Balkenwaage

Dies ist eher eine Kniffelaufgabe:

Ich möchte eine Balkenwaage konstruieren, die nicht nur die Gleichheit von zwei Gewichten anzeigt, sondern auch das richtige Gewicht-(Verhältnis), wenn beide Massen voneinander abweichen. Wer die Lösung findet, soll dies verspoilert posten. Alle Diskussion darf aber ruhig offen gepostet werden.

Die Idee dabei ist, dass eine Waage im Gleichgewicht horizontal steht. Ist nur ein Gewicht auf nur einer Waagschale, soll die Waage also 100% anzeigen, was beim Gefälle einem Winkel von 45° entspricht.

Wie kann die Waage bei einem Ungleichgewicht dennoch im Gleichgewicht stehen? Ganz einfach m₁·r₁ = m₂·r₂ durch Verlagerung des Auflagepunktes.

Bei 100% soll die Waage also am Ende des Balkens aufliegen. Die Frage ist nun, wie der Auflagepunkt zu konstruieren und umzusetzen ist, damit sie immer die richtige Neigung je nach Gewichten einnimmt. Der Balken selbst soll masselos sein, also nicht beitragen. Ich habe eine Skizze beigefügt, die das Prinzip erläutert und zeigt, dass es keine einfache lösung geben kann:



Der oberste Kreis A symbolisiert die Führung des Balkens.
Kreis B zeigt den waagrechten Auflagepunkt in der Mitte.
Kreis C zeigt den Auflagepunkt mit 45° Neigung am Rand.
Ganz offensichtlich lassen sich diese nicht mit einer kreisförmigen Führung kontinuierlich zusammenbringen.

Soweit ich sehe, muss die Führung asymmetrisch werden, wobei also immer das leichtere der beiden Gewichte auf dieselbe Seite gelegt werden muss. Das Zentrum der Waage wird dabei sicherlich nicht am selben Punkt bleiben, wie in der Skizze.

Hier habe ich eine bzw 2 Skizzen, wie ich mir das ungefähr vorstelle

Wie ist das gemeint mit der Führung des Balkens? Der Balken soll so gelagert sein, dass er von selber immer horizontal steht? Das kann doch gar nicht funktionieren. Ansonsten verschiebt man ihn einfach manuell bis er horizontal steht und liest den Wert auf der Skala am Auflagepunkt ab^^.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Der Balken soll so gelagert sein, dass er von selber immer horizontal steht?

Nein. Ich habe doch ausdrücklch geschrieben, dass der Balken gemäß dem Masseverhältnis geneigt ist, zwischen 0° für Ϙm=1 bis 45° für Ϙm=0.
In den Skizzen sind beide Extrema eingezeichnet.

Die Führung ist nötig, da der Balken ja nicht befestigt oder aufgehängt ist. Die Auflage allein würde ein Verrutschen nicht verhindern. Aber es genügt eigentlich die Führung auf der absinkenden Seite mit dem schwereren Gewicht. Dann wäre die letzte Skizze bereits die Lösung, es fehlt dann nur noch die Skalierung bzw die Formel dafür und ein optimaler Auflagekreisbogen, also dessen Radius oder sonstige elliptische Form.

Die optimale Form wäre so, dass der Balken einfach abrollen kann, ohne auf der Auflage rutschen zu müssen.
Damit stellt sich die Frage nach dem Radius B und A bzw andere Formel. Der Vollständigkeit halber gehört auch C dazu.

Immerhin kann diese Waage symmetrisch sein, dann ist es egal, welches Gewicht schwerer ist.

Im Hinblick auf die bis zu 45° Neigung sollten die Waagschalen einfach verschließbare Plastiktütchen oder -Kästen sein.

Man hängt einfach die keisförmige Führung auf. Dann hast du es ja schon hingeschrieben:
Kraft * Kraftarm = Last * Lastarm, wenn ich mich recht erinnere an die Schulzeit. Die "Arme" sind die Abstände zum Auflagepunkt bei horizontaler Lage. Damit sollte sich der Winkel einfach errechnen lassen. Muss jetzt weg, aber das schafft ihr auch ohne mich ;–))
Bei 45° muss halt ein Stopper montiert werden, sonst geht es nicht für jedes Gewicht und der Balken würde sich ggf. senkrecht stellen.

Rainer Raisch schrieb:

Ist nur ein Gewicht auf nur einer Waagschale, soll die Waage also 100% anzeigen, was beim Gefälle einem Winkel von 45° entspricht.
 

Ich stehe auf dem Schlauch. Wenn die Balkenwaage, deren Lager im Gedankenexperiment vermutlich keinerlei Reibung hat, links mit einer Masse 1 beladen ist und rechts mit 0, also unbeladen, dann schlägt der linke Teil des Balkens Richtung Zentrum der Gravitation aus und der Balken steht senkrecht.

Wie erklärt sich der beschriebene Winkel von 45° relativ zur Ruhelage des beidseitig gleich belasteten Balkens? Ich hätte 90° erwartet.

Der Kreisbogen b der Auflage B hat die Länge des Balkens.
b = L
Damit ist die Führung A nicht mehr kreisförmig.
L/2 = b/2 = R·π/4
R = 2L/π Radius der Auflage B

Martin schrieb:

dann schlägt der linke Teil des Balkens Richtung Zentrum der Gravitation aus und der Balken steht senkrecht.

Das ist richtig, dort ist bei 45° ein Anschlag in Form der Auflage selbst....ja gut, auch das andere Ende hat einen Anschlag oberhalb, damit sich der Balken nicht senkrecht stellt.
x·0 = 0·L
Bei jedem anderen Gegengewicht y > 0 ergibt sich
x·ξ = y·(L-ξ)
mithin ein Ausschlag α < 45°

Rainer Raisch schrieb:

Dies ist eher eine Kniffelaufgabe:

Ist nur ein Gewicht auf nur einer Waagschale, soll die Waage also 100% anzeigen, was beim Gefälle einem Winkel von 45° entspricht.


 

Ich verstehe es noch immer nicht. Wenn der Ausschlag des Balkens bei 45° gehemmt wird, kann doch trotzdem auf beiden Schenkeln ein Gewicht liegen. Weshalb sind bei 45° 100% erreicht, was per Definition bedeuten soll, dass es nur auf einer Seite ein Gewicht gibt?  

Wenn man den Apparat aus zwei normalen Waagen baut und und einen Mechanismus der die Gewichte abliest und mit arctan(m₁/m₂)/2 in einen Winkel umrechnet dranhängt geht es sicher einfacher als wenn die Gewichte sich von selber so verschieben sollen dass der gewünschte Winkel rauskommt, aber das wäre dann keine richtige Balkenwaage mehr, bei einer solchen würde man unter den postulierten Voraussetzungen keine 45° sondern 90° herausbekommen. Einfach nur bei 45° einen Riegel vorzuschieben bringt nichts, denn wenn es nur der Riegel ist der ein weiteres Absinken verhindert könnte immer noch alles mögliche auf der anderen Seite liegen.

Martin schrieb:

Ich verstehe es noch immer nicht. Wenn der Ausschlag des Balkens bei 45° gehemmt wird, kann doch trotzdem auf beiden Schenkeln ein Gewicht liegen.

Nein.
Ein Gewicht y>0 führt immer zu einem Winkel α < 45°

Rainer Raisch schrieb:

Bei jedem anderen Gegengewicht y > 0 ergibt sich
x·ξ = y·(L-ξ)
mithin ein Ausschlag α < 45°

Bei a = 45° wird ξ=0 und L-ξ=L erreicht. Das Gewicht von x ist dabei egal, sofern es x>0 ist.
Setze einfach ein
ξ·0 = 0 < y·L
Das Gewicht y zwingt den Balken sich entgegen dem Gewicht x zu drehen.

Martin schrieb:

Weshalb sind bei 45° 100% erreicht

So ist das Gefälle definiert:
Gε = H/D
H = D → Gε = 100% bei 45°
H = 0 → Gε = 0% bei 0°
H Höhendifferenz
D Luftlinie Koordinatenentfernung

Yukterez schrieb:

Wenn man den Apparat aus zwei normalen Waagen baut und und einen Mechanismus der die Gewichte abliest und mit arctan(m₁/m₂)/2 in einen Winkel umrechnet dranhängt geht es sicher einfacher als wenn die Gewichte sich von selber so verschieben sollen dass der gewünschte Winkel rauskommt, aber das wäre dann keine richtige Balkenwaage mehr, bei einer solchen würde man unter den postulierten Voraussetzungen keine 45° sondern 90° herausbekommen.


 

Ich weiß zwar nicht was eine normale Waage sein soll. Die Balkenwaage hat halt den Vorteil, dass sie in jedem Schwerfeld gleich funktioniert, ohne neu geeicht werden zu müssen.
Ablesen und Ausrechnen wollte ich eigentlich nicht, sondern ein rein mechanisches Werkzeug, also mit vorgedruckter Skala. Mit dem Testgewicht y muss natürlich jeder selber multiplizieren.

Yukterez schrieb:

Einfach nur bei 45° einen Riegel vorzuschieben bringt nichts, denn wenn es nur der Riegel ist der ein weiteres Absinken verhindert könnte immer noch alles mögliche auf der anderen Seite liegen.
 

Doch bzw nein, der zulässige Wertebereich endet bei α ≥ 45° ≡ y=0, dann ist x irrelevant solange x >0

Mit einem Testgewicht y > 0 ist immer α<45°

Rainer Raisch schrieb:

Der Kreisbogen b der Auflage B hat die Länge des Balkens.
b = L
Damit ist die Führung A nicht mehr kreisförmig.
L/2 = b/2 = R·π/4
R = 2L/π Radius der Auflage B

Die Sekante (Sehne) (des Auflageradius R) bei 45° beträgt dann


s = 2R sin(π/ = 4L sin(π//π ≈ 0,975 L/2 < L/2

Yukterez schrieb:

Einfach nur bei 45° einen Riegel vorzuschieben bringt nichts, denn wenn es nur der Riegel ist der ein weiteres Absinken verhindert könnte immer noch alles mögliche auf der anderen Seite liegen.
 

So sehe ich das auch. Weshalb der Schenkel einer Balkenwaage auch bei einer Gewichtsverteilung von 1 zu 0 nicht unter 45° absinken kann, verstehe ich nicht. Es entspricht nicht meiner praktischen Lebenserfahrung - als Kind durfte ich das eine oder andere Mobile basteln und mühsam ausbalancieren

Die Formelwelt ist nicht meine, ich hätte auf eine Erklärung in Prosa gehofft. Nun gut, dies hier ist ein wissenschaftliches Forum. Alles gut.

 

Martin schrieb:

nicht unter 45° absinken kann

Nein, der Witz ist, dass der Balken bei einer Verteilung m:δ mit m ≫ δ ≈ 0 nicht auf 45° absinken kann. Es ist daher sinnlos, den Balken unter 45° absinken zu lassen, daher soll er sinnvoller Weise dort durch eine Begrenzung gestoppt werden, ganz abgesehen davon, dass eine Verteilung m:0 sowieso sinnlos ist, keinerlei Messinformation liefert und nur beim Ändern des Maßgewichtes oder Einlegen des Messobjektes vorkommen sollte. Jede Messung nahe 45° ist sowieso maximal ungenau und sollte nach Erhöhung des Maßgewichtes wiederholt werden.

Noch immer nicht weiter gekommen?

Gewaltig ist des Meisters Kraft, wenn er mit dem Hebel schafft!

Bei einer normalen Balkenwaage mit Auflage in der Mitte steht der Balken zunächst buchstäblich waagerecht. Bei Ungleichgewicht neigt sich eine Seite etwas nach unten, je ungleicher umso schräger steht der Balken. Den Winkel gilt es zu berechnen, und der geht von 0° bis max. 90°, nicht 45°. Diese 90° kann man hier gut sehen (Bild von wikipedia ):


Man sieht auch, dass die Skala nicht linear ist.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Bei einer normalen Balkenwaage mit Auflage in der Mitte

Anderes Prinzip, aber auch sehr schön.

m₁r₁ = m₂r₂
im Gegensatz zu
wiki (Neigungswaage):
m₁/m₂ = (1+tan.ω·tan.β)/(1-tan.ω·tan.β)

Steinzeit-Astronom schrieb:

Noch immer nicht weiter gekommen?

Eigentlich fertig.