THEMA:

Bevor das Ende der Seite erreicht ist muss ich noch die bekannte Animation wo Newton mit Schwarzschild verglichen wird unterbringen, damit wir auch ein Beispiel haben wo der Shift groß genug ist dass man ihn auch mit dem freien Auge sieht.

Wenn wir am 10-fachen Schwarzschildradius 126% der benötigten Kreisgeschwindigkeit am Perihel einsetzen bekommen wir 36° Shift von einem Perihel zum nächsten, womit man ganzzahlig teilen kann und mit 10 Blüten auch einen nahtlosen Loop hinkriegt. Die Geschwindigkeit am Perihel sieht wegen

astro.umd.edu/~miller/teaching/astr498/lecture10.pdf#page=4 schrieb:

By a lovely coincidence, in Schwarzschild coordinates the angular velocity observed at infinity is exactly the same as it is in Newtonian physics.

von weitem genau so schnell aus wie die lokal langsamere links bei Newton, wo sich gebundene Orbits sofern sie keinen anderen Störungen ausgesetzt sind schon beim ersten Umlauf schließen:

Mich würde interessieren, ob das Perihel rP nach ART näher am Zentrum liegt als nach Newton. Ausgangspunkt wäre dieselbe Geschwindigkeit vA im Aphel bei gleichem Aphelradius rA. Die Geschwindigkeit vP im Perihel dürfte nach ART höher sein als nach Newton.

Achja, das ergibt sich ja praktisch alles schon aus den beiden Animationen, aber so herum fände ich es anschaulicher.

Ist dann die Bahnperiode gleich? Anscheinend benötigt Newton weniger Zeit, die Bahn ist bereits kürzer. Andererseits ist Newton langsamer.
Kann man die Periode einfach berechnen?

Rainer Raisch schrieb:

Ausgangspunkt wäre dieselbe Geschwindigkeit vA im Ahel bei gleichem Ahelradius rA. Die Geschwindigkeit vP im Perihel dürfte nach ART höher sein als nach Newton. Ist dann die Bahnperiode gleich? Anscheinend benötigt Newton weniger Zeit, die Bahn ist bereits kürzer. Andererseits ist Newton langsamer. Kann man die Periode einfach berechnen?

Analytische Formel finde ich beim googeln keine, die meisten integrieren 1/ṙ dr von rₘᵢₙ bis rₘₐₓ um die halbe Periode zu erhalten oder nehmen eine halbanalytische First Order Approximation wo man nicht den Startgeschwindigkeitsvektor an irgendeinem beliebigen Radius sondern die Exzentrizität kennen muss.

Auf die Schnelle kann ich aber im Simulator die Kreisgeschwindigkeit statt mit 1.26 zu multiplizieren durch den selben Faktor dividieren um das alte Perihel zum neuen Aphel zu machen:

Bei Schwarzschild wäre die in gleicher Eigenzeit τ zurückgelegte und mit den Linealen von lokalen stationären Beobachtern vermessene Strecke (999.271) länger als bei Newton (800.654), aber auch bei gleicher Koordinatenzeit t wäre sie länger (857.522), auch wenn sie ca. um den Faktor τ/t kürzer wäre als nach gleich viel τ.

Wenn man nicht die physikalische sondern die Koordinatenstrecke betrachtet haben wir bei gleicher Eigenzeit τ auch noch eine längere Strecke (992.540), und auch nach gleicher Koordinatenzeit t (851.718). Der Unterschied zu berücksichtigter Tiefenexpansion ist hier nicht so hoch da die meiste Bewegung transversal ist.

Statt in beiden Szenarien die beobachtete Startgeschwindigkeit am Aphel bei r=20 (hier ṽ⊥=v⊥√gₜₜ=0.177466) gleichzusetzen kann man auch die Erhaltungsgrößen Eₖ+Eₚ oder L gleichsetzen, was dann herauskommt schauen wir uns vielleicht morgen an.

Wenn nicht die beobachtete sondern die lokale Startgeschwindigkeit gleich ist ist eh klar was passiert, da die benötigte lokale Kreisbahngeschwindigkeit bei Schwarzschild höher als bei Newton ist: da wird der neutonische Kreisbahnradius zum schwarzschildschen Aphel, und der schwarzschildsche Kreisbahnradius zum neutonischen Perihel.

Pemrod schrieb:

wo man nicht den Startgeschwindigkeitsvektor an irgendeinem beliebigen Radius sondern die Exzentrizität kennen muss.

vA = ²((1-ε)/(1+ε))vN
vN = ²(rs/2a)c

Aber diese Simu ist ja vollkommen perfekt.

Wenn Du den Drehimpuls L gleichsetzen willst, musst Du (normalerweise) p.ell gleichsetzen.

Die Energie E wurde ja in dieser zweiten Simu gleichgesetzt, wenn rA und vA gleich sind.

Rainer Raisch schrieb:

Die Energie E wurde ja in dieser zweiten Simu gleichgesetzt, wenn rA und vA gleich sind.

Die ist hier nicht gleich, die unterscheidet sich an den hinteren Kommastellen. Um die Energie gleichzusetzen muss man weder die beobachtete noch die lokale Geschwindigkeit gleichsetzen, sondern vₙ²/2-1/r+1=√(1-2/r)/√(1-vₛ²) mit vₛ für die lokale Geschwindigkeit bei Schwarzschild und vₙ bei Newton, da haben wir ja andere Formeln wo auch die Geschwindigkeit anders einfließt.

Beim schwarzschildschen Drehimpuls hat man auch noch einen Gammafaktor den man bei Newton nicht hat. Man muss sich also entscheiden ob man die Energie oder den Drehimpuls gleichsetzen will wenn man die Startbewegung auf gegebenem r bei beiden rein transversal halten will, sonst muss man das was sich nicht ausgeht auf eine radiale Geschwindigkeitskomponente auslagern.

Pemrod schrieb:

Die ist hier nicht gleich

Ja, das ist mir dann auch aufgefallen.
Ich dachte, von außen betrachtet sind σ und γ für beide gleich, wenn v und r gleich sind. Nach Newton sind die Faktoren allerdings anders und das ist natürlich der Unterschied.

Nach Newton haben beide die gleiche Energie und nach ART ebenfalls, nur weichen Newton und ART voneinander ab.

Pemrod schrieb:

Es ist zwar so dass wenn man meinen Code nimmt und statt den Startparametern des Merkur die von Venus, Erde oder Mars eingibt auch das richtige Ergebnis von 8.63", 3.84" oder 1.35" herauskommt

Nur zum Spaß hier mit dem Mars, die Startparameter für das erste Fenster sind von hier:

Das liegt perfekt in der experimentell geforderten Range von 1.351±0.001

Wer genau mitdenkt wird sich vielleicht fragen ob man zur Masse der Sonne noch die Massen von Merkur, Venus und der Erde hinzuaddieren sollte, