FLRW Metrik

Der alte Faden über das 1, 2 oder 3 Komponenten Universum ist wie ich gerade sehe leider nur bis Seite 3 archiviert, auf Seite 2 hatten wir die geschlossenen Universen. Da man nirgends ein komplettes Big Crunch Raumzeitdiagramm findet habe ich es selbst erstellt, der erste Plot ist proper distance r(t), der zweite comoving distance R(t) und der dritte nach conformal time R(η):

Die Parameter sind Ωr=2 (doppelkritische Strahungsdichte), also mit dem Krümmungsparameter Ωk=1-Ωr=-1. Der Ursprung des Lichtkegels ist hier genau beim Umkehrpunkt wo die Expansion zur Kontraktion wird eingezeichnet. Partikelhorizont: grün, Hubbleradius: blau, Lichtkegel: orange, mitbewegte Weltlinien: grau gestrichelt. Update: ich habe jetzt auch noch die maximale Separation rM=πrK hinzugefügt (bei 2rM trifft man wieder auf sich selber).

Ereignishorizont gibt es hier keinen da man spätestens beim Big Crunch mit allem und jedem in Kontakt kommt. Bei einem flachen Strahlungsuniversum würden außerdem der Hubbleradius und der Partikelhorizont zusammenfallen da sich dann beide mit 2c ausbreiten würden, während sie sich in einem gekrümmten Strahlungsuniversum voneinander unterscheiden würden.
 

Die Bilder sollte man in eine abgelegene, schwer zugängliche Höhle malen. Nach 20000 Jahren, 200 Weltkriegen und 400 Geschichtsverfälschungen wird man sich wundern, woher die keulenschwingenden Primitivlinge das damals wissen konnten. Sie können es wohl nur von Aliens erfahren haben. 

Ein geschlossenes Universum muss nicht unbedingt zu einem Big Crunch kollabieren, man kann Ωr, Ωm & ΩΛ auch so einstellen dass irgendwann H=Ḣ=0 bzw. ȧ=ä=0 erreicht wird. Das ist dann ein unstabiles Gleichgewicht wo das Universum entweder für immer statisch bleiben kann oder bei einer Störung des Gleichgewichts entweder weiter expandieren oder kollabieren kann.

Hier habe ich Ωr=0.3 & Ωm=1.1 gewählt, das dazu benötigte ΩΛ=0.00732259, dann wird das Equilibrium nach t=440.1 Gyr bei a=4.334 erreicht, ab dann hat der Lichtkegel auch in proper distances 45°. In unserem Universum haben wir andere Parameter, das hier ist nur aus rein akademischem Interesse:

Der Faden auf Stackexchange der mich dazu inspiriert hat findet sich auf physics.stackexchange.com/a/408833 wobei Ωr dort vernachlässigt wird, aber dafür kann man den Parameterraum auch 2D plotten wenn man nur Ωm und ΩΛ hat, während man mit 3 Parametern (Ωk leitet sich automatisch aus den anderen 3 ab) einen viel unübersichtlicheren 3D Plot dafür bräuchte.

Ich weiß nicht ob man die grau gestrichelten Hilfslinien für die mitbewegten Weltlinien auf allen Monitoren gut sieht, wenn man auf das Bild klickt kommt man auf die Seite wo ich sie ein bisschen dunkler gemacht habe, dort gibt es auch die mitbewegten und konformen Koordinaten. Wenn der Monitor gut kalibriert ist und man nicht in einem zu schiefen Winkel draufschaut sollte man sie sehen, aber wenn sich mehrere Leute melden die sie hier nicht sehen werde ich sie auf allen Bildern in der Serie dunkler machen.

Update: die violette Kurve für rM=πrK ist die maximale Distanz in diesem Universum (alles was weiter reicht ist aus der anderen Richtung bereits näher, und in einer Distanz von 2rM ist man wieder dort wo man war).

Ist das nicht dassebe wie Ω=1 ohne Λ?

Yukterez schrieb:

ob man die grau gestrichelten Hilfslinien für die mitbewegten Weltlinien auf allen Monitoren gut sieht,

Ich habe meinen Monitor ziemlich hell eingestellt und kann die Linien sehen (während ich diverse Windows Elemente nicht sehen kann)

Rainer Raisch schrieb:

Ist das nicht dassebe wie Ω=1 ohne Λ?

Nein, dann würde ȧ=ä=H=Ḣ=0 erst bei t=a=∞ erreicht. So wie hier wird es schon in endlicher Zeit bei a=4.334 oder mit anderen Parametern bei irgendeinem anderen endlichen t und a erreicht. Außerdem ist das Gleichgewicht da oben viel unstabiler da die Gradienten rechts davon (nach a geplottet) wieder nach oben gehen, während sie mit Ω=1 ohne Λ asymptotisch abflachen und auf 0 bleiben würden:

Wenn das Gleichgewicht bereits bei einem endlichen Skalenfaktor erreicht wird könnte man sich außerdem auf den eigenen Hinterkopf schauen da das Licht das man nach vorne schickt in einem geschlossenen Universum wieder von hinten zurückkäme, während es in einem flachen und unendlichen Ω=1 Universum nie wieder zurückkäme.

Yukterez schrieb:

Wenn das Gleichgewicht bereits bei einem endlichen Skalenfaktor erreicht wird könnte man sich außerdem auf den eigenen Hinterkopf schauen da das Licht das man nach vorne schickt in einem geschlossenen Universum wieder von hinten zurückkäme, während es in einem flachen und unendlichen Ω=1 Universum nie wieder zurückkäme.

Das ist in der Tat ein wesentlicher Unterschied.

Nach dem wir da oben ein Big Crunch Universum haben brauchen wir der Vollständigkeit halber auch ein Big Rip Universum. Wenn wir die Anfangsbedingungen für die ganzen Ω so lassen wie in unserem Universum, aber die dunkle Energiediche mit dem Skaltenfaktor zunehmen lassen sieht das Raumzeitdiagramm so aus, der Big Rip würde hier bei t=44.8 Milliarden Jahre nach dem Urknall eintreten:

Für die normale beschleunigte Expansion wo die dunkle Energie konstant ist siehe hier. Normalerweise ist der violette Ereignishorizont mindestens so groß wie der Hubbleparameter oder größer, aber beim Big Rip wird er da der Hubbleparameter irgendwann zu steigen beginnt schon vorher kleiner als der Hubbleradius.

Yukterez schrieb:

der Big Rip würde hier bei t=44.8 Milliarden Jahre nach dem Urknall eintreten:

Welchen Wert hat denn dann Λ und a am Ende?

Rainer Raisch schrieb:
Welchen Wert hat denn dann Λ und a am Ende?

a wird wegen der überexponentiellen Expansion bei t=44.8 unendlich, und Λ da es dann eine Funktion von a ist auch:
 

Wikipedia schrieb:
in the Big Rip scenario the Hubble constant increases to infinity in a finite time. The progression of time itself will stop. The model implies that after a finite time there will be a final singularity, called the "Big Rip", in which the observable universe eventually reaches zero size and all distances diverge to infinite values.

Der Hubbleradius und der Ereignishorizont konvergieren nicht etwa langsam und asymptotisch auf 0 zu sondern gehen direkt darauf zu und erreichen es dann auch tatsächlich.

Falls die dunkle Energiedichte nicht höher als die Planckdichte werden könnte und dort konstant bliebe entspräche das wieder der Inflation am Anfang eines unendlichen Universums, und falls die dann beim Versuch sie zu überschreiten wieder zu Strahlung und Materie zerfallen könnte entspräche das einem neuen Urknall.

Falls wir in einem Big Rip Universum leben müsste die dunkle Energie sehr viel langsamer als in meinem Plot da oben anwachsen damit sie im Rahmen der Messungenauigkeit wie fast konstant aussehen könnte, aber überexponentiell bleibt überexponentiell, das gleiche Schicksal würde uns dann also auch, nur eben später ereilen.

Wenn man sich die Weltlinie des Ereignishorizonts im Big Rip Universum ansieht sollte man die FLRW mit diesen Parametern eigentlich die Hinkelstein Metrik nennen.

