Wann bilden die Zeiger einen rechten Winkel?

Der große Zeiger der Uhr bewegt sich deutlich schneller als der kleine.
Deshalb ändert sich der Winkel zwischen ihnen auch ständig.
Wann beträgt er exakt 90 Grad?

>raetsel-der-woche-wann-bilden-die-zeiger-einen-rechten-winkel?

badhofer schrieb:

...
Wann beträgt er exakt 90 Grad?

Die zahlen 1-12 sind je 30° von einander entfent. 360°/12

Der Stundenzeiger bewegt sich mit 360°/12/60 = 0,5°/min
Der Minutenzeiger Bewegt sich mit 360°/60 = 6°/min

Die Stundzeiger steht auf 5 Uhr 5 x 30° = 150°

θ(t)=∣(150°+0,5°t)−6°t∣

∣150°+0,5°t−6°t∣=90° oder ∣150°+0,5°t−6°t∣=270°

1) 150°−5,5°t=90°
2 150°−5,5°t=-90°

1) 150°−90°=5,5°t
60°=5,5°t
t=60° / 5,5°[min] ​≈10,91 Minuten

2) 150°+90°=5,5°t
240°=5,5°t
t=240° / 5,5°[min] ​≈43,64 Minuten

1) 17:00 uhr + 10 min + (60/100)*91
17:00:00 + 00:10:00 + 00:00:54,6
17:10:546 Uhr

2) 17:00 uhr + 43 min + (60/100)*64
17:00:00 + 00:43:00 + 00:00:38,4
17:43:384 Uhr

Das mussten wir mal in der Schule ausrechnen, ich weiß nur noch sehr viele Gleichungen... das ist was für Rainer...
Wenn ich mich richtig erinnere, bilden - grundsätzlich, beide Zeiger viermal pro Stunde einen rechten Winkel. Die Zeiten sind jedoch nicht regelmäßig, sondern sie variieren je nach Position der Zeiger. 

In der Küche habe ich eine analoge Uhr, zB  bilden auch 3:49 Uhr und 3:16 Uhr einen 90° Winkel. Erstaunliche 96 x täglich gibt es diese Konstellation...

t = 10+t/12
t = 120/11 = 10.9090909090909 Min

Mondlicht2 schrieb:

so einfach ist das nicht

Wie meinst Du das? Für meine Begriffe ist das ziemlich einfach.

Aber falls Du das Ergebnis anzweifelst, nach 10.9090909090909 Min ist der Stundenzeiger um
10.9090909090909/12 = 0.9090909090909 Min der Minutenskala vorgerückt

ja, es ist ganz einfach, auch für mich, nur haben wir mindestens 10 Gleichungen in der Schule ausgerechnet, um die 96 Konstellationen pro Tag zu berechnen.
Mal sehen, ob ich es noch zusammen bekomme...
 

Mondlicht2 schrieb:

um die 96 Konstellationen pro Tag zu berechnen.

Naja, das ist eine andere Aufgabe. Üblich berechnet man die Kostallationen, wo sie sich decken.

Da muss man wohl statt 10 eine Differenz 60 einsetzen. Das Ergebnis lässt sich dann beliebig oft addieren.

So gesehen muss es ja 11 mal in 12 Stunden geschehen, was auch wieder auf 12/11 hinausläuft.
also alle N·1.0909090909090909 Stunden?

96x
ich suche meinen Hefter, denn ich bekomme es allein auf die Schnelle sicher nicht hin,
allein für jede Stunde sind schon ...
Wenn ich fündig werde, ok, sonst bin ich draußen

Falls dich das interessiert, Rainer, aus meinem Hefter
1.  www.directupload.eu/file/d/8581/27lf45en_jpg.htm

2.  www.directupload.eu/file/d/8581/jyahdcao_jpg.htm


Bei Bedarf vergrößern. Damit haben wir uns beschäftigt, wusste ich nur noch dunkel und ist vielleicht off topic

Mondlicht2 schrieb:

Falls dich das interessiert, Rainer, aus meinem Hefter

ahja, das ist ± 90°
also doppelt so viele Fälle.

FabsOtX schrieb:

Die zahlen 1-12 sind je 30° von einander entfent. 360°/12

Der Stundenzeiger bewegt sich mit 360°/12/60 = 0,5°/min
Der Minutenzeiger Bewegt sich mit 360°/60 = 6°/min

Die Stundzeiger steht auf 5 Uhr 5 x 30° = 150°

 

Also muss der Minutenzeiger noch 150-90 = 60° aufholen.
Seine Relativgeschwindigkeit ist 6°/min - 0,5°/min = 5,5°/min.
Die 60° hat er nach 60/5,5 = 10,9090... Minuten aufgeholt.

Also um ca. 17:10 Uhr sind es ca. 90°.
Rainer hat richtig geraten ;–).

Steinzeit-Astronom schrieb:

Also um ca. 17:10 Uhr sind es ca. 90°.

 

OH NEIN! unterschätze das nicht. die sekunden sind wichtig.
17:10 sind es 95° bei 17:11 sind es nur noch 89,5°.

Achja stimmt natürlich, wollte eigentlich aufrunden auf 17:11 und nicht so extrem abrunden. :–)))

Jede Stunde, hat 2 90° Winkel. Außer die Stunde von 2 auf 3 Uhr und die Stunde von 8 auf 9 Uhr die haben nur 1 90° Winkel.

12 * 2 - 2 = 22

22 90° Winkel in 12 Stunden.

44 90° Winkel an einem Tag.   

FabsOtX schrieb:

Jede Stunde, hat 2 90° Winkel. Außer die Stunde von 2 auf 3 Uhr und die Stunde von 8 auf 9 Uhr die haben nur 1 90° Winkel.

12 * 2 - 2 = 22

22 90° Winkel in 12 Stunden.

44 90° Winkel an einem Tag.

genau

Rainer Raisch schrieb:

So gesehen muss es ja 11 mal in 12 Stunden geschehen, was auch wieder auf 12/11 hinausläuft.
also alle N·1.0909090909090909 Stunden?

Wie du mit der Zahl 1.0909090909090909 in diesem Zusammenhang etwas errechnest, ist mir nicht ganz klar. Kannst du errechnen, bei welchen 2 Uhrzeiten zwischen 04:00 Uhr und 05:00 Uhr sich die beiden Zeiger im rechten Winkel befinden indem du diese Zahl verwendest?

badhofer schrieb:

Wie du mit der Zahl 1.0909090909090909 in diesem Zusammenhang etwas errechnest, ist mir nicht ganz klar. Kannst du errechnen, bei welchen 2 Uhrzeiten zwischen 04:00 Uhr und 05:00 Uhr sich die beiden Zeiger im rechten Winkel befinden indem du diese Zahl verwendest?

 

Jeder weiß, dass sich die Zeiger um 12:00 = 0:00 = 24:00 Uhr decken.
Somit decken sie sich zB auch bei
0:00 + 4·1.0909090909090909 = 4.363636363636363 Std = 4:21:49.090909090909 Uhr

Für den 90° Winkel benötigen wir eine Uhrzeit, wo dieser zutrifft. Also zB von ganz oben 5:10.909 Uhr = 5.1818 Std
5.18181818181818 - 1.0909090909090909 = 4.0909090909090909 Std = 4:05:27.2727272727272 Uhr
Dies ist der Winkel +90° mit dem Minutenzeiger vor dem Stundenzeiger. Die gegenüberliegende Stellung hatte ich ja nicht berechnet.
Man sieht, dass es genau um 3:00 Uhr natürlich auch zutrifft, und der Gegenwinkel -90° eben um 9:00 Uhr. Damit erhalten wir die zweite Lösung
9:00-4·1.0909090909090909 = 4.63636363636363 Std = 4:38:10.90909090909 Uhr

Der Winkel von 120° ergibt sich also zB um 4:00 Uhr und somit wieder um 5.0909090909090909 Std = 5:05:27.2727272727272 Uhr sowie entgegengesetzt um 8:00 Uhr und somit auch um
8:00-2·1.0909090909090909 = 5.818181818181818 Std = 5:49:05.45454545454 Uhr etc.
Genau gegenüberliegende Zeiger 180° gibt es also um 6:00 Uhr und anders herum um
6+5·1.0909090909090909 = 11.45454545454545 Std = 11:27:16.36363636363 Uhr
 

Die Geschwindigkeiten sind:

• Minutenzeiger: 360° / 60 min = 6°/min
• Stundenzeiger: 360° / 12*60 min = 0,5°/min

Ihre Relativgeschwindigkeit ist 6°/min - 0,5°/min = 5,5°/min.

Der Stundenzeiger darf sich als ruhend betrachten. ;–)
Er sieht den Minutenzeiger nach jeder 360°-Runde wieder im gleichen Winkel stehen.

Eine 360°-Runde des Minutenzeigers dauert 360° / (5,5°/min) = 360/5,5 Minuten.
Es gibt pro Runde zwei gleiche Winkel: a) Stundenzeiger vorne und b) Minutenzeiger vorne.

In 24 Std. sind es (24*60 min. * 2 Winkel) / (360/5,5 min.) Runden = 44 Zeigerstellungen für jeden Winkel >0°.

