Schwarzkörperstrahlung: Wiensches Verschiebungsgesetz

In einem Vortrag zeigt Harald Lesch zwei Grafiken zur Schwarzkörperstrahlung: Bei 51:20 die kosmische Hintergrundstrahlung mit 2,7 K und bei 53:01 eine mit 3000 K. Leider lassen sich die Kurven nicht vergleichen, weil die 2,7-K-Kurve in doppelt logarithmischer Auftragung gezeichnet ist und die 3000-K-Kurve wieder anders.

Wenn ich das richtig verstehe, ergibt sich ein Problem dadurch, dass die abgestrahlte Intensität irgendwie pro m² gezeigt wird, wobei sich die Werte in Abhängigkeit von der Temperatur so stark unterscheiden, dass sie in einem Diagramm von 0...10.000 K nicht mehr vernünftig dargestellt werden können.

Was mich zunächst interessiert, ist allerdings nur eine Darstellung nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz, d.h. die Strahlungsmaxima bei verschiedenen Temperaturen dürfen gerne alle auf gleicher Höhe liegen. Bei wiki heißt es zum Verschiebungsgesetz, es "besagt, dass die Wellenlänge, bei der ein Schwarzer Körper der absoluten Temperatur T die intensivste Strahlung abgibt, umgekehrt proportional zur Temperatur ist. Verdoppelt sich beispielsweise die Temperatur des Strahlers, so halbiert sich die Wellenlänge, bei der sein Strahlungsmaximum liegt."

Die Frage ist: Wenn man im Diagramm auf der Abszisse (horizontal) die Wellenlänge normal aufträgt und die Ordinate für jede Temperatur separat so skaliert, dass alle Maxima auf gleicher Höhe liegen, sind dann alle Kurvenformen exakt gleich? Könnte man die Kurven dann durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen?
 

Das  Wiensche Verschiebungsgesetz betrifft ausschließlich das Energiemaximum, das ist nicht ausreichend, sondern setzt BB-Strahlung voraus.

Die üblichen Grafiken zeigen zB die spektr.Strahlungsflussdichte in W/m³. Die Energiedichte hängt von T⁴ ab. Dies ist die Plancksche Kurve.

Bei der Expansion des Universums folgt nun die Energiedichte von Strahlung genau 1/a⁴. Dies ergibt sich aus der Raumdehnung n ~ r³/a³ sowie der Rotverschiebung f ~ z+1=1/a¹.

Das heißt, dass die Kurvenform entsprechend der sinkenden Temperatur exakt erhalten bleibt.

OHNE exakt diese Expansion MIT der Rotverschiebung wäre dies nicht der Fall. Die Temperatur bzw das Spektrum muss mit der Dichte korrelieren.

Hier siehst Du die unterschiedlichen Formen bei unterschiedlichen Temperaturen: Man sieht schon, dass die Kurve sich verändert. Es geht aber weniger um die abstrakte Form, als darum, dass die Kurve exakt übereinstimmen muss. Alles muss zusammenpassen: Photonendichte, Photonenspektrum, Energiedichte, Maximum,... mit Skalieren wäre es gar nicht getan.

Die Formel lautet:
Fλ = d.Fγ/d.λ = 2π·c²h/λ⁵(exp.(cii/(T·λ))-1) spektrale Strahlungsflussdichte dλ
uλ = 4π·Fλ/c spektrale Energiedichte dλ

Steinzeit-Astronom schrieb:

die abgestrahlte Intensität [...] Könnte man die Kurven dann durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen?

Verschieben allein hilft nicht, man muss auch noch zusammenquetschen bzw. auseinanderziehen:

Wenn man die hohen Wellenlängen einfach nach links zu den hohen Frequenzen schieben würde bekäme man eine Ultraviolettkatastrophe.

Yukterez schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

die abgestrahlte Intensität [...] Könnte man die Kurven dann durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen?

Verschieben allein hilft nicht, man muss auch noch zusammenquetschen bzw. auseinanderziehen

Wow, super Animation! So wollte ich das mal sehen und schon nach der Formel fragen um mich mit geogebra daran zu versuchen. Aus den Formeln bei wiki werde ich nämlich nicht schlau.

Die Kurvenform kommt mir sehr bekannt vor, auch gestreckt und gestaucht bekommt man sie auch auf ganz andere Art hin. Hatte mal vor vielen Jahren ein Programm entwickelt auf Grundlage einer Binomialverteilung mit reinen Zufallsvariablen, wo sich solche schiefen Kurven ergeben für verschiedene Parameter wie hier für verschiedene Temperaturen. Es war so, dass das Integral, also die Fläche unter der Kurve per Definition den Grenzwert 1 hatte (100% W'keit), und jeder diskrete Wert auf der Kurve eine W'keit darstellte, die sich eben insgesamt zu 1 addieren.

Die Berechnung war allerdings ziemlich aufwendig bzw. tricky, mit den großen Zahlen, die sich durch die Fakultäten in den Binomialkoeffizienten ergeben. Ich musste dafür sorgen, dass sich Rundungsfehler nicht fortpflanzen, immer nur Teilergebnisse berechnen dann zu vorherigen addieren und solche Tricks. Leider ist das Programm nicht mehr verfügbar und würde auf der heutigen Hardware wohl auch nicht mehr laufen. Aber es wäre schon interessant zu sehen, ob die Konturen wirklich gleich sind oder mich die Erinnerung täuscht.

Es sieht verblüffend ähnlich aus... vllt. versuche ich mich nochmal daran. Der Aufwand schreckt halt ein bisschen ab.
 

Steinzeit-Astronom schrieb:

Es sieht verblüffend ähnlich aus...

Für große Wellenlängen geht die plancksche Strahlungskurve in das de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Jeans-Gesetz und für kleine Wellenlängen ins de.wikipedia.org/wiki/Wiensches_Strahlungsgesetz über. Will man es genau muss man die Formel des Meisters verwenden, ansonsten reicht im passenden Kontext auch eine von den beiden Vorgängern.

Yukterez schrieb:

Für große Wellenlängen geht die plancksche Strahlungskurve in das de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Jeans-Gesetz und für kleine Wellenlängen ins de.wikipedia.org/wiki/Wiensches_Strahlungsgesetz über. Will man es genau muss man die Formel des Meisters verwenden, ansonsten reicht im passenden Kontext auch eine von den beiden Vorgängern.

Der Meister heißt Planck, I suppose. Deine Animation zeigt die Kurven nach Planck, oder?
 

Yukterez schrieb:

Für große Wellenlängen geht die plancksche Strahlungskurve in das de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Jeans-Gesetz und für kleine Wellenlängen ins de.wikipedia.org/wiki/Wiensches_Strahlungsgesetz über.

Guter Punkt
FRJ = 2π·c·kB·T/λ⁴
FW = 2π·c²h/λ⁵(exp.(cii/(T·λ)))

Steinzeit-Astronom schrieb:

Der Meister heißt Planck, I suppose. Deine Animation zeigt die Kurven nach Planck, oder?

klaro

Steinzeit-Astronom schrieb:

vllt. versuche ich mich nochmal daran. Der Aufwand schreckt halt ein bisschen ab.
 

Ach was soll's... vielleicht hat ja sonst jemand Lust die Strahlungskurve selber zusammenzubauen.

Hier die einfache Bauanleitung:

1. Man nehme eine binomialverteilte Zufallsvariable, z.B. einen idealen Würfel, wo jedes der 6 möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich ist.
2. Man werfe viele male und registriere jeweils die Anzahl n der Würfe, die nötig war, bis jedes der 6 Ergebnisse erschienen ist.
3. Man wiederholt das viele male und trägt die so ermittelten Werte in ein Diagramm ein mit n auf der Abszisse (horizontal).
4. Es ergibt sich wie beim Galtonbrett die gewünschte Kurve, fertig.

Das Maximum liegt beim Erwartungswert und ist jeweils verschoben in Abhängigkeit von der zugrunde liegenden W'keit (beim Würfel ⅙). Je größer diese W'keit, umso weiter links liegt das Maximum und umso steiler ist die Kurve, so wie die Strahlungskurve bei hoher Temperatur. Jede Temperatur entspricht also einer solchen zugrunde liegenden Einzelwahrscheinlichkeit.

Auch hier ergeben sich schiefe Kurven, d.h. die linke Flanke ist steiler als die rechte und nach rechts geht sie asymptotisch gegen 0. Ist klar, denn irgendwann muss jedes mögliche Ergebnis mal erscheinen, auch wenn n im Extremfall gegen unendlich geht und große n zunehmend unwahrscheinlicher werden.

Die Forderung, dass jedes mögliche Ergebnis mindestens einmal erscheinen muss ist äquivalent zum Wirkungsquantum, drunter geht nichts.

Das ist soweit recht einfach, aber die Schwierigkeit liegt in der exakten Berechnung der W'keiten.

Beispiel: Wie w'scheinlich ist es, dass man genau n=137 Würfe braucht, bis alle 6 Zahlen vom Würfel erschienen sind? Diese W'keit auf der Ordinate für alle n>5 ins Diagramm eingetragen ergibt die schiefe Kurve für die Würfel-"Temperatur". Mit gewissen Einschränkungen kann man Näherungen mit dem Grenzwertsatz von De Moivre und Lapace verwenden, was die Rechnung vereinfacht. Das reicht möglicherweise schon um zu sehen, ob die die Kurven vielleicht nur auf den ersten Blick wie die Strahlungskurven aussehen. Oder vielleicht gibt es ja einen fundamentalen Zusammenhang...

Viel Spaß... und wer damit berühmt wird möge mich wenigstens als Ideengeber erwähnen.