thermodynamisches Gleichgewicht

Ich habe mich immer gefragt, ob die Formeln des thermodynmischen Gleichgewichts mit der Fermidichte bzw dem Pauliprinzip kompatibel sind. Der Vergleich erscheint zunächst kompliziert, weil die Dichte der Thermodynamik auf der Temperatur beruht, während sich die Fermidichte an der Teilchenmasse orientiert. Man kann den Bogen schlagen, indem man die Energie vergleicht.

Zunächst ergibt sich eine noch einfachere Gleichung, indem man die Dichte der Fermi-Dirac Statistik mit dem Teilchenvolumen gemäß der de Broglie Wellenlänge vergleicht. Der "Raumbedarf" ist dann n·V, also
nFD·λB³
Sollte dieser Wert über 1 liegen, dann wäre gar nicht genügend Platz für die berechnete Teilchendichte, naja abgesehen von einer engeren als der hier berücksichtigten kubischen Packungsdichte der vollen Wellenlänge.

Die einfache Rechnung führt (je Freiheitsgrad) zu 
nFD = 6π·ζA(T/c₂)³
λB =  h/(m·γ·v)

Da v ≈ c, sonst wäre es ja kein thermodynamisches Gleichgewicht, ist nur noch γ > 1 von Interesse. Für große γ wird die Ruhemasse unbeachtlich und man erhält c²γ·m = E ≈ kB·T = kT, also
λB = c·h/kT

Somit erhält man
n·λ³ = (6π·ζA)T³/(c·h/kB)³(c·h)³/kT³ = 6π·ζA = 22.65823881697847

Das ist also eine temperaturunabhängige Zahl, natürlich nur im Hochenergiebereich genähert, allerdings deutlich größer als 1, selbst wenn man den Raum mit dem Kugelfaktor optimal ausnutzen würde.

Wie kann das also zusammenpassen?

Die Lösung liegt darin, dass sich in der Thermodynamik zwar die Teilchendichte so ergibt, aber die Teilchen nicht alle die Energie kT haben, sondern gemäß der Wienschen Verteilung also nach der Planckkurve. Verwendet man hingegen die durchschnittliche Energie eines Teilchens, landet man (für Fermionen je Freiheitsgrad) nur bei
E.FD' = w/n = (7/6)E.BE' =  (7/6)π⁴kB·T/30ζA
λB' = c·h(6/7)(30ζA/π⁴kT) = λB·(6/7)(30ζA/π⁴) = 0.31732186723604233λB

Also verkleinert sich das obige Produkt des Raumbedarfs um den Faktor
(λB'/λ³ = 0.31732186723604233³ = 0.031952143905583215
für diesen Raumbedarf V'/V ergibt sich somit eine Belegung von lediglich
22,66·0,032 = 0.7239793073271676

Es ist also genügend Platz, selbst bei kubischer Betrachtung.

Wenn man es noch genauer wissen will, muss man das Dirac Integral über die Planckkurve bilden
∫λ³/E dE = ∫1/E(1+exp.(E/kT)) dE

Dieses Integral von 0 bis ∞ würde divergieren, aber alle Werte E/kT < 1 fallen ja aus dem thermodynamischen Gleichgewicht heraus, sie annihilieren oder frieren aus. Sie wären ohnehin nicht mit λB sondern nur mit der Comptonwellenlänge λC<λB zu berücksichtigen, fallen aber komplett weg. Daher ist nur das Integral von 1 bis ∞ zu bilden und führt zu dem Grenzwert für hohe Temperaturen (kT ≫ c²m) , das Schöne an dimensionslosen Formeln ist, dass sich hier alle Vorfaktoren der Energie E und Temperatur T wegkürzen.
∫⁰⁰₁ (1/(x(1+exp.(x))) dx = 0,1806278
also nochmal deutlich niedriger als die Faustformel mit der mittleren Energie.

Fazit, es gibt keinen Widerspruch zwischen Thermodynamik und Unschärferelation und Pauli Prinzip, was auch kaum vorstellbar wäre, denn dies wurde ja längst von Planck berücksichtigt bzw in die Formel eingebaut, bzw anders herum: aus der Formel herausgelesen.

Auch wenn man von einem korrigierten Raumbedarf der Fermionen wie im Parallelthread ausgeht, ändern sich der Raumbedarf eines Teilchens und die Teilchendichte analog gleich, bzw besser gesagt genau entgegengesetzt, so dass V=n·V₁ unverändert gültig bleibt.

Meine Persönliche Ansicht zu:

Rainer Raisch schrieb:

Dieses Integral von 0 bis ∞ würde divergieren, ... 1 bis ∞ ...

Null ist eine Unendlichkeit also steht da eigentlichen ∞ bis ∞.
um Konsequent innerhalb des Universums zu bleiben.
0+1 bis ∞-1

FabsOtX schrieb:

Meine Persönliche Ansicht zu:


Null ist eine Unendlichkeit also steht da eigentlichen ∞ bis ∞.
um Konsequent innerhalb des Universums zu bleiben.
0+1 bis ∞-1
 

Nein, hier nicht, es geht um die mögliche Energie des Teilchens im Plasma, da gibt es keine negativen Werte, und E < kT ist irrelevant. Daher von 1 bis ∞.

Rainer Raisch schrieb:

FabsOtX schrieb:

Meine Persönliche Ansicht zu:


Null ist eine Unendlichkeit also steht da eigentlichen ∞ bis ∞.
um Konsequent innerhalb des Universums zu bleiben.
0+1 bis ∞-1

 

Nein, hier nicht, es geht um die mögliche Energie des Teilchens im Plasma, da gibt es keine negativen Werte, und E < kT ist irrelevant. Daher von 1 bis ∞.

Da hast du mich wohl falsch verstanden bei mir gibt es auch keine negativen zahlen.

0 = ∞
0 = NICHTS das ALLES Repräsentiert. ANFANG
∞ = ALLES das NICHTS darstellt. ENDE

0 und ∞ sind Grenzpfosten auf Niemandsland und gehören nicht mit beachtet.

Das ETWAS existieren kann geht nur im Bereich 0+1 bis ∞-1 = NICHTS + 1 bis ALLES -1

FabsOtX schrieb:

0 und ∞ sind Grenzpfosten auf Niemandsland und gehören nicht mit beachtet.

Das ETWAS existieren kann geht nur im Bereich 0+1 bis ∞-1 = NICHTS + 1 bis ALLES -1

Das ist beim Integral irrelevant. Ob Du einen Punkt mitzählst oder auslässt, oder auch beliebig viele, ändert gar nichts, denn das Integral besteht nicht aus Punkten sondern aus Distanzen. Das haben auch Banach-Tarski nicht verstanden.

Es macht aber einen kleinen Unterschied, ob man bei -∞, 0, oder 1 beginnt. Zwischen 0 und 1 kann eine ganze Welt liegen.

Rainer Raisch schrieb:

Zwischen 0 und 1 kann eine ganze Welt liegen.

durch ∞-1 begrenzt du aber auch diesen Bereich. Das schöne an ∞-1 ist ja das es selber keine Unendlichkeit sein kann, genau so wie 0+1 keine Unendlichkeit sein kein.

FabsOtX schrieb:

durch ∞-1 begrenzt du aber auch diesen Bereich. Das schöne an ∞-1 ist ja das es selber keine Unendlichkeit sein kann, genau so wie 0+1 keine Unendlichkeit sein kein.

Nein.

∞-1 = ∞

Und selbst mit der Maximaltemperatur T → TP gibt es kein logisches Minimum für die Ruhemasse m°, so dass in der allgemeinen Formel T/m→∞ stehen muss.

Aber mit meinen neuen Parametern gibt es tatsächlich eine Sättigungsgrenze nach oben, die man allerdings erst nach der Berechnung dieses Integrals erhält
Tû = 1 (c²m/kB)
Tô = ³e (c²m/kB)
Die obere Greze des Integrals ist dann ²e, darüber müsste man es modifizieren.

Rainer Raisch schrieb:

FabsOtX schrieb:

durch ∞-1 begrenzt du aber auch diesen Bereich. Das schöne an ∞-1 ist ja das es selber keine Unendlichkeit sein kann, genau so wie 0+1 keine Unendlichkeit sein kein.

Nein.

∞-1 = ∞

Du sagst es doch selber das es für gewisse Notationen einfach logischere alternativen gibt.
∞-1 = n_max

Rainer Raisch schrieb:

... so dass V=n·V₁ unverändert gültig bleibt.

Was steckt eigentliche alles in diesem V₁ drin, Ist das eine Elementarzelle mit max 0,74?

FabsOtX schrieb:

Was steckt eigentliche alles in diesem V₁ drin, Ist das eine Elementarzelle mit max 0,74?

Es ist das Volumen einen bestimmten Elementarteilchens. Die Ausdehnung wird mit λC angenommen, und im Falle hoher kinetischer Energie nimmt man λB an. Aber korrekt wäre eben λC/γ. Für das Volumen ist aber nicht λB³, wie meinst angenommen, bzw (λC/γ)³ maßgeblich, sondern eben nur λC³/γ. Es ist ganz einfach das lorentzkontrahierte Volumen, und damit verschwindet auch die klassische Diskrepanz zwischen QM und ART (insoweit).

Das muss man allerdings davon unterscheiden, dass ein Elementarteilchen die kinetische Energie nicht in Bewegung umsetzt, sondern in Vibration. Dann würde ich aber eher dazu neigen, den Platzbedarf mit λC³ anzunehmen, jedenfalls nicht mit den üblichen λB³.

Man kann dies dann noch mit dem Kugelfaktor oder hcp etc verrechnen. Bei unterschiedlich großen Teilchen gleicher Art (mit unterschiedlicher Kinetischer Energie) kann man auch an vollständige Raumfüllung denken. Aber vereinfachend rechnet man meist so, als wäre es ein kubisches Gitter. Anderenfalls wäre aber nicht rC maßgeblich, sondern λC/2, also zB λC³π/6γ

Rainer Raisch schrieb:

.... ein Elementarteilchen die kinetische Energie nicht in Bewegung umsetzt, sondern in Vibration. Dann würde ich aber eher dazu neigen ....

Das Volumen dieses Teilchen besteht also aus zwei Bereichen. Einen Teil der grade besetzt wird und einen Teil der grade frei geworden ist.
V_1 betrachte ich also wie eine Elementarzelle, inklusive ihrer Lücken!?

FabsOtX schrieb:

Das Volumen dieses Teilchen besteht also aus zwei Bereichen. Einen Teil der grade besetzt wird und einen Teil der grade frei geworden ist.
V_1 betrachte ich also wie eine Elementarzelle, inklusive ihrer Lücken!?


 

Im Falle der Vibration würde ich davon ausgehen, aber Vibration ist wohl nur bei zusammengesetzten Teilchen wie zB Elektron im Atom (Orbital) oder Atomkerne und Nukleonen möglich. Einzelne Elementarteilchen vibrieren sowieso, das nennt man die Comptonwellenlänge, wobei der Radius λC/2 beträgt und eben nicht rC, da es eben keine Kreisbewegung sondern eine Zitterbewegung (bzw Wahrscheinlichkeitswolke) ist. Ich stelle mir das wie eine pulsierende Kugel vor. Letztlich ist es nur eine Wahrscheinlichkeitswolke.

Falls Du mit "Lücken" jedoch den "Verschnitt" zwischen den Kugeln meinst, (egal ob kubisch oder hexagonal), so ist dieser zB durch kleinere Teilchen derselben Art nutzbar, und hier kommt eben λB bzw mein λL = λC/γ zur Wirkung. Auch wenn es schwer vorstellbar ist, dass sich ein Teilchen in einer sochen kleinen Lücke mit hoher Geschwindigkeit bewegt, kann ich mir vorstellen, dass es gegen das nächste prallt, den Impuls darauf überträgt und dann selbst dessen Platz einnimmt.

Und die ultimative Alternative wäre, wenn diese Kugeln flexibel sein könnten und den Raum nahtlos nutzen könnten. Aber letztlich sind diese "Kugeln" sowieso nicht starr, sondern nur Wahrscheinlichkeitswolken, mit abfallender Wahrscheinlichkeit. Sie durchdringen sich ja sowieso. Die Festlegung auf λC ist ja nur eine statistische Festlegung, der Punkt, an dem das Pauli Prinzip massiv spürbar wird.