Das Kuppel Paradoxon

Wir kennen dies als "spontane Symmetriebrechung" in der Quantenwelt, hier geht es aber (als Gedankenexperiment) um die makroskopische Welt nach Newton ohne Quanteneffekte.



Die "Anregungszeit" T ist natürlich ebenso beliebig wie die Richtung. Naja wer weiß, vlt gäbe es dafür eine statistische Halbwertszeit.
Hier das Original von Norton:

sites.pitt.edu/~jdnorton/papers/DomePSA2006.pdf

Falls wer von der KI generierten Stimme abgeschreckt ist: das Video hat mehrere Audiotracks, aber nur der englische ist menschlich. Anscheinend merkt Youtube dass die Endung hier .de ist und serviert deshalb standardmäßig die automatische Übersetzung wenn man es eingebettet anschaut, aber da man das eh umstellen kann darf man sich davon nicht abschrecken lassen. Ich war schon dabei nach ein paar Sekunden abzuschalten da ich die KI Stimme nicht aushalten würde, aber dann habe ich zum Glück bemerkt dass auch eine richtige Tonspur dabei ist.

Rainer Raisch schrieb:

Die "Anregungszeit" T ist natürlich ebenso beliebig wie die Richtung.

Ja, und mit einer "Anregung" ist dann auch das Ergebnis determiniert, weil die eine Richtung festlegt. Bei 18:17 wird a(t) = 0 für t = T und a(t) ≠ 0 für t > T vorgerechnet, aber letzteres gilt ja auch für t < T. Also ist doch dieses T vollkommen willkürlich und impliziert eben eine Anregung, die nirgends spezifiziert ist. Der Determinismus steckt dann natürlich in dieser Anregung. Ohne sie, also im idealisierten Fall, bleibt die Kugel für immer auf der Spitze des Doms.

Das "Problem" ist m.E. die leider allzu oft unreflektierte Anwendung der modernen Mathematik in der Physik, wo man wie selbstverständlich von idealisierten Punkten ohne Ausdehnung in Raum und Zeit ausgeht. Das war auch in der Mathematik nicht immer so und ist eher ein philosophische Frage. Die alten Griechen hätten z.B. die diophantische Gleichung x³ + 3x² -10x + 202 = 0 für unsinnig gehalten, weil x³ für ein Volumen steht, x² für eine Fläche und x für eine Länge, was völlig unterschiedliche Dinge sind, die man nach ihrer Auffassung nicht einfach in einer Gleichung verwursten kann. Abgesehen davon war diese symbolische Schreibweise noch nicht erfunden.
 

Steinzeit-Astronom schrieb:

Also ist doch dieses T vollkommen willkürlich und impliziert eben eine Anregung, die nirgends spezifiziert ist.

korrekt

Hier noch ein Karotten-"Paradoxon"  :

Steinzeit-Astronom schrieb:

Das "Problem" ist m.E. die leider allzu oft unreflektierte Anwendung der modernen Mathematik in der Physik

 

Ja, nicht alles, was mathematisch möglich ist, ist dann auch eine mögliche physikalische Realität.

Daher sehe ich es für die Physik nicht als problematisch an, wenn eine Differentialgleichung mehr als eine Lösung hat, aber nur eine davon physikalisch sinnvoll ist.

Clauss schrieb:

wenn eine Differentialgleichung mehr als eine Lösung hat, aber nur eine davon physikalisch sinnvoll ist

Im Fall mit dem Kuppelparadoxon sind aber beide Lösungen sinnvoll, außer man wirft die Time Reverseal Symmetrie über den Haufen, aber das kann man unter Newton nicht machen. Daher kann eine Kugel die genau so nach oben gerollt ist dass sie oben zum Stillstand kommt schon aus zeitlichen Symmetriegründen wieder hinunterrollen nach dem sie mit 0 Geschwindigkeit und 0 Beschleunigung dort angekommen ist und verharrt hat.

Eine mögliche Lösung des Problems wäre, dass es unmöglich ist, eine Kugel nach oben zu rollen, die genau am Maximum im Gleichgewicht stehen bleibt, sodern dass eine exakt dort platzierte Kugel auch ewig dort verharren würde.

ODER die Kugel, die die fraglichen Bedingungen erfüllt, nähert sich ja dem fraglichen Punkt asymptotisch, erreicht diesen also nie ganz, was die obige Aussage bestätigt, dass es nicht möglich ist, die Kugel so nach oben zu rollen, dass sie den fraglichen Punkt erreicht.