Der Vollständigkeit halber darf auch das Milne Universum (Ωk=1, a=H0·t, H=H0/a=1/t, rH=c·t) nicht fehlen. Da es sich hierbei um einen verkleideten Minkowski handelt gibt es keine Horizonte und der Hubbleradius in comoving Koordinaten ist konstant:

Dass das hier so anders als auf einem normalen Minkowskidiagramm aussieht liegt daran dass die t-Achse die Eigenzeit aller mitbewegten Beobachter anzeigt, und nicht so wie normalerweise nur die von dem Beobachter in der Mitte. Die Hyperfläche konstanter FLRW Zeit t ist rot, und die konstanter Minkowski Zeit violett.

Die seit t=0 relativ zum zentralen Beobachter mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Beobachter (mit relativ zum zentralen Beobachter stationären Linealen und Uhren gemessen) haben am proper Diagram daher nicht 45° sondern 90° Weltlinien und auch ihre comoving Distance ist unendlich (bei Velocity v=c haben sie eine  Rapidität  von ArcTanh[1]=∞).

Hier das Gleiche wie da oben, aber statt in FLRW Koordinaten in normalen Minkowski Koordinaten. Die Rotverschiebung vom Hubbleradius ist bei Milne z+1=e, was per SRT-Doppler einer Relativgeschwindigkeit von v=(e²-1)/(e²+1)=Tanh[1]=0.7616c entspricht.

In unserem Universum käme wenn man das so rechnet mit 0.7401c (für die Zeit wo sich das Licht vom Hubbleradius aus auf den Weg zu uns gemacht hat) etwas weniger dabei heraus.

Die T Achse ist hier die Zeit des zentralen Beobachters, die Hyperbeln sind die Hyperflächen konstanter Eigenzeit t der mitbewegten Weltlinien und in der Mitte gilt T=t (in den FLRW Koordinaten aus dem letzten Beitrag werden diese Hyperbeln gerade gemacht).

In diesen mit relativ zur Mitte stationären Uhren und Linealen vermessenen {x,T} Koordinaten ist das Universum nicht mehr homogen (entlang der t Hyperbeln aber schon):

Bei der Integration von xH nach rH braucht man den quadrierten Gammafaktor: einmal wegen der Längenkontraktion der fliegenden Lineale die rH messen, und nochmal weil rH auf einer t Hyperbel liegt während xH sich auf einer T Linie befindet: rH=xH/Tanh[1].

Bei Milne wäre der Partikelhorizont in proper (rP) und comoving (RP) Koordinaten unendlich, während er mit statischen Uhren und Linealen (xP) gemessen genau cT beträgt.

Yukterez schrieb:

man kann Ωr, Ωm & ΩΛ auch so einstellen dass irgendwann H=Ḣ=0 bzw. ȧ=ä=0 erreicht wird. Das ist dann ein unstabiles Gleichgewicht wo das Universum entweder für immer statisch bleiben kann oder bei einer Störung des Gleichgewichts entweder weiter expandieren oder kollabieren kann.

Nach der Geschichte mit Nortons Kuppel habe ich sicherheitshalber überprüft ob da eh auch alle anderen Zeitableitungen von a Null werden, was auch der Fall ist. Das Gleichgewicht ist dann zwar auch noch instabil, aber in Abwesenheit von Störungen bliebe es trotzdem statisch.

Update 1: Im ersten Beitrag mit dem geschlossenen Big Crunch Universum habe ich noch nachträglich die maximale Separation rM=πrK (mit dem Krümmungsradius rk=c/H0/√[-Ωk/a²]) hinzugefügt, das ist die violette Linie die comoving und conformal dort ist wo der Partikelhorizont aufhört. Bei 2rM ist man wieder dort wo man war.

Update 2: In den Beiträgen zum Milne Modell habe ich die Hyperflächen konstanter Minkowski- und FLRW-Zeit (violett und rot) hinzugefügt, was auch im Einklang mit Figure 1 in diesem Paper ist.

