Lagrangian ℒ=T-V

Wir hatten im alten Forum die offene Frage, wie man darauf kommen kann, statt der Energieerhaltung
E = T+V
den Lagrangian
ℒ = T-V
zu untersuchen.

Veritasium hat dies wunderbar erklärt:
Man geht von der minimalen Wirkung nach Maupertuis aus, deren Variation δ.S = 0 ergeben soll (nahe des Minimum)
S = Σ.(m·v·s) Gesamtwirkung einer Trajektorie

In der Form des Integrals nach Euler ergibt sich nach einem Wechsel der Integrationsvariable von d.s zu v·d.t
(wodurch das Zeitintervall an die Stelle der Länge der Trajektorie tritt)
δ.S = 0 = δ∫m·v d.s = δ∫v²m d.t = δ∫2T d.t = δ∫T+(E-V) d.t = δ∫T-V d.t + δ∫E d.t =
und berücksichtigt zuletzt die Energieerhaltung, also δ.E = 0
= δ∫T-V d.t + δ(E·t) = δ∫T-V d.t + t·δ.E+E·δ.t =  δ∫T-V d.t + E·δ.t

Da die Endpunkte der Trajektorie bzw das Zeitintervall zeitlich festgelegt sind, muss auch die Variation der Dauer δ.t = 0 sein.
δ∫T-V d.t = δ.∫ℒ d.t = 0
voila



Mit anderen Worten ist in den Lagrangian zusätzlich zur Energieerhaltung eingebaut, dass die Endpunkte zu fixen Zeitpunkten bzw innerhalb eines bestimmten Intervalls erreicht werden müssen.

Man kann T-V noch anders interpretieren:

V/m = Φ ist das negative Potential, -V ist also ein positiver Wert, und zwar ist das genau das Quadrat der Geschwindigkeit im Kreisorbital bzw die Hälfte des Quadrats der Fluchtgeschwindigkeit am aktuellen Ort des Objektes
-Φ = vO² = vR²/2

T/m = v²/2 ist die Hälfte des Quadrats der aktuellen Geschwindigkeit mit den Komponenten radial und orbital 
v² = vo²+vr²

Bei einer Änderung der Geschwindigkeit in der Trajektorie ergibt sich automatisch eine Änderung des Potentials und damit der benötigten Geschwindigkeit im neuen Orbital. Bremst man zB ein Objekt ab, dann sinkt die Trajektorie, was zu einer Beschleunigung führt, die Obitale sind selbststabilisierend. v+vO (bzw v²+vO²) sind in erster Näherung für kleine Änderungen konstant. Ob der Faktor 2 dabei eine Rolle spielt, sehe ich noch nicht, er wird wohl nicht stören und trägt einer etwaigen radialen Komponente vr Rechnung.

Rainer Raisch schrieb:

Mit anderen Worten ist in den Lagrangian zusätzlich zur Energieerhaltung eingebaut, dass die Endpunkte zu fixen Zeitpunkten bzw innerhalb eines bestimmten Intervalls erreicht werden müssen.

Jetzt wo man's weiß ist es nicht weiter verwunderlich. Dass ein Zusammenhang von Energieerhaltung und Zeit besteht ist ja spätestens seit Emmy Noether bekannt.

Das im Video besprochene Prinzip der minimalen Wirkung wird mit der Lagrange-Funktion T-V in der Relativitätstheorie zum Prinzip der maximalen Eigenzeit, wie Josef Gaßner mal erklärt hat .
 

Steinzeit-Astronom schrieb:

Dass ein Zusammenhang von Energieerhaltung und Zeit besteht ist ja spätestens seit Emmy Noether bekannt.

Das ist allerdings ein vollkommen anderer Zusammenhang: Zeitinvarianz.
Bei der Trajektorie geht es hingegen um ein unverändertes Zeitintervall.

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Dass ein Zusammenhang von Energieerhaltung und Zeit besteht ist ja spätestens seit Emmy Noether bekannt.

Das ist allerdings ein vollkommen anderer Zusammenhang: Zeitinvarianz.
Bei der Trajektorie geht es hingegen um ein unverändertes Zeitintervall.

So "vollkommen" anders kann es nicht sein. Wenn Zeitinvarianz eine Voraussetzung für Energieerhaltung ist und diese wiederum ein invariantes Zeitintervall zur Folge hat, dann ist das wohl kein Zufall.