Die Lösung des Problems ist ähnlich wie die des Banach-Tarski-Paradoxon (Kugelparadoxon), wo ebenfalls infinitesimale Volumina mit Punkten verwechselt werden: egal wie unendlich viele Punkte man zusammenfügt, ergibt dies niemals ein Volumen. Mit dV funktioniert der Zaubertrick aber nicht.
Σ.x¹ = N = ℵ₁
∫.x¹dV = V
N ≠ V
Beim Integral wird übrigens gar nicht über alle Punkt N integriert, sondern über ein Subset V/dV mit dV→0 aber immer dV > 0
N lässt sich im Gegensatz zu V beliebig oft vermehren.

Die Kuppel besteht aus Atomen, die sich ständig bewegen. Wenn eine Kugel auf den Atomen der Kuppel liegt, übt sie Druck auf diese aus, wodurch eine kleine Delle entsteht, die Reibung verursacht.
Die Richtung der Bewegung hängt dabei von den Bewegungen der Atome und der relativen Position der Atome der Kugel zu den Atomen der Kuppel ab.
Ein komplexes Experiment lässt sich also in der Realität nicht mit einer einfachen Formel beschreiben.

Rainer Raisch schrieb:

Eine mögliche Lösung des Problems wäre, dass es unmöglich ist, eine Kugel nach oben zu rollen, die genau am Maximum im Gleichgewicht stehen bleibt, sodern dass eine exakt dort platzierte Kugel auch ewig dort verharren würde.

 

Wenn man idealisierte Bedingungen annimmt (keine Störung, ideale Formen, keine Reibung, ...), dass fällt mir kein Grund ein, warum es theoretisch unmöglich sein soll, eine Kugel genau auf den Gleichgewichtspunkt zu rollen.

Die Zeitsymmetrie ist nach meinem Verständnis ohnehin verletzt. Man kann von unten von jedem Winkel aus die Kugel hochrollen können. Wenn die Kugel oben angekommen ist und die Annahme richtig wäre, dass sie zu einem beliebigen Zeitpunkt wieder herunterrollen kann, dann müsste dies für jeden Winkel gleich symmetrisch sein. Da Winkel kontinuierlich sind, müsste die Wahrscheinlichkeit 0 sein, dass die Kugel runter genau den selben Winkel wie rauf rollt.

Clauss schrieb:

warum es theoretisch unmöglich sein soll, eine Kugel genau auf den Gleichgewichtspunkt zu rollen.
 

Weil die Kugel nie zum Stehen kommt, sondern nur asymptotisch.

Rainer Raisch schrieb:

Weil die Kugel nie zum Stehen kommt, sondern nur asymptotisch.

Das hat Zenon von Elea auch gedacht als er sein vermeintliches Paradoxon von Hase und Igel erfunden hat, aber sowohl v(t) und a(t) als auch v(r) und a(r) werden hier nicht nur asymptotisch sondern richtig 0.

Yukterez schrieb:

Das hat Zenon von Elea auch gedacht als er sein vermeintliches Paradoxon von Hase und Igel erfunden hat, aber sowohl v(t) und a(t) als auch v(r) und a(r) werden hier nicht nur asymptotisch sondern richtig 0.

Das ist hier anders, weil es sich um eine Krümmung handelt, und die flache Ebene nie (sondern nur asymptotisch)  erreicht wird, sonst würde die Kugel nämlich weiterrollen, auf der anderen Seite hinunter.

Rainer Raisch schrieb:

Das ist hier anders, weil es sich um eine Krümmung handelt, und die flache Ebene nie (sondern nur asymptotisch)  erreicht wird, sonst würde die Kugel nämlich weiterrollen, auf der anderen Seite hinunter.

In dem Video das du dazu verlinkt hast ist keine Rede von asymptotisch, und in den anderen Quellen auch nicht, man kann die Kugel auch von Anfang an in der Mitte platzieren. Wenn sie den letzten Teil der Strecke asymptotisch hinaufrollen würde müsste sie auch asymptotisch hinunterrollen, was aber nicht der Fall ist, siehe die Lösung für r(t).