Im 1. Beitrag ganz oben hatten wir ein strahlungsdominiertes Big Crunch Universum. Dort reicht der finale Partikelhorizont nur bis zum halben Krümmungsumfang, also bis zur Antipode, man kann sich also nie auf den eigenen Hinterkopf schauen.

Hier unten haben wir ein materiedominiertes Big Crunch Universum. Dann reicht der finale Partikelhorizont bis zum ganzen Krümmungsumfang, genau beim Big Crunch erreicht einen dann das Licht das man beim Urknall nach hinten ausgestrahlt hat von vorne, sowohl proper als auch comoving.

Beim Umkehrpunkt wo hier in den Diagrammen der Lichtkegel entspringt hat der Partikelhorizont genau den halben Krümmungsumfang erreicht, und beim Big Crunch den ganzen:

Im statischen Universum von Beitrag #7106 hingegen kann man sich bei einer Lichtlaufzeit von 621 Millarden Jahren nonstop auf den Hinterkopf schauen sobald das Universum zum Stillstand gekommen ist.

Yukterez schrieb:

man kann Ωr, Ωm & ΩΛ auch so einstellen dass irgendwann H=Ḣ=0 bzw. ȧ=ä=0 erreicht wird

Das ist quasi das statische Einstein Universum mit Ωr≈0
ä = 0 ⇒
Ωm = 2ΩΛ
ȧ = H = 0 = κ(ρm+ρΛ)/3 - c²k/R² ⇒
Ωk = 1-3ΩΛ

Legt man die heutige Dichte ρb = u·nb = u/4 1/m³ zugrunde (also ohne DM), dann ergäbe sich
Λₑ = 2,5247694e-53 1/m²
Rₑ = 21,036 Gly

Tatsächlich wäre Einsteins statisches Universum aber auch mit Λ=K=0 beim asymptotischen Erreichen des Endzustandes mit Ωb = 1 erfüllt. Dies ergäbe
Hₑ² = c²κ·ρm/3
Hₑ = 1,23e-18 1/s

Rainer Raisch schrieb:

Tatsächlich wäre Einsteins statisches Universum aber auch mit Λ=K=0 beim asymptotischen Erreichen des Endzustandes mit Ωb = 1 erfüllt.

Höchstens nach unendlich langer Zeit wenn die Dichte 0 geworden ist, aber bei Einsteins statischem Universum liegt die Pointe ja darin dass es auch mit nonzero Dichte geht.

Yukterez schrieb:

Höchstens nach unendlich langer Zeit wenn die Dichte 0 geworden ist

Naja, asymptotisch besagt, dass es sich annähert, und selbst mit nb = 1/4 1/m³ ergibt sich ein deutlich kleineres H als H°. Einstein hätte durchaus von einer deutlich geringeren Dichte ausgehen können, die letzte fehlende Baryonendichte wurde ja vor gar nicht langer Zeit erst gefunden. Dass es dann nicht perfekt statisch ist, hätte eigentlich kein Hinderungsgrund sein sollen. Aber anscheinend missachtete Einstein die Frage nach der Genauigkeit der Beobachtungen. Auch wenn (1917) nur Bewegungen in der Milchstraße beobachtet wurden, wäre ein ⟨v⟩ = 0 ± 0 eine absurde Genauigkeitsangabe.

Andererseits war die beobachtbare Dichte innerhalb der Milchstraße natürlich höher als nb im Universum.

Dem steht aber wiederum das Olberssche Paradoxon gegenüber sowie die Tatsache, dass Einsteins Formel gemäß den damaligen Beobachtungen ein mehr oder weniger unendliches flaches Universum beschrieb.

Rainer Raisch schrieb:

Dass es dann nicht perfekt statisch ist, hätte eigentlich kein Hinderungsgrund sein sollen.

Es war auf jeden Fall ein Hinderungsgrund für sein ewiges statisches Universum, denn da das seiner Meinung nach bereits unendlich lang existieren sollte wäre spätestens gestern entweder alles längst unendlich weit auseinandergeflogen oder im Big Crunch kollabiert.

Yukterez schrieb:

bereits unendlich lang existieren sollte

Ja, das war wohl die ursächliche zwar naheliegende aber unbegründete Unterstellung.