Von koordinatenabhängiger Variabilität zu dynamischer Raumzeitkrümmung

Z. schrieb:

sie sind das exakte Gegenteil voneinander:

Bei Bell reißt das Seil sagt man, das hängt aber von der Reißfestigkeit ab, die man mit Δa beschreiben kann, genauso wie Δa die innere Dehnkraft (Stress) in einem bornstarren Rindler-Körper beschreibt, und zwar ganz genauso, wie Dir die Gezeitenkraft Δg für sich genommen nicht sagt, ob der Körper gedehnt wird und zerreißt oder nur erwärmt wird.....jedenfalls solange nicht jedes Elementarteilchen von sich aus beschleunigt, sondern der Motor irgendwo angebracht ist, in Gedanken meist einer an der Spitze und einer am Ende, also letztlich genau so wie bei Bell, denn sonst stellen sich all diese Fragen in etwas anderer Form.

Aber gut, Du rollst es vermutlich genau von der anderen Seite auf, und berechnest nur die Beschleunigung von Spitze und Ende, um die Bornstarrheit zu garantieren, und voila schon bist Du wieder bei meinem Δa, genauso wie wenn Bells Raketen mit einer stabilen Kette verbunden wären.

Rainer Raisch schrieb:

Z. schrieb:

sie sind das exakte Gegenteil voneinander:

Bei Bell reißt das Seil sagt man, das hängt aber von der Reißfestigkeit ab, die man mit Δa beschreiben kann, genauso wie Δa die innere Dehnkraft (Stress) in einem bornstarren Rindler-Körper beschreibt, und zwar ganz genauso, wie Dir die Gezeitenkraft Δg für sich genommen nicht sagt, ob der Körper gedehnt wird und zerreißt oder nur erwärmt wird.....jedenfalls solange nicht jedes Elementarteilchen von sich aus beschleunigt, sondern der Motor irgendwo angebracht ist, in Gedanken meist einer an der Spitze und einer am Ende, also letztlich genau so wie bei Bell, denn sonst stellen sich all diese Fragen in etwas anderer Form.

Aber gut, Du rollst es vermutlich genau von der anderen Seite auf, und berechnest nur die Beschleunigung von Spitze und Ende, um die Bornstarrheit zu garantieren, und voila schon bist Du wieder bei meinem Δa.

Ich finde das Beispiel von Bell mit dem Seil und der Rakete echt interessant, also schon lange. Eben Beschleunigung in der SRT, wenn man die ersten Dinge so drin hat, wirklich ein paar mal überdacht, und es gut sitzt, kann man da dann wieder mit dem Grübeln neu anfangen.

Auch Rotation ist dann noch mal eine richtige Hausnummer. Und bei der Scheibe wird es noch schwieriger als bei Bell, und wenn man die erst ruhend hat und dann beschleunigt, also anfängt mit der Rotation und die immer schneller drehen lässt, dann hat man richtig was zum Grübeln.

Ja, und da ist wo schon meine Grenze, also ich kann es mehr oder weniger rechnen, anerkennen, aber so tief und vollständig verstehen, begreifen, wie das mit der RdG geht, da bin ich nicht. Ich erkenne Formen, es ist nicht nur Nebel, aber klare Sicht ist das nun eben auch nicht. Eventuell geht hier ja später - nicht in diesem Thread - noch was zu Bell selbst, Beschleunigung und SRT und noch später was zur Rotation und der Scheibe.

nocheinPoet schrieb:

wie das mit der RdG geht, da bin ich nicht.

Naja,ich denke, anschaulicher Ausgangspunkt ist die Zeitdilatation. Die Zeitdilatation ergibt sich ja am einfachsten aus der Lichtuhr.

Aus der Zeitdilatation ergibt sich dann die sogenannte Uhrendesynchronisation, wie beim 3-Uhren Experiment.

Am Anschaulichsten ist letztlich ein Loedeldiagramm, wo man aber alles bereits voraussetzt, und nur noch sieht, wie sich alles vollkommen symmetrisch ergänzt.

In letzter Tiefe "verstehen" ist nochmals eine Herausforderung. Einstein hat ja die SRT nicht ex cathedra erfunden, weil er sich das aus einem höheren Verständnis logisch ausgedacht hat, sondern WEIL c konstant ist.

Rainer Raisch schrieb:

Z. schrieb:

sie sind das exakte Gegenteil voneinander:

Bei Bell reißt das Seil sagt man, das hängt aber von der Reißfestigkeit ab, die man mit Δa beschreiben kann, genauso wie Δa die innere Dehnkraft (Stress) in einem bornstarren Rindler-Körper beschreibt, und zwar ganz genauso, wie Dir die Gezeitenkraft Δg für sich genommen nicht sagt, ob der Körper gedehnt wird und zerreißt oder nur erwärmt wird.....jedenfalls solange nicht jedes Elementarteilchen von sich aus beschleunigt, sondern der Motor irgendwo angebracht ist, in Gedanken meist einer an der Spitze und einer am Ende, also letztlich genau so wie bei Bell, denn sonst stellen sich all diese Fragen in etwas anderer Form.

Aber gut, Du rollst es vermutlich genau von der anderen Seite auf, und berechnest nur die Beschleunigung von Spitze und Ende, um die Bornstarrheit zu garantieren, und voila schon bist Du wieder bei meinem Δa, genauso wie wenn Bells Raketen mit einer stabilen Kette verbunden wären.