Ich denke, was das Paradoxon aufzeigen soll, ist, dass wir vorsichtig sein sollten, wenn wir behaupten, dass eine Theorie deterministisch ist - und noch vorsichtiger bei Rückschlüssen, dass die Welt deterministisch ist, weil einige unserer Theorien das sind. Mathematisch kann die Kugel jederzeit in jede beliebige Richtung runter rollen, da gibt es nichts zu meckern, das ist die idealisierte Familie an Lösungen relativ zu der verwendeten Theorie (d.h. Idealisierung). Die Vorstellung, dass nur eine dieser Lösungen physikalisch real ist, ist schon deswegen absurd, weil wir es mit einer Situation zu tun haben, die mit der idealisierten Lösung ohnehin nicht viel zu tun hat (die Lösung, in der die Kugel oben liegen bleibt, ist instabil gegen kleinste Störungen, die in der echten Welt halt auftreten). Wenn überhaupt entspricht also nur eine Lösung unserem Newton'schen Ideal.

Aber um auf das Thema Determinismus zurück zu kommen (und warum es so wichtig ist, diese Newton'sche Vorstellung infrage zu stellen, wie das Kuppelparadoxon es tut): inzwischen wissen wir ja, dass auf Quanten-Ebene die Welt eben nicht deterministisch ist, und während man mit dem Gesetz der Großen Zahlen vielleicht erklären kann, warum fallende Äpfel sich entsprechend deterministischer Gleichungen bewegen, wäre eine saloppe Übertragung auf die Welt als Ganze grob fahrlssig; schließlich könnte ich ja an eine Quanten-Münze, die echt zufällig spin up oder spin down ausspuckt, eine Bombe koppeln, die die Erde zerstört im fall spin up und im andern Fall nichts tut. Jetzt kann man zwar sagen, dass das Gesetz der großen Zahlen garantiert, dass 50% aller Erden verrückt gewordene Wissenschaftler überleben - aber wir haben halt nur eine Erde.

Ich denke, dass Physiker mitunter Zwanghaft am Determinismus hängen (siehe Sabine Hossenfelder, die bekannte Superdeterministin...) hängt damit zusammen, dass Physiker außerhalb der Quantenmechanik kaum eine Sprache entwickelt haben, um mit Ungewissheiten pragmatisch umzugehen und immer noch brauchbare Schlüsse zu ziehen. Ich spreche dabei nicht nur von Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Evolutionstheorie zum Beispiel hat eine ganz eigene Herangehensweise entwickelt, aus dem Zusammenspiel zwischen Kontingenz (Mutationen, Epigenetik,...) und Notwendigkeit (Selektion) ein komplexes Verständnis der Welt zu entwickeln. Und in der Computerwissenschaft haben wir ebenfalls ganz eigene Ansätze, über nicht definiertes Verhalten nachzudenken (Reihenfolge, in der Threads terminieren; willkürliche Nutzereingaben; Zeitspannen erfassen und darauf reagieren; bewusste Anwendung von Zufallsgeneratoren für bestimmte Zwecke;...).

Yukterez schrieb:

Wenn sie den letzten Teil der Strecke asymptotisch hinaufrollen würde müsste sie auch asymptotisch hinunterrollen, was aber nicht der Fall ist, siehe die Lösung für r(t).

Die erste Gleichung stimmt schon von den Dimensionen her nicht
h = ²r³(2/3g) (1)
where r is the radial distance coordinate in the surface of the dome, h is the vertical distance of
each point below the apex at r=0 and g is the constant acceleration

→ [h] = ²m·s²
oder wenn g im Zähler stehen soll [h] = ²m⁵/s²

genauso komisch sind m ≠ s⁴ und m/s² ≠ s²
r = t⁴/144 (4)
a = t²/12 (5)


Aber von diesen seltsamen Formeln abgesehen dürfte klar sein, dass eine Kugel oben immer langsamer wird, aber nie stehen bleibt, sondern ewig weiter rollt. Wenn man die Beschleunigung so berechnet, dass der oberste Punkt erreicht wird, dann rollt sie weiter. Wenn man es so berechnet, dass die Geschwindigkeit am obersten Punkt v=0 ist, dann wird sie diesen Punkt nicht erreichen.

Aber rechnen wir es anders.

Um den obersten Punkt zu erreichen muss die Potentialdifferenz hineingesteckt werden. Der Krümmungsverlauf der Kuppel ist dafür vollkommen irrelevant.

E/m = h·g = v²/2
v = ²(2h·g)

Dies sagt aber dann nichts über den zeitlichen Verlauf. Für diesen ist der Krümmungsverlauf im allerletzten Abschnitt ausschlaggebend. Und je weniger Krümmung, desto geringer muss die Geschwindigkeit sein, die Kugel kann sich nur asymptotisch annähern. Sie wird sich in alle Ewigkeit ganz geringfügig bewegen müssen und darf den Punkt nie ganz erreichen.

