Von koordinatenabhängiger Variabilität zu dynamischer Raumzeitkrümmung

Z. schrieb:

sie sind das exakte Gegenteil voneinander:

Bei Bell reißt das Seil sagt man, das hängt aber von der Reißfestigkeit ab, die man mit Δa beschreiben kann, genauso wie Δa die innere Dehnkraft (Stress) in einem bornstarren Rindler-Körper beschreibt, und zwar ganz genauso, wie Dir die Gezeitenkraft Δg für sich genommen nicht sagt, ob der Körper gedehnt wird und zerreißt oder nur erwärmt wird.....jedenfalls solange nicht jedes Elementarteilchen von sich aus beschleunigt, sondern der Motor irgendwo angebracht ist, in Gedanken meist einer an der Spitze und einer am Ende, also letztlich genau so wie bei Bell, denn sonst stellen sich all diese Fragen in etwas anderer Form.

Aber gut, Du rollst es vermutlich genau von der anderen Seite auf, und berechnest nur die Beschleunigung von Spitze und Ende, um die Bornstarrheit zu garantieren, und voila schon bist Du wieder bei meinem Δa, genauso wie wenn Bells Raketen mit einer stabilen Kette verbunden wären.

Rainer Raisch schrieb:

Z. schrieb:

sie sind das exakte Gegenteil voneinander:

Bei Bell reißt das Seil sagt man, das hängt aber von der Reißfestigkeit ab, die man mit Δa beschreiben kann, genauso wie Δa die innere Dehnkraft (Stress) in einem bornstarren Rindler-Körper beschreibt, und zwar ganz genauso, wie Dir die Gezeitenkraft Δg für sich genommen nicht sagt, ob der Körper gedehnt wird und zerreißt oder nur erwärmt wird.....jedenfalls solange nicht jedes Elementarteilchen von sich aus beschleunigt, sondern der Motor irgendwo angebracht ist, in Gedanken meist einer an der Spitze und einer am Ende, also letztlich genau so wie bei Bell, denn sonst stellen sich all diese Fragen in etwas anderer Form.

Aber gut, Du rollst es vermutlich genau von der anderen Seite auf, und berechnest nur die Beschleunigung von Spitze und Ende, um die Bornstarrheit zu garantieren, und voila schon bist Du wieder bei meinem Δa.

Ich finde das Beispiel von Bell mit dem Seil und der Rakete echt interessant, also schon lange. Eben Beschleunigung in der SRT, wenn man die ersten Dinge so drin hat, wirklich ein paar mal überdacht, und es gut sitzt, kann man da dann wieder mit dem Grübeln neu anfangen.

Auch Rotation ist dann noch mal eine richtige Hausnummer. Und bei der Scheibe wird es noch schwieriger als bei Bell, und wenn man die erst ruhend hat und dann beschleunigt, also anfängt mit der Rotation und die immer schneller drehen lässt, dann hat man richtig was zum Grübeln.

Ja, und da ist wo schon meine Grenze, also ich kann es mehr oder weniger rechnen, anerkennen, aber so tief und vollständig verstehen, begreifen, wie das mit der RdG geht, da bin ich nicht. Ich erkenne Formen, es ist nicht nur Nebel, aber klare Sicht ist das nun eben auch nicht. Eventuell geht hier ja später - nicht in diesem Thread - noch was zu Bell selbst, Beschleunigung und SRT und noch später was zur Rotation und der Scheibe.

nocheinPoet schrieb:

wie das mit der RdG geht, da bin ich nicht.

Naja,ich denke, anschaulicher Ausgangspunkt ist die Zeitdilatation. Die Zeitdilatation ergibt sich ja am einfachsten aus der Lichtuhr.

Aus der Zeitdilatation ergibt sich dann die sogenannte Uhrendesynchronisation, wie beim 3-Uhren Experiment.

Am Anschaulichsten ist letztlich ein Loedeldiagramm, wo man aber alles bereits voraussetzt, und nur noch sieht, wie sich alles vollkommen symmetrisch ergänzt.

In letzter Tiefe "verstehen" ist nochmals eine Herausforderung. Einstein hat ja die SRT nicht ex cathedra erfunden, weil er sich das aus einem höheren Verständnis logisch ausgedacht hat, sondern WEIL c konstant ist.

Rainer Raisch schrieb:

Z. schrieb:

sie sind das exakte Gegenteil voneinander:

Bei Bell reißt das Seil sagt man, das hängt aber von der Reißfestigkeit ab, die man mit Δa beschreiben kann, genauso wie Δa die innere Dehnkraft (Stress) in einem bornstarren Rindler-Körper beschreibt, und zwar ganz genauso, wie Dir die Gezeitenkraft Δg für sich genommen nicht sagt, ob der Körper gedehnt wird und zerreißt oder nur erwärmt wird.....jedenfalls solange nicht jedes Elementarteilchen von sich aus beschleunigt, sondern der Motor irgendwo angebracht ist, in Gedanken meist einer an der Spitze und einer am Ende, also letztlich genau so wie bei Bell, denn sonst stellen sich all diese Fragen in etwas anderer Form.

Aber gut, Du rollst es vermutlich genau von der anderen Seite auf, und berechnest nur die Beschleunigung von Spitze und Ende, um die Bornstarrheit zu garantieren, und voila schon bist Du wieder bei meinem Δa, genauso wie wenn Bells Raketen mit einer stabilen Kette verbunden wären.

Hallo Rainer,

kann es sein, dass du die Antworten nur überfliegst? MM. hatten wir obiges bereits mehrfach erläutert?
OK, ich fasse mich kurz.

Der Vergleich zwischen dem Rindler- und dem Bell-Szenario hinkt fundamental, weil er zwei völlig unvereinbare physikalische Randbedingungen gleichsetzt. Während das Rindler-Szenario über eine ortsabhängige Beschleunigung die innere Geometrie (den Eigenabstand) starr und kräftefrei hält, fixiert das Bell-Szenario über eine homogene Beschleunigung die äußere Geometrie im Startsystem, was im mitbewegten System zu einer unaufhaltsamen Dehnung und zum mechanischen Zerreißstoff führt (Bell). Man kann beide Fälle mathematisch nicht ineinander überführen oder wie du sagst, "von zwei Seiten aufrollen“, da sie sich wie exakte Gegenteile verhalten.

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Der mathematische Beweis 
Um ein beschleunigtes System absolut spannungsfrei und Born-starr zu halten, müssen sich alle Punkte des Objekts zu jedem Zeitpunkt im selben instantanen Rindler-Bezugssystem befinden. Die Tensoranalyse (über die Bedingung eines verschwindenden Expansions-Tensors θ_μν = 0) diktiert dafür eine hyperbelförmige Bewegung in der Raumzeit [Bell's spaceship paradox].
Die Eigenbeschleunigung α eines jeden Punktes ist dabei strikt an seine räumliche Position x gekoppelt und folgt der fundamentalen Rindler-Gleichung (in natürlichen Einheiten mit c = 1):
α(x) = 1 / x

1. Das Rindler-Szenario (Born-Starrheit)
Befindet sich das Heck der Rakete bei x_Heck und die Spitze bei x_Spitze, wobei der konstante Eigenabstand L_0 = x_Spitze − x_Heck beträgt, dann müssen die Eigenbeschleunigungen wie folgt definiert sein:

• Heck-Beschleunigung: α_Heck = 1 / x_Heck
• Spitzen-Beschleunigung: α_Spitze = 1 / (x_Heck + L_0)

Daraus ergibt sich das mathematisch zwingende Beschleunigungsgefälle (Δα):
Δα = α_Heck − α_Spitze = (1 / x_Heck) − (1 / (x_Heck + L_0)) > 0
Physikalische Konsequenz: Die Spitze muss schwächer beschleunigen als das Heck, damit der Eigenabstand L_0 konstant bleibt (Spannungsfreiheit) [Bell's spaceship paradox].

2. Das Bell-Szenario (Der fundamentale Widerspruch)
Im Bell-Szenario hingegen wird per Definition festgelegt, dass beide Raketen (Spitze und Heck) die exakt gleiche Eigenbeschleunigung besitzen:
α_Heck = α_Spitze = a ⇒ Δα = 0
Versucht man nun, wie im Satz behauptet, Bells Raketen mit einer „stabilen Kette“ zu verbinden, um die Born-Starrheit zu erzwingen, kollidiert die Kinematik mit der Dynamik. Da Δα = 0 ist, driften die beiden Punkte unaufhaltsam aus ihrem gemeinsamen Rindler-Bezugssystem heraus.
Mathematisch berechnet sich der mitbewegte Eigenabstand L(τ) im Bell-Szenario in Abhängigkeit von der Eigenzeit τ wie folgt:
L(τ) = (1 / a) · (√(1 + a² · τ²) − 1) + L_0 · cosh(a · τ)
Da der hyperbolische Kosinus (cosh) für τ > 0 monoton gegen Unendlich wächst, dehnt sich der Raum zwischen den Raketen im mitbewegten System kontinuierlich aus. Eine Kette kann dieses Δα = 0 nicht kompensieren – sie wird gestreckt und zerreißt [Bell's spaceship paradox].

Der wissenschaftliche Konsens (Wikipedia)
Diesen tensoranalytischen Sachverhalt fasst die physikalische Literatur im Standard-Eintrag zum Paradoxon exakt über die Geometrie der Rindler-Horizonte zusammen (s. Bell's spaceship paradox):

„Two observers in Born rigid acceleration [have] the same Rindler horizon. They can choose the proper time of one of them as the coordinate time of the Rindler frame.
Two observers having the same proper acceleration (Bell's spaceships) [...] are not at rest in the same Rindler frame, and therefore have different Rindler horizons.“ [Bell's spaceship paradox]

Deutsche Übersetzung:
„Zwei Beobachter in Born-starrer Beschleunigung besitzen denselben Rindler-Horizont. Sie können die Eigenzeit eines der Beobachter als Koordinatenzeit des Rindler-Bezugssystems wählen. Zwei Beobachter mit derselben Eigenbeschleunigung (Bells Raumschiffe) befinden sich hingegen nicht gemeinsam im selben Rindler-Bezugssystem in Ruhe und haben daher unterschiedliche Rindler-Horizonte.“
 

Fazit für die Argumentation
Man kann sich dem Problem nicht „von der anderen Seite nähern“, um Bell und Rindler gleichzusetzen. Entweder die Eigenbeschleunigungen sind gleich (Δα = 0 → Bell-Zerreißung), oder der Eigenabstand ist konstant (Δα = α(x) → Rindler-Starrheit). Ein "Dazwischen“ oder eine "stabile Kette bei gleicher Beschleunigung“ existiert in der relativistischen Raumzeitgeometrie nicht.

Entscheidend für das physikalische Verständnis ist. Bei Rindler geht es eben nicht nur isoliert um das diskrete Verhältnis von Heck und Spitze. Die Rindler-Gleichung α(x) = 1 / x gilt kontinuierlich für alle unendlich vielen x-Werte dazwischen. Jeder einzelne atomare Querschnitt eines Born-starren Körpers muss eine exakt auf seine Position abgestimmte, individuelle Eigenbeschleunigung erfahren. Bell bricht diese mathematische Bedingung auf ganzer Linie, da die identische Beschleunigung aller Punkte das gesamte Kontinuum des Raumes dazwischen zerreißt.

Gruß Z.

Ergänzend Wiki:
en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_spaceship_paradox

Noch eines bitte, sodass es nicht "vergessen" wird.

Rainer Raisch post=14734 userid=21012

Ahja die Gezeitenbeschleunigung ist bei Bell und Rindler (naturgemäß) dieselbe:
aΔ = a²L/c²

(Δa = a²L/c²)

Bei Rindler gilt....
Δa = (a₀² · L / c²) / (1 - a₀ · L / c²)  (exakt)
Δa ≈ a₀² · L / c²  (in erster Ordnung genähert)

e. O. g. ist sichs zwar mathematisch ähnlich, aber physikalisch resultiert das besagte Gegenteil.

HGZ.

Rainer Raisch schrieb:

nocheinPoet schrieb:

wie das mit der RdG geht, da bin ich nicht.

Naja,ich denke, anschaulicher Ausgangspunkt ist die Zeitdilatation. Die Zeitdilatation ergibt sich ja am einfachsten aus der Lichtuhr.

Aus der Zeitdilatation ergibt sich dann die sogenannte Uhrendesynchronisation, wie beim 3-Uhren Experiment.

Am Anschaulichsten ist letztlich ein Loedeldiagramm, wo man aber alles bereits voraussetzt, und nur noch sieht, wie sich alles vollkommen symmetrisch ergänzt.

In letzter Tiefe "verstehen" ist nochmals eine Herausforderung. Einstein hat ja die SRT nicht ex cathedra erfunden, weil er sich das aus einem höheren Verständnis logisch ausgedacht hat, sondern WEIL c konstant ist.

Ja ich habe Deine Loedeldiagramme schon ein paar mal hier bewundert. Ich selbst hadere damit etwas. Ich bin auf Koordinatensysteme geeicht und dann noch Minkowski-Diagramme. Aber wo Du schon ganz richtig liegst, ist die Darstellung der Symmetrie, das geht in einem Loedeldiagramm natürlich richtig gut. Besser, denn bei Minkowski braucht man dann schon zwei Diagramme, um es gut zeigen zu können. Also aus jedem System eben.

Wie gesagt, die Show mit dem Seil, geht gut in den Kopf, macht sogar eben auch Spaß. Aber Uhren auf einer Scheibe verteilen und die dann langsam auf Rotation und Tempo zu bringen und dann die Uhren in dem Laborsystem und dem Bezugssystem in dem die Scheibe weiter ruht, zu betrachten, das ist schon eine ganz andere Hausnummer.

Es ist ja so, wir sind eine euklidische Metrik gewohnt, darum ist die Hyperbolische ja auch schon so ein Problem. Der augenscheinlich längere Weg des reisenden Zwillings, eben seine Weltlinie ist kürzer, also die des ruhenden Zwillings auf der Erde. Klar klingt das nicht überzeugend, wenn man weiß, der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist direkt von A nach B und nicht noch eben beim Kumpel vorbeischauen.

Wenn die Scheibe immer schneller dreht, dann dreht sich das auch bei mir im Kopf. Ich habe mir das schon oft angesehen, gibt ja gute Videos im Netz. Klar ist, man bekommt die Uhren auf der Scheibe nicht mehr synchronisiert. Was ärgerlich ist, wenn man sich fragt, was passiert nun auf der Scheibe für wen genau nun wo gleichzeitig?

Beim Zwillingsparadoxon und dem hier geliebten Beispiel von Wikipedia, kann man sich ja einigen, Du hast eine andere Gleichzeitigkeit als ich, wir sind darüber einig. Auf der Scheibe ist das nicht mehr so klar.

Ich will das hier nicht zu sehr im Thread ausweiten, kurz noch gesagt, beim Zwillingsparadoxon wechselt der Reisende zwischen verschiedenen Inertialsystemen; bei der rotierenden Scheibe gibt es während der Rotation überhaupt kein einziges globales Inertialsystem der Scheibe. Die im Labor definierte Gleichzeitigkeit und die lokale Gleichzeitigkeit der rotierenden Scheibe lassen sich nicht mehr zu einer einzigen globalen Gleichzeitigkeit der Scheibe zusammenfügen.

Klingt gut, muss man sich langsam in den Kopf schieben.

nocheinPoet schrieb:

Aber Uhren auf einer Scheibe verteilen und die dann langsam auf Rotation und Tempo zu bringen

Naja das Thema der beschleunigten Scheibe ist das Ehrenfest Paradoxon der Krümmung der starren Scheibe. Mich interessiert eher die Zeitdilatation der konstant rotierenden Scheibe, bzw nur die Sitze im Kettenkarussel. Der kontrahierte Umfang ist hingegen beim Planetenorbit interessant und der Grund der Präzession.

Z. schrieb:

MM. hatten wir obiges bereits mehrfach erläutert?

Es ging hier doch um Δa

Z. schrieb:

Der Vergleich zwischen dem Rindler- und dem Bell-Szenario hinkt fundamental

Was soll denn daran hinken? Für mich besteht zwar Rindler aus einer punktförmigen Rakete, aber Du wolltest ja gerade auf die Ausdehung der Rindler-Rakete hinaus. Dann steht die Spitze und das Ende der Rakte exakt für die beiden punktförmigen Rakten bei Bell.

Der Unterschied ist doch offensichtlich also trivial, bei Bell ist das Seil nicht starr sondern reißt und bei Rindler ist die Rakete starr. Auch die Konsequenzen liegen auf der Hand.
Immerhin habe ich gelernt:
bᵣᵢₙ = c²/(Dᵣ+c²/bₐ)

Z. schrieb:

Im Bell-Szenario hingegen wird per Definition festgelegt, dass beide Raketen (Spitze und Heck) die exakt gleiche Eigenbeschleunigung besitzen:
α_Heck = α_Spitze = a ⇒ Δα = 0

Tja sag der KI, sie soll meinen Post nochmal lesen. Ich habe doch geschrieben, was das Δa bei Bell bedeutet, und vor allem ist es offensichtlich, dass es derselbe Wert wie bei Rindler sein muss, Stichwort Gezeitenkräfte.

"Nun Rainer mir sozs. vorzuhalten, ich würde das von dir gesagte wiederholen, bzw. die KI solle dich lesen...(Ich mache das sehr ausführlich).... insofern hatte ich ja vorher schon angefragt... ob du denn liest oder nur überfliegst was vorgetragen wurde. Und in Anbetracht, dass du hier drüber auf mM. bereits mehrfach dargelegtes und recht ausführlich erklärtes, nicht zu reagieren scheinst, denke ich, dass diese Fragen evtl. nicht ganz so unberechtigt waren..?? Es wäre vlt. auch angebracht, die KI als Werkzeug zu betrachten, denn wenn hier Fehler in meinen Argumenten auftauchen sind das meine Fehler, dergleichen wenn ich mit einem Kalkulationsprogramm welche mache, was zZt. eher selten vorkommt."

HI Rainer 
Also... Ok. ich sehe gerade du hast drunter noch folgendes eingefügt.... 
bᵣᵢₙ = c²/(Dᵣ+c²/bₐ) 

... darauf hin habe ich jetzt natürlich meine komplette weitere Antwort (nach meiner Grandiosen Ansprache oben) einfach mal so löschen können... die (welche) ich allerdings dennoch stehen lasse. 

Quid pro quo sozusagen.
bᵣᵢₙ= c²/(Dᵣ+c²/bₐ) ⇒ Δα>0

HGseZ.

Was ich gelernt habe:
Δα=α₁-α₂=(c²·L₀)/(x₂·(x₂-L₀))>0

Bis später.
Z.

Rainer Raisch schrieb:

Mich interessiert eher die Zeitdilatation der konstant rotierenden Scheibe, bzw nur die Sitze im Kettenkarussel.

Im System eines Sitzes sieht man die im Zentrum ruhrende Uhr (t) um den Gammafaktor schneller laufen (und im Zentrum sieht man die Uhren auf den Sitzen um den Gammafaktor langsamer), während man die Uhren auf den Sitzen vor und hinter sich gleich schnell wie die eigene ticken sieht. Der zeitliche Abstand zwischen den beiden von vorne und hinten empfangenen Signalen ist der gleiche:

Die Uhren fahren mit c/2 auf einem Kreis mit 1 Lichtsekunde Radius, die bei t=0 ausgesendeten Signale (blau) erreichen den mittleren Sitz bei t=0.519579155801 (von vorne) und t=1.324515383782 (von hinten), und die bei t=1 ausgesendeten Signale (rot) bei t=1.519579155801 (von vorne) und t=2.324515383782 (von hinten). In terms of τ (die Eigenzeit der Uhren auf den Sitzen) gilt τ=t/γ (da sie alle die gleiche Geschwindigkeit haben ist ihre Zeitdilatation γ die gleiche).