Hallo Rainer,

kann es sein, dass du die Antworten nur überfliegst? MM. hatten wir obiges bereits mehrfach erläutert?
OK, ich fasse mich kurz.

Der Vergleich zwischen dem Rindler- und dem Bell-Szenario hinkt fundamental, weil er zwei völlig unvereinbare physikalische Randbedingungen gleichsetzt. Während das Rindler-Szenario über eine ortsabhängige Beschleunigung die innere Geometrie (den Eigenabstand) starr und kräftefrei hält, fixiert das Bell-Szenario über eine homogene Beschleunigung die äußere Geometrie im Startsystem, was im mitbewegten System zu einer unaufhaltsamen Dehnung und zum mechanischen Zerreißstoff führt (Bell). Man kann beide Fälle mathematisch nicht ineinander überführen oder wie du sagst, "von zwei Seiten aufrollen“, da sie sich wie exakte Gegenteile verhalten.

---

Der mathematische Beweis 
Um ein beschleunigtes System absolut spannungsfrei und Born-starr zu halten, müssen sich alle Punkte des Objekts zu jedem Zeitpunkt im selben instantanen Rindler-Bezugssystem befinden. Die Tensoranalyse (über die Bedingung eines verschwindenden Expansions-Tensors θ_μν = 0) diktiert dafür eine hyperbelförmige Bewegung in der Raumzeit [Bell's spaceship paradox].
Die Eigenbeschleunigung α eines jeden Punktes ist dabei strikt an seine räumliche Position x gekoppelt und folgt der fundamentalen Rindler-Gleichung (in natürlichen Einheiten mit c = 1):
α(x) = 1 / x

1. Das Rindler-Szenario (Born-Starrheit)
Befindet sich das Heck der Rakete bei x_Heck und die Spitze bei x_Spitze, wobei der konstante Eigenabstand L_0 = x_Spitze − x_Heck beträgt, dann müssen die Eigenbeschleunigungen wie folgt definiert sein:

• Heck-Beschleunigung: α_Heck = 1 / x_Heck
• Spitzen-Beschleunigung: α_Spitze = 1 / (x_Heck + L_0)

Daraus ergibt sich das mathematisch zwingende Beschleunigungsgefälle (Δα):
Δα = α_Heck − α_Spitze = (1 / x_Heck) − (1 / (x_Heck + L_0)) > 0
Physikalische Konsequenz: Die Spitze muss schwächer beschleunigen als das Heck, damit der Eigenabstand L_0 konstant bleibt (Spannungsfreiheit) [Bell's spaceship paradox].

2. Das Bell-Szenario (Der fundamentale Widerspruch)
Im Bell-Szenario hingegen wird per Definition festgelegt, dass beide Raketen (Spitze und Heck) die exakt gleiche Eigenbeschleunigung besitzen:
α_Heck = α_Spitze = a ⇒ Δα = 0
Versucht man nun, wie im Satz behauptet, Bells Raketen mit einer „stabilen Kette“ zu verbinden, um die Born-Starrheit zu erzwingen, kollidiert die Kinematik mit der Dynamik. Da Δα = 0 ist, driften die beiden Punkte unaufhaltsam aus ihrem gemeinsamen Rindler-Bezugssystem heraus.
Mathematisch berechnet sich der mitbewegte Eigenabstand L(τ) im Bell-Szenario in Abhängigkeit von der Eigenzeit τ wie folgt:
L(τ) = (1 / a) · (√(1 + a² · τ²) − 1) + L_0 · cosh(a · τ)
Da der hyperbolische Kosinus (cosh) für τ > 0 monoton gegen Unendlich wächst, dehnt sich der Raum zwischen den Raketen im mitbewegten System kontinuierlich aus. Eine Kette kann dieses Δα = 0 nicht kompensieren – sie wird gestreckt und zerreißt [Bell's spaceship paradox].

Der wissenschaftliche Konsens (Wikipedia)
Diesen tensoranalytischen Sachverhalt fasst die physikalische Literatur im Standard-Eintrag zum Paradoxon exakt über die Geometrie der Rindler-Horizonte zusammen (s. Bell's spaceship paradox):

„Two observers in Born rigid acceleration [have] the same Rindler horizon. They can choose the proper time of one of them as the coordinate time of the Rindler frame.
Two observers having the same proper acceleration (Bell's spaceships) [...] are not at rest in the same Rindler frame, and therefore have different Rindler horizons.“ [Bell's spaceship paradox]

Deutsche Übersetzung:
„Zwei Beobachter in Born-starrer Beschleunigung besitzen denselben Rindler-Horizont. Sie können die Eigenzeit eines der Beobachter als Koordinatenzeit des Rindler-Bezugssystems wählen. Zwei Beobachter mit derselben Eigenbeschleunigung (Bells Raumschiffe) befinden sich hingegen nicht gemeinsam im selben Rindler-Bezugssystem in Ruhe und haben daher unterschiedliche Rindler-Horizonte.“
 

Fazit für die Argumentation
Man kann sich dem Problem nicht „von der anderen Seite nähern“, um Bell und Rindler gleichzusetzen. Entweder die Eigenbeschleunigungen sind gleich (Δα = 0 → Bell-Zerreißung), oder der Eigenabstand ist konstant (Δα = α(x) → Rindler-Starrheit). Ein "Dazwischen“ oder eine "stabile Kette bei gleicher Beschleunigung“ existiert in der relativistischen Raumzeitgeometrie nicht.

