.

Da haben wir es ja schon

math.stackexchange.com/questions/1426755...in-classical-physics
Norton's dome is not evidence for non-determinism. The dome curve equation admits solutions which are non-Newtonian in one singular point in the infinity of positions in state space.It's trivial to show Norton's extra solution, whilst being a correct solution to the differential equation, is not Newtonian at the 'singularity'. This is because it has a constant value for jounce or snap, with is a 4th order term that is the "acceleration of acceleration". This is what allows the particle to move off the apex despite zero velocity and acceleration there.
blog.gruffdavies.com/2017/12/24/newtonia...nistic-sorry-norton/

Yukterez schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

Weil die Kugel nie zum Stehen kommt, sondern nur asymptotisch.

Das hat Zenon von Elea auch gedacht als er sein vermeintliches Paradoxon von Hase und Igel erfunden hat, aber sowohl v(t) und a(t) als auch v(r) und a(r) werden hier nicht nur asymptotisch sondern richtig 0.


 

Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte waren es, die nie auf der gegenüberliegenden Straßenseite ankommen, paradoxerweise, wenn sie immer wieder ihren nächsten Schritt halbieren. Hase und Igel sind die Protagonisten eines Wettrennens, in dem - überraschend - immer der Igel als erster ins Ziel gelangt (also in real, des Igels Frau, die am Ziel wartet - und am Start ihr "Mann"...

Bin neugierig, Rainer weshalb du die Arbeit des Department of History and Philosophy of Science von 2006 gerade jetzt gepostet hast? Abgesehen von der Lust und Freude am Rechnen.

Gesundes Neues, allemann!

PS
Dieses Jahr noch keine Zeit gefunden Paper zu lesen, vielleicht kommt also später noch eine inhaltliche Stellungnahme.

Mondlicht2 schrieb:

gerade jetzt gepostet

Zufallsfund