Steinzeit-Astronom schrieb:

und diese wiederum ein invariantes Zeitintervall zur Folge hat

Das ist keine Ursache und Wirkung, sondern eine Forderung an die Variation der Trajektorie. Die Variation darf nicht das Intervall verändern, sonst ist es eine Lösung einer anderen Fragestellung.
Die Aufgabenstellung gibt ein bliebiges (aber mögliches) Zeitintervall Δ.t vor (sowie den Abstand Δ.x¹) und ebenso eine beliebige (aber mögliche) Energie T+V. (Anfangsbedingungen). Das Eine hat mit dem Anderen gar nichts zu tun.

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

und diese wiederum ein invariantes Zeitintervall zur Folge hat

Das ist keine Ursache und Wirkung, sondern eine Forderung an die Variation der Trajektorie. Die Variation darf nicht das Intervall verändern, sonst ist es eine Lösung einer anderen Fragestellung.
Die Aufgabenstellung gibt ein bliebiges (aber mögliches) Zeitintervall Δ.t vor (sowie den Abstand Δ.x¹) und ebenso eine beliebige (aber mögliche) Energie T+V. (Anfangsbedingungen). Das Eine hat mit dem Anderen gar nichts zu tun.

Nehmen wir also die im Video genannte tautochrone Kurve: Es gibt Energieerhaltung im konservativen Gravitationsfeld und es gibt für alle Anfangsenergien (Höhen) bzw. Weglängen das gleiche Zeitintervall vom Beginn der Bewegung bis zum Ende auf dem schnellsten Weg.

Zufall? Hat gar nichts miteinander zu tun? Das glaube ich nicht. Es muss einen Zusammenhang geben. Die Frage ist nicht ob es ihn gibt, sondern welcher es ist.

Hier ist es offenbar das Prinzip der minimalen Wirkung = der maximalen Eigenzeit. Aufgedröselt in Einzelschritte wie beim Licht durch Schichten mit unterschiedlicher LG hat man an in jeder Schicht Energiererhaltung und translatorische Zeit.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Zufall?

Was faselst Du denn da andauernd?

Energieerhaltung ergibt sich gemäß Noether immer und überall aus der im Allgemeinen gegebenen Zeitinvarianz. Das hat mit der konkreten Fragestellung der Trajektorie überhaupt nichts zu tun.

Für unterschiedliche Weglängen bzw unterschiedliche Zeitintervalle ergeben sich einfach unterschiedliche Trajektorien, das hat überhaupt nichts mit Energieerhaltung zu tun.

Wäre Energieerhaltung nicht gegeben, weil sich die Randbedingungen mit der Zeit ändern, oder ein Pilot am Steuer sitzt, dann ergäbe sich auch irgend eine Trajektorie mit ihrem Zeitintervall und Weglänge.

Rainer Raisch schrieb:

Was faselst Du denn da andauernd?

Oje, Agatha Christies eingebildeter Hercules Poirot an meiner Stelle würde antworten: "Die Gedanken von Poirot sind weit jenseits Ihrer Auffasungsgabe!" Aber der bin ich ja nicht und lasse lieber bleiben. 

Rainer Raisch schrieb:

Wäre Energieerhaltung nicht gegeben, weil sich die Randbedingungen mit der Zeit ändern, oder ein Pilot am Steuer sitzt, dann ergäbe sich auch irgend eine Trajektorie mit ihrem Zeitintervall und Weglänge.

Die Energieerhaltung ist aber gegeben, die Bedingungen ändern sich mit der Zeit und dem Weg, der Pilot heißt Natur und die Trajektorie ist nicht irgend eine, sondern genau die mit der kleinsten Wirkung und konstantem Zeitintervall. Aber lassen wir das. Ich sehe, hier es ist ein zunehmendes Intervall der Zeitverschwendung. Das war so nicht beabsichtigt.

Steinzeit-Astronom schrieb:

die Bedingungen ändern sich mit der Zeit und dem Weg

Nein, die Bedingungen sind überall zeitlich konstant, sie sind nur nicht überall gleich. Das ist aber eine Frage des ORTES und nicht der ZEIT. Nur für jemanden mit einem Brett vor dem Kopf ist das nicht erkennbar, er wird aber auch keine Energieerhaltung erkennen, denn dafür müsste er das Potential des Ortes erkennen.

Steinzeit-Astronom schrieb:

der Pilot heißt Natur

Wenn Du den Unterschied zwischen Pilot und Freiem Fall nicht verstehst....das glaube ich Dir gar nicht.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Aber lassen wir das.

Ja, bitte.