Entscheidend für das physikalische Verständnis ist. Bei Rindler geht es eben nicht nur isoliert um das diskrete Verhältnis von Heck und Spitze. Die Rindler-Gleichung α(x) = 1 / x gilt kontinuierlich für alle unendlich vielen x-Werte dazwischen. Jeder einzelne atomare Querschnitt eines Born-starren Körpers muss eine exakt auf seine Position abgestimmte, individuelle Eigenbeschleunigung erfahren. Bell bricht diese mathematische Bedingung auf ganzer Linie, da die identische Beschleunigung aller Punkte das gesamte Kontinuum des Raumes dazwischen zerreißt.

Gruß Z.

Ergänzend Wiki:
en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_spaceship_paradox

Noch eines bitte, sodass es nicht "vergessen" wird.

Rainer Raisch post=14734 userid=21012

Ahja die Gezeitenbeschleunigung ist bei Bell und Rindler (naturgemäß) dieselbe:
aΔ = a²L/c²

(Δa = a²L/c²)

Bei Rindler gilt....
Δa = (a₀² · L / c²) / (1 - a₀ · L / c²)  (exakt)
Δa ≈ a₀² · L / c²  (in erster Ordnung genähert)

e. O. g. ist sichs zwar mathematisch ähnlich, aber physikalisch resultiert das besagte Gegenteil.

HGZ.

Rainer Raisch schrieb:

nocheinPoet schrieb:

wie das mit der RdG geht, da bin ich nicht.

Naja,ich denke, anschaulicher Ausgangspunkt ist die Zeitdilatation. Die Zeitdilatation ergibt sich ja am einfachsten aus der Lichtuhr.

Aus der Zeitdilatation ergibt sich dann die sogenannte Uhrendesynchronisation, wie beim 3-Uhren Experiment.

Am Anschaulichsten ist letztlich ein Loedeldiagramm, wo man aber alles bereits voraussetzt, und nur noch sieht, wie sich alles vollkommen symmetrisch ergänzt.

In letzter Tiefe "verstehen" ist nochmals eine Herausforderung. Einstein hat ja die SRT nicht ex cathedra erfunden, weil er sich das aus einem höheren Verständnis logisch ausgedacht hat, sondern WEIL c konstant ist.

Ja ich habe Deine Loedeldiagramme schon ein paar mal hier bewundert. Ich selbst hadere damit etwas. Ich bin auf Koordinatensysteme geeicht und dann noch Minkowski-Diagramme. Aber wo Du schon ganz richtig liegst, ist die Darstellung der Symmetrie, das geht in einem Loedeldiagramm natürlich richtig gut. Besser, denn bei Minkowski braucht man dann schon zwei Diagramme, um es gut zeigen zu können. Also aus jedem System eben.

Wie gesagt, die Show mit dem Seil, geht gut in den Kopf, macht sogar eben auch Spaß. Aber Uhren auf einer Scheibe verteilen und die dann langsam auf Rotation und Tempo zu bringen und dann die Uhren in dem Laborsystem und dem Bezugssystem in dem die Scheibe weiter ruht, zu betrachten, das ist schon eine ganz andere Hausnummer.

Es ist ja so, wir sind eine euklidische Metrik gewohnt, darum ist die Hyperbolische ja auch schon so ein Problem. Der augenscheinlich längere Weg des reisenden Zwillings, eben seine Weltlinie ist kürzer, also die des ruhenden Zwillings auf der Erde. Klar klingt das nicht überzeugend, wenn man weiß, der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist direkt von A nach B und nicht noch eben beim Kumpel vorbeischauen.

Wenn die Scheibe immer schneller dreht, dann dreht sich das auch bei mir im Kopf. Ich habe mir das schon oft angesehen, gibt ja gute Videos im Netz. Klar ist, man bekommt die Uhren auf der Scheibe nicht mehr synchronisiert. Was ärgerlich ist, wenn man sich fragt, was passiert nun auf der Scheibe für wen genau nun wo gleichzeitig?

Beim Zwillingsparadoxon und dem hier geliebten Beispiel von Wikipedia, kann man sich ja einigen, Du hast eine andere Gleichzeitigkeit als ich, wir sind darüber einig. Auf der Scheibe ist das nicht mehr so klar.

Ich will das hier nicht zu sehr im Thread ausweiten, kurz noch gesagt, beim Zwillingsparadoxon wechselt der Reisende zwischen verschiedenen Inertialsystemen; bei der rotierenden Scheibe gibt es während der Rotation überhaupt kein einziges globales Inertialsystem der Scheibe. Die im Labor definierte Gleichzeitigkeit und die lokale Gleichzeitigkeit der rotierenden Scheibe lassen sich nicht mehr zu einer einzigen globalen Gleichzeitigkeit der Scheibe zusammenfügen.

Klingt gut, muss man sich langsam in den Kopf schieben.

nocheinPoet schrieb:

Aber Uhren auf einer Scheibe verteilen und die dann langsam auf Rotation und Tempo zu bringen

Naja das Thema der beschleunigten Scheibe ist das Ehrenfest Paradoxon der Krümmung der starren Scheibe. Mich interessiert eher die Zeitdilatation der konstant rotierenden Scheibe, bzw nur die Sitze im Kettenkarussel. Der kontrahierte Umfang ist hingegen beim Planetenorbit interessant und der Grund der Präzession.