Der Hangabtrieb auf der schiefen Ebene s beträgt
aH = g·h/s
Sobald h=0 verschwindet die bremsende Wirkung, vorher bewegt sich die Kugel aber noch, sonst würde sie den Punkt nicht erreichen.

Das Ganze lässt sich noch vereinfachen, indem man nur die schiefe Ebene ohne Änderung der Krümmung annimmt.
s = t²a/2
v = t·a
Das Ende der schiefen Ebene s=0 wird genau dann erreicht, wenn v=0, doch das reicht nicht aus, um die schiefe Ebene auch zu verlassen, also den stabilen Punkt zu erreichen. Dazu muss sich die Kugel zumindest so weit drehen, dass ihr Zentrum (vom Berührpunkt aus gesehen) nicht mehr senkrecht zur schiefen Ebene zeigt, sondern zur horizontalen Ebene.
Durch den allmählichen Krümmungsverlauf wird diese Tatsache lediglich verschleiert und mündet eben in der asymptotischen Annäherung.

Die Bezeichnung als Kipppunkt ist daher äußerst passend.

Rainer Raisch schrieb:

Die erste Gleichung stimmt schon von den Dimensionen her nicht
h = ²r³(2/3g) (1)

Dafür ist die Proportionalitätskonstante zuständig, wenn man in natürlichen Einheiten rechnet kann man die auf 1 setzen.

Rainer Raisch schrieb:

Durch den allmählichen Krümmungsverlauf wird diese Tatsache lediglich verschleiert und mündet eben in der asymptotischen Annäherung.

Du solltest mal googeln was asymptotisch bedeutet. Das zusammengefasste TLDR lautet dass der gewünschte Wert bei einer asymptotischen Funktion erst bei Limes t→∞ erreicht wird, während r=dr/dt=d²r/dt²=0 hier bereits bei t=exakt erreicht wird:

Wenn man die Kugel bereits von Anfang an von oben herab in der Mitte platziert so wie es auch im Video gemacht wird stellt sich auch gar nicht die Frage ob sie asympotisch und aus welcher Richtung dort angekommen ist:

Erwähnt gehört auf jeden Fall dass oben auf der Kuppel sowohl Position r, Geschwindigkeit dr/dt, Beschleunigung d²r/dt² und Ruck d³r/dt³ Null sind, aber der Snap d⁴r/dt⁴=1/6 (alle noch höheren Derivatives sind wieder Null):

Integrationskonstante für die Anregungszeit kriege ich hier keine heraus, da müsste die Kugel sofort nachdem man sie hinlegt losrollen, aber da hier auch nicht feststeht ob sie nach links oder rechts rollen wird und die Startbedingungen auch keine Vorzugsrichtung zulassen bleibt das nach wie vor indeterministisch.

Vielleicht muss man in so einem Fall wo die Bewegungsgleichungen als zweite Zeitableitung definiert indeterministische Ergebnisse liefern auch die höheren Ableitungen als Startbedingung auf 0 setzen, da muss ich mich mal einlesen ob Norton auch was dazu sagt und wenn ja was.

Wenn man das täte wäre die Funktion jedenfalls nicht mehr stetig differenzierbar, was höchstwahrscheinlich auch ein großes Problem wäre, aber vielleicht ist das in dem Fall auch aus Symmetriegründen gerechtfertigt.

Wenn Norton eine undefinierte Anregungszeit annimmt in der die Kugel ruht bevor sie losrollt setzt das stillschweigend voraus dass alle Derivatives 0 sind bis irgendwann plötzlich die 4. Ableitung von 0 auf 1/6 springt, was ich weder mathematisch noch logisch nachvollziehen kann da er die Kuppel ja nach seiner gewünschten Beschleunigung d²r/dt²=√r die einem konstanten Snap d⁴r/dt⁴=1/6 entspricht konstruiert hat.

So wie ich das verstehe müsste sie wenn dann sofort in eine unbestimmbare Richtung losrollen ohne dass auch noch eine unbestimmte Zeitspanne dazwischen liegt, keine Ahnung wo der seine Integrationskonstante herzaubert. Vielleicht klärt sich das auch noch auf wenn ich mehr dazu lese, wenn nicht werde ich auf Stackexchange danach fragen.

Yukterez schrieb:

bereits bei t=exakt erreicht wird

Das muss ich später in Ruhe lesen.