Interessant ist, dass es zwar nur einen 0°-Winkel pro Stunde gibt statt zwei, was insgesamt aber nicht halb so viele Zeigerstellungen sind, also nicht 22/2 = 11 Stellungen in 12 Stunden, wie für jeden anderen Winkel, sondern eine mehr. 

Das kommt daher, dass jeder Winkel > 0° einen Weg auf dem Kreisumfang markiert, der 0°-Winkel aber nur einen Punkt. So verschwindet durch die zusätzliche Dimension (Kreissegment statt Punkt bzw. Flächensegment statt Radius) eine gezählte Einheit.

Oder anders gesagt, es entsteht durch die Symmetrie eine zusätzliche – sozusagen virtuelle – Einheit: Die Stunde von 3 bis 4 Uhr ist die vierte von 12 ab 0 Uhr. Die zur 0 symmetrische Stunde ist die neunte von 12. Rechnen muss man also 12 +1 – 4 = 9. Es ist die vierte von rückwärts, bzw. die vierte Stunde ist die neunte von rückwärts.

Es ist das gleiche Phänomen wie mit dem Dreizehn-Knoten-Seil  (Rechenseil), das man auch als  Zwölf-Konten-Schnur  verwenden kann, wenn man einen Knoten verschwinden lässt, indem man die beiden Endknoten verbindet.

Anderer Ansatz

Man kann die Position der Zeiger als komplexe Zahl in Exponentform schreiben:
(keine Angst, die sind gleich wieder weg^^)

Minutenzeiger: zm = e^i(-m π/30)
Stundenzeiger: zh = e^i(-h π/6)

Die Phasenwinkel der Zeiger betragen also
θm =  -m π/30 und
θh =  -h π/6.
Pro Stunde vergehen 60 min
m = 60h
das heist
θh =  -h π/6.
θm =  -60h π/30

Um 90° Winkel zu bekommen muss die Differenz der Phasenwinkel -π/2 oder -3π/2 betragen oder deren periodische Wiederholung.
(negative Vorzeichen weil die Uhr falschrum geht gemessen am mathematischen Orientierungsinn der Winkel)

Das ergibt eine Gleichung die zu lösen ist und lässt sich schreiben als

θm - θh  = -(2n+1)π/2   für n = 0, 1, ... usw.

Wir berechnen zunächst für n=0

θm - θh  = -π / 2
(-60h π/30) - (-h π/6) =  -π / 2.              / Nenner gleichmachen
(-60h π/30) - (-5h π/30) = -15π / 30.      /  π / 30 ausklammern und kürzen
-60h + 5h = -15
-55h = -15
h = -15/-55 = 3/11 oder m= 60h = 16.363636 min  = 0:16:22

Für n=1 ergibt sich

θm - θh  = -3π / 2
(-60h π/30) - (-h π/6) =  -3π / 2.              / Nenner gleichmachen
(-60h π/30) - (-5h π/30) = -45π / 30.      /  π / 30 ausklammern und kürzen
-60h + 5h = -45
-55h = -45
h = -45/-55 = 9/11 oder m= 60h = 49.090909 min  = 0:49:05
...
und so weiter
 
Wr erhalten also eine Folge für den Stundenzeiger.
h(n) = (3 + 6n)/11
für natürliche zahlen n = 0,1,...

Der Minutenzeiger ist dann immer (60h) mod 60

Für n=0...21 erhalten wir
n h t
0: 0.272727273 => 00:16:22
1: 0.818181818 => 00:49:05
2: 1.363636364 => 01:21:49
3: 1.909090909 => 01:54:33
4: 2.454545455 => 02:27:16
5: 3.000000000 => 03:00:00
6: 3.545454545 => 03:32:44
7: 4.090909091 => 04:05:27
8: 4.636363636 => 04:38:11
9: 5.181818182 => 05:10:55
10: 5.727272727 => 05:43:38
11: 6.272727273 => 06:16:22
12: 6.818181818 => 06:49:05
13: 7.363636364 => 07:21:49
14: 7.909090909 => 07:54:33
15: 8.454545455 => 08:27:16
16: 9.000000000 => 09:00:00
17: 9.545454545 => 09:32:44
18: 10.09090909 => 10:05:27
19: 10.63636364 => 10:38:11
20: 11.18181818 => 11:10:55
21: 11.72727273 => 11:43:38

Nachtrag:
EIne 17 wird man auf der 12h Uhr zwar vergeblich suchen aber der Folge ist das egal.

31: 17.1818182 => 17:10:55
32: 17.7272727 => 17:43:38