Z. schrieb:

MM. hatten wir obiges bereits mehrfach erläutert?

Es ging hier doch um Δa

Z. schrieb:

Der Vergleich zwischen dem Rindler- und dem Bell-Szenario hinkt fundamental

Was soll denn daran hinken? Für mich besteht zwar Rindler aus einer punktförmigen Rakete, aber Du wolltest ja gerade auf die Ausdehung der Rindler-Rakete hinaus. Dann steht die Spitze und das Ende der Rakte exakt für die beiden punktförmigen Rakten bei Bell.

Der Unterschied ist doch offensichtlich also trivial, bei Bell ist das Seil nicht starr sondern reißt und bei Rindler ist die Rakete starr. Auch die Konsequenzen liegen auf der Hand.
Immerhin habe ich gelernt:
bᵣᵢₙ = c²/(Dᵣ+c²/bₐ)

Z. schrieb:

Im Bell-Szenario hingegen wird per Definition festgelegt, dass beide Raketen (Spitze und Heck) die exakt gleiche Eigenbeschleunigung besitzen:
α_Heck = α_Spitze = a ⇒ Δα = 0

Tja sag der KI, sie soll meinen Post nochmal lesen. Ich habe doch geschrieben, was das Δa bei Bell bedeutet, und vor allem ist es offensichtlich, dass es derselbe Wert wie bei Rindler sein muss, Stichwort Gezeitenkräfte.

"Nun Rainer mir sozs. vorzuhalten, ich würde das von dir gesagte wiederholen, bzw. die KI solle dich lesen...(Ich mache das sehr ausführlich).... insofern hatte ich ja vorher schon angefragt... ob du denn liest oder nur überfliegst was vorgetragen wurde. Und in Anbetracht, dass du hier drüber auf mM. bereits mehrfach dargelegtes und recht ausführlich erklärtes, nicht zu reagieren scheinst, denke ich, dass diese Fragen evtl. nicht ganz so unberechtigt waren..?? Es wäre vlt. auch angebracht, die KI als Werkzeug zu betrachten, denn wenn hier Fehler in meinen Argumenten auftauchen sind das meine Fehler, dergleichen wenn ich mit einem Kalkulationsprogramm welche mache, was zZt. eher selten vorkommt."

HI Rainer 
Also... Ok. ich sehe gerade du hast drunter noch folgendes eingefügt.... 
bᵣᵢₙ = c²/(Dᵣ+c²/bₐ) 

... darauf hin habe ich jetzt natürlich meine komplette weitere Antwort (nach meiner Grandiosen Ansprache oben) einfach mal so löschen können... die (welche) ich allerdings dennoch stehen lasse. 

Quid pro quo sozusagen.
bᵣᵢₙ= c²/(Dᵣ+c²/bₐ) ⇒ Δα>0

HGseZ.


NACHTRAG 4.10....  btr. deinem Einwand drüber, der nicht vergessen werden soll...

Tja sag der KI, sie soll meinen Post nochmal lesen. Ich habe doch geschrieben, was das Δa bei Bell bedeutet, und vor allem ist es offensichtlich, dass es derselbe Wert wie bei Rindler sein muss, Stichwort Gezeitenkräfte.

Der physikalische Fehler in der Argumentation liegt in einem klassischen Kategorienfehler... Wenn man die kinematische Ursache (Definition der Systembeschleunigung) mit der dynamischen Wirkung (auftretenden Kräften) gleich setzt. Das ist so, als würde man die Neigung einer schiefen Ebene (Rindler-Gradient) mit der Rutschgeschwindigkeit eines Klotzes auf einer flachen Ebene (Bell-Dehnung) gleichsetzen, nur weil die Zahlenwerte über die zugrunde liegende Systembeschleunigung zusammenhängen.  An "α_Heck = α_Spitze = a ⇒ Δα = 0" gibts mM. nichts auszusetzen..

GZ.

Was ich gelernt habe:
Δα=α₁-α₂=(c²·L₀)/(x₂·(x₂-L₀))>0

Bis später.
Z.

Rainer Raisch schrieb:

Mich interessiert eher die Zeitdilatation der konstant rotierenden Scheibe, bzw nur die Sitze im Kettenkarussel.

Im System eines Sitzes sieht man die im Zentrum ruhrende Uhr (t) um den Gammafaktor schneller laufen (und im Zentrum sieht man die Uhren auf den Sitzen um den Gammafaktor langsamer), während man die Uhren auf den Sitzen vor und hinter sich gleich schnell wie die eigene ticken sieht. Der zeitliche Abstand zwischen den beiden von vorne und hinten empfangenen Signalen ist der gleiche:

Die Uhren fahren mit c/2 auf einem Kreis mit 1 Lichtsekunde Radius, die bei t=0 ausgesendeten Signale (blau) erreichen den mittleren Sitz bei t=0.519579155801 (von vorne) und t=1.324515383782 (von hinten), und die bei t=1 ausgesendeten Signale (rot) bei t=1.519579155801 (von vorne) und t=2.324515383782 (von hinten). In terms of τ (die Eigenzeit der Uhren auf den Sitzen) gilt τ=t/γ (da sie alle die gleiche Geschwindigkeit haben ist ihre Zeitdilatation γ die gleiche).

Hi Y.

Danke für diesen exzellenten Beitrag!
Er untermauert den Ansatz der Arbeit mit einem weiteren (wenn nicht sogar dem ursächlichen historischen) Beispiel, wie Einstein von der koordinatenabhängigen Variabilität der SRT zur ART gelangte.

In der historischen Entwicklung der RT erzeugt die mathematische Behandlung der rotierenden Scheibe sozusagen das "entscheidende konzeptionelle Bindeglied" beim Übergang von der flachen RZ der SRT zur gekrümmten Geometrie der ART.  Dazu kurz der historische Werdegang, der Einsteins Erstveröffentlichung der ART 1916 entnommen ist. Siehe § 3, der ein rotierendes Bezugssystem K' (die Scheibe) analysiert und beschreibt was passiert, wenn ein Beobachter versucht, den Kreisumfang und den Durchmesser mit einem starr mitgeführten Maßstab auszumessen.

„Wir denken uns die Peripherie und den Durchmesser des Kreises mit einem relativ zu K ruhenden Einheitsmaßstab ausgemessen. [...] Legt man den Stab tangential an den Umfang, so erscheint er vom unbeschleunigten System K aus im Sinne der speziellen Relativitätstheorie verkürzt [...]. Da der Umfang gleich der Summe der nacheinander angelegten Tangentialmaßstäbe ist, so ergibt sich, falls wir uns mit dem System K' mitbewegen und denselben Maßstab benutzen, un Quotient aus Umfang und Durchmesser, der größer als π sein muß. [...] Es gilt daher in bezug auf K' nicht die Euklidische Geometrie; der oben festgelegte Koordinatenbegriff, welcher die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie voraussetzt, versagt also mit Bezug auf das System K'.“

(Albert Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, In, Annalen der Physik, Band 354, Heft 7, 1916, § 3, S. 773–774)
 

Dieser Befund liefert somit den originalen Beweis dafür, dass die Born-Starrheit (bei der ein mitrotierender Maßstab seine Eigenlänge behält) in einem beschleunigten System die flache euklidische Geometrie mathematisch aufhebt.

Weiterführend.
Der Physiker und Historiker John Stachel untersuchte Einsteins Originalnotizen aus den Jahren vor 1916 und wies nach, dass genau diese Beschäftigung mit der Born-Starrheit und der rotierenden Scheibe (s. Langevin-Metrik) höchstwahrscheinlich das entscheidende Puzzleteil war, das Einstein fehlte, um zu bemerken, dass die Gravitation über eine nicht-flache Geometrie beschrieben werden müsse. Stachel prägte dafür den Begriff des „Missing Link“, also des fehlenden Bindeglieds.

„As he remarks, the rigidly rotating disk seems to provide a 'missing link' in the chain of reasoning that led him (Einstein) to the crucial idea that a nonflat metric was needed for a relativistic treatment of the gravitational field. [...] Now comes the rigidly rotating disk as the 'missing link'. The inertial force, namely the centrifugal force, experienced by observers fixed on the rotating disk is identified [with a gravitational field].“ 

Auf Deutsch... „Wie er bemerkt, scheint die starr rotierende Scheibe ein 'fehlendes Bindeglied' in der Argumentationskette zu sein, die ihn zu der entscheidenden Idee führte, dass eine nicht-flache Metrik für eine relativistische Behandlung des Gravitationsfeldes erforderlich war. [...] Hier kommt nun die starr rotierende Scheibe als das 'fehlende Bindeglied'. Die Trägheitskraft, namentlich die Zentrifugalkraft, die von Beobachtern auf der rotierenden Scheibe erfahren wird.... wird [mit einem Gravitationsfeld] identifiziert.“

(John Stachel, The Rigidly Rotating Disk as the „Missing Link“ in the History of General Relativity, In, Don Howard, John Stachel (Hrsg.), Einstein and the History of General Relativity, Einstein Studies, Band 1, Birkhäuser, Boston 1989, S. 48–62)
 

Mit dieser historischen Gegenüberstellung wird die fundamentale Bedeutung des Scheiben-Beispiels logisch nachvollziehbar. Während Einstein den mathematischen Beweis erbringt, dass ein physikalisch beschleunigtes Bezugssystem die euklidische Raumstruktur bricht, liefert Stachel den historischen Beleg, dass genau diese geometrische Transformation das intellektuelle Fundament und die Geburtsstunde der ART markiert. Die Integration der Born-Starrheit zwingt die mathematische Struktur der Raumzeit dazu, die flache Welt der SRT hinter sich zu lassen und leitet über das Äquivalenzprinzip direkt zur modernen gravitativen Metrik über....

HZ.

Yukterez schrieb:

Im System eines Sitzes sieht man die im Zentrum ruhrende Uhr (t) um den Gammafaktor schneller laufen (und im Zentrum sieht man die Uhren auf den Sitzen um den Gammafaktor langsamer), während man die Uhren auf den Sitzen vor und hinter sich gleich schnell wie die eigene ticken sieht. Der zeitliche Abstand zwischen den beiden von vorne und hinten empfangenen Signalen ist der gleiche:

Die Uhren fahren mit c/2 auf einem Kreis mit 1 Lichtsekunde Radius, die bei t=0 ausgesendeten Signale (blau) erreichen den mittleren Sitz bei t=0.519579155801 (von vorne) und t=1.324515383782 (von hinten), und die bei t=1 ausgesendeten Signale (rot) bei t=1.519579155801 (von vorne) und t=2.324515383782 (von hinten). In terms of τ (die Eigenzeit der Uhren auf den Sitzen) gilt τ=t/γ (da sie alle die gleiche Geschwindigkeit haben ist ihre Zeitdilatation γ die gleiche).

Du willst doch nicht die Welt mit einer schönen Animation und retten? Ja aber nice, und echt asymmetrisch, das wäre vermutlich ein etwas besserer Ansatz gewesen um von der SRT zu ART zukommen, also nur eine Hälfte eines Beispiels von Wikipedia. Hier kann man nämlich wirklich Eigenzeit mit Eigenzeit vergleichen. Aber ob das nun wirklich ein guter Wege wäre, will ich mal offenlassen. Das mit der Fluchtgeschwindigkeit halte ich für zumindest mal für einen Weg der nicht zu komplizierst ist.

Bei Aussagen wie, im System eines Sitzes sieht man die im Zentrum ruhende Uhr um den Gammafaktor schneller laufen, versuche ich immer vorsichtig zu sein. Es ist ein kleiner Unterschied wenn ich hingegen sage, die Eigenzeit der Zentrumsuhr läuft um γ schneller als die Eigenzeit einer Uhr auf einem Sitz. Denn "sieht" kann bei räumlich getrennten Uhren bedeuten, dass man Lichtsignale empfängt. Dann kommt zusätzlich die Lichtlaufzeit bzw. der Dopplereffekt hinein. Ja ich weiß, wer es weiß, kommt nicht auf die Idee mit "Sehen" auch "Sehen" zu meinen. 

Bei der Scheibe finde ich den interessanten Punkt eben, dass die Eigenzeit jeder Uhr lokal eindeutig ist. Aber eine Aussage darüber, wie schnell eine entfernte Uhr in einem bestimmten Bezugssystem läuft, ist etwas anderes als der unmittelbare Vergleich ihrer Anzeigen. Auch nicht unwichtig, für die rotierende Scheibe gibt es kein einziges globales Inertialsystem des Sitzes. Man kann also nicht einfach ein globales S' der gesamten Scheibe konstruieren und darin sagen „alle Sitze sind ruhend“.

Wir sind hier ja eh schon bei Born, glaube zuerst stellte Ehrenfest das Problem 1909 auf. Ausgangspunkt war die Frage, ob man eine zunächst ruhende und ideal starr gedachte Scheibe in eine gleichförmige Rotation bringen kann, ohne dass sie sich verformt. Später dann wurde das mathematisch durch das "Herglotz-Noether-Theorem" gezeigt. Herglotz und Noether zeigten so um 910, dass Born-starre Rotationen extrem eingeschränkt sind. Eine gleichförmig rotierende Born-starre Scheibe ist möglich, aber eine beschleunigte Rotation nicht. Man kann also eine solche idealisierte Scheibe nicht einfach von "steht still" auf "dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit" bringen und dabei die "Bornsche Starrheit" erhalten.  Aber natürlich darf die Scheibe real beschleunigt werden, nur dann ist sie eben nicht Born-starr. Hier muss sich während des Beschleunigungsvorgangs das Material verformen und Spannungen aufbauen. Auch Planck wies schon 1910 darauf hin, dass man für die tatsächliche Beschleunigung eines materiellen Körpers die Elastizität und die auftretenden Spannungen berücksichtigen muss. Und hier würde ich mal meinen, haben wir eine Parallele zum bellsche Raumschiffparadoxon. 


 

Yukterez schrieb:

während man die Uhren auf den Sitzen vor und hinter sich gleich schnell wie die eigene ticken sieht.

Das muss natürlich so sein, sie gehen ja gleich schnell, aber meine Rechnung geht nicht auf. Also nochmal:

Der gegenüberligende Punkt hat
u = ω·r Koordinatengeschwindigkeit
v ≈ 2u
v = 2u·c/(c²+u²) Relativgeschwindigkeit
D = 2r Abstand
a = ω²/r Koordinatenbeschleunigung
b = γ²a Eigenbeschleunigung
a' = ²((b¹·β¹/γ²β)²+(b¹×β¹/γβ)²) = b/γ = γ·a Effektive Beschleunigung
(KORREKTUR: a' = b/γ² Effektive Beschleunigung)
also
β = 2u/(c²+u²)
1/γ = ²(1-β²) Zeitdilatation
1+τΔ/Δτ = 1+a'·D/c²γ = 1+2r·a/c² Uhrenresynchronisierung
das sieht nur wie eine Approximation aus
(Korrektur: siehe unten #14796)

Ich mische mich ungefragt ein...
Rainer du hattest doch damals argumentiert, aus Erinnerung... dass diese Beschleunigung eine globale, einheitlich gerichtete Eigenschaft des gesamten Raumes bzw. Systems sein muss (ähnlich wie bei einer linear beschleunigten Rakete). Und genau das scheint immer noch gegeben. Du nimmst die lokale Eigenbeschleunigung b = γ² · a und multipliziert diese mit dem globalen euklidischen Gesamtdurchmesser D = 2r (über die Formel 1 + a' · D / (c² · γ)), als handele es sich um ein flaches, linear beschleunigtes Koordinatensystem (s. Rindler-Raum).

Die Born-Starrheit basierte somit auf dem euklidischen Durchmesser D = 2r einer linear beschleunigten Rakete (Rindler-Raum) und dies wäre deshalb für eine rotierende Scheibe nicht korrekt. Mathematisch gilt die differentielle Born-Starrheit bei einer Rotation ausschließlich lokal in radialer Richtung für konzentrische Ringe (Δb / Δr > 0), nicht jedoch linear quer durch den Mittelpunkt der Scheibe.

Rainer: v = 2u · c / √(c² + u²) - ergäbe: v > 2c (für u → c)
Laut RT folgt jedoch: v = (u - (-u)) / (1 - (u · (-u)) / c²) - es resultiert: v = 0

Rainer: 1/γ = √(1 - β²) mit β = 2u / √(c² + u²) - ergäbe: γ ∈ ℂ (für u > c / √3)
Laut RT folgt jedoch: 1/γ = √(1 - β²) mit β = u / c - es resultiert: 1/γ = √(1 - (ω · r)² / c²)

Rainer: 1 + τΔ/Δτ = 1 + a' · D / (c² · γ) = 1 + 2r · β · a / c² - ergäbe: 1 + 2r · β · a / c² (ohne γ)
Laut RT folgt jedoch: Δt = ∮ (v_bahn / c²) ds · γ - es resultiert: Δt = (4π · r² · ω) / (c² · √(1 - β²))

Rainer: a' = √((b¹·β¹/γ²)² + (b¹×β¹/γ)²) = b·β/γ = γ·β·a - ergäbe: Δa > 0 bezogen auf den Rindler-Raum über den
Durchmesser D = 2r

Laut RT folgt jedoch: b(r) = γ² · a = (ω² · r) / (1 - (ω · r)² / c²) - es resultiert: Δb / Δr > 0
(Born-Starrheit gilt nur radial für konzentrische Ringe: b(r) nimmt nach außen hin zu, während die Beschleunigung zwischen zwei punktsymmetrischen Punkten auf demselben Radius identisch ist)

Vlt. hilft das weiter.
HGZ.

NACHTRAG:
Lieber Rainer du hast die Gleichungen leider spät nachträglich geändert, daher ist mein Post (sich auf deinen Post vorher beziehend) drüber zwar für dich aber nicht mehr für den Leser nachvollziehbar. Es wäre prima, entweder drunter einen jew. Post zu erweitern und obiges zu belassen oder einfach einen neuen Anzuhängen, wenn du änderst. So bliebe der Faden erhalten. Hoffe du bist Einverstanden?

HGZ.

nocheinPoet schrieb:

Bei Aussagen wie, im System eines Sitzes sieht man die im Zentrum ruhende Uhr um den Gammafaktor schneller laufen, versuche ich immer vorsichtig zu sein. 

Ich meine es genau so wie ichs sage.
 

nocheinPoet schrieb:

Dann kommt zusätzlich die Lichtlaufzeit bzw. der Dopplereffekt hinein.

Die Abstände aller Beteiligten zueinander sind konstant, daher ist die Lichtlaufzeit immer gleich und der Doppler fällt weg.
 

nocheinPoet schrieb:

Ja ich weiß, wer es weiß, kommt nicht auf die Idee mit "Sehen" auch "Sehen" zu meinen.

Ich schon, aber in dem Fall ist es außerdem das Gleiche (1. sieht man es so, und 2. bestätigt es sich dann auch wenn die Uhren wieder nebeneinandergestellt und direkt verglichen werden). Daher auch die blauen und roten Lichtpulse in der Animation, damit man sieht wer was wann sieht.

Mir fällt grad ein dass es das Thema vor 2 Jahren auch schon mal auf Stackexchange gab, hier wird die lineare mit der kreisförmigen Bewegung verglichen und im Gegensatz zum GiF da oben kann man auch auf Pause oder Zeitlupe drücken:

Z. schrieb:

Ich mische mich ungefragt ein...

Ich hatte versehentlich eine Wurzel in der relativistischen Addition. (korrigiert)

Z. schrieb:

Laut RT folgt jedoch: v = (u - (-u)) / (1 - (u · (-u)) / c²) - es resultiert: v = 0

Ja richtig, die Wurzel habe ich gerade korrigiert, aber 0 kommt dabei nicht heraus.

Z. schrieb:

NACHTRAG:

Ich bin mir nicht mehr sicher, was ich vorher geändert hatte, achso ja ,da hatte sich ein β für die Richtung eingeschlichen, das ich neutralisieren musste, aber zum damaligen Zeitpunkt war noch keine Erwiderung gepostet.

Z. schrieb:

Born-Starrheit:

Was genau soll das denn mit der Zeitdilatation in einer rotierenden Scheibe zu tun haben.

Es mag ja sein, dass es dabei Parallelen gibt?

Und bevor die KI wieder mit ihrer nächsten Fantasy beginnt:

Ich beschleunige die Scheibe gar nicht.

Yukterez schrieb:

nocheinPoet schrieb:

Bei Aussagen wie, im System eines Sitzes sieht man die im Zentrum ruhende Uhr um den Gammafaktor schneller laufen, versuche ich immer vorsichtig zu sein. 

Ich meine es genau so wie ichs sage. 

nocheinPoet schrieb:

Ja ich weiß, wer es weiß, kommt nicht auf die Idee mit "Sehen" auch "Sehen" zu meinen.

Ich schon, aber in dem Fall ist es außerdem das Gleiche (1. sieht man es so, und 2. bestätigt es sich dann auch wenn die Uhren wieder nebeneinandergestellt und direkt verglichen werden). Daher auch die blauen und roten Lichtpulse in der Animation, damit man sieht wer was wann sieht.
 

Cool, dann ist ja gut, dass ich was dazu geschrieben habe. Hätte ich aber nun so nicht gedacht. Weil man hat ja oft "... sieht ..." und da ist nicht wirklich Sehen gemeint. Also cool, spannend, gibt immer wieder mal was Neues.

Rainer Raisch schrieb:

das sieht nur wie eine Approximation aus

Ich denke ich habs, τΔ ist die Differenz der abgelesenen Uhrzeit zu der fiktiven Ablesung ohne Eigenbeschleunigung. Wenn man dies in einen Faktor als Zeitraffer übersetzt und dann mit de Zeitdilatation γ multiplizieren will, darf man dies nicht auf t beziehen sondern auf τ, denn γ stellt bereits den Zusammenhang zwischen t und τ her. 

Nein, das ist nur ein Detail, das ich noch gar nicht genau betrachtet hatte, ändert aber nichts an der strukturellen Abweichung.

Rainer

„Ich beschleunige die Scheibe gar nicht.“

Wenn das System nicht zeitlich beschleunigt wird, sondern konstant rotiert, wie passen dann deine Formeln zur obigen Aussage?

Rainer: a' = √((b¹·β¹/γ²β)² + (b¹×β¹/γβ)²) = b/γ = γ·a
Diese Formel für die effektive Beschleunigung a' stammt aus dem Rindler-Raum einer Rakete. Sie setzt eine echte zeitliche, geradlinige Beschleunigung voraus. Bei konstanter Rotation gibt es diese nicht.

Rainer: 1 + τΔ/Δτ = 1 + a' · D / (c² · γ) = 1 + 2r · a / c²
Die Uhrenresynchronisierung setzt ein globales, linear gerichtetes Beschleunigungsfeld über die euklidische Distanz D = 2r voraus. Auf einer konstant rotierenden Scheibe ist das wegen der permanenten Richtungsänderung der Vektoren mathematisch nicht zulässig. Wenn du die Scheibe gar nicht zeitlich beschleunigst, warum basieren deine Gleichungen dann auf dem mathematischen Apparat einer linear beschleunigten Rakete statt auf einer gleichförmigen Rotation?

Deine Frage:

Was genau soll das denn mit der Zeitdilatation in einer rotierenden Scheibe zu tun haben.

Auf einer rotierenden Scheibe gehören die Zeitdilatation und die Born-Starrheit untrennbar zusammen, weil das eine das andere physikalisch bedingt. Aber lassen wir das, vlt kann Y. ja aufklären was ich da evtl. nicht verstehe und wie alles einzuordnen ist? Du hattest ja auch ihn angesprochen, nicht mich.

Bis später.
Z.

PS:

Ja richtig, die Wurzel habe ich gerade korrigiert, aber 0 kommt dabei nicht heraus.

Da hast du recht, dass da keines Falls 0 rauskommt!
Müsste so aussehen....
Laut RT folgt jedoch: v = (u - (-u)) / (1 - (u · (-u)) / c²)
Es resultiert: v = 2u / (1 + u²/c²)


Du hast zudem zurecht bemerkt was Born... damit zu tun hat.
Im Eifer den Rindler-Fehler zu zerlegen, bin ich physikalisch einen Schritt zu weit gegangen. Ich wollte erklären, wie man die Starrheit auf der Scheibe mathematisch eigentlich betrachten müsste und hab dabei übersehen, dass die Born-Starrheit bei einer Rotation ja nicht mehr existiert, s. tangentiale Längenkontraktion EP.
Musst du aber auch immer so "falsche" Vorgaben machen. 

Nix für ungut.. musste mal Lachen.
HGZ.

Z. schrieb:

Rainer: a' = √((b¹·β¹/γ²β)² + (b¹×β¹/γβ)²) = b/γ = γ·a

Die Eigenbeschleunigung des Kreisenden ist ã=F/m=γ²a=v²γ²/r (also mit quadriertem Gammafaktor, denn die Beschleunigung ist eine zweite Zeitableitung). Unter Newton wäre es einfach ã=a=v²/r ohne Gammafaktor. Damit hier nichts assumed werden muss hab ichs direkt über die Metrik ausgerechnet, so schauts zwar auf den ersten Blick ein bisschen komplizierter aus aber dafür ist es wasserdicht: Rechnung

Yukterez schrieb:

Z. schrieb:

Rainer: a' = √((b¹·β¹/γ²β)² + (b¹×β¹/γβ)²) = b/γ = γ·a

Die Eigenbeschleunigung des Kreisenden ist ã=F/m=γ²a=v²γ²/r (also mit quadriertem Gammafaktor, denn die Beschleunigung ist eine zweite Zeitableitung). Unter Newton wäre es einfach ã=a=v²/r ohne Gammafaktor. Damit hier nichts assumed werden muss hab ichs direkt über die Metrik ausgerechnet, so schauts zwar auf den ersten Blick ein bisschen komplizierter aus aber dafür ist es wasserdicht: Rechnung

Ja das (b) hatte ich schon, aber ich brauche letztlich die effektive Beschleunigung (a'), und diese ist dank vᵣ=0 wieder die normale Koordinatenbeschleunigung a'=a=ω²r (vgl Langevin).

Und wenn man die 1+ als -1 auf die andere Seite bringt und statt die relativistische Addition auszurechnen, den Ausdruck γₛ=(1+β²)/(1-β²) stehen lässt. löst sich alles in Wohlgefallen auf.
γₛ-1 = 2β²/(1-β²) = τΔ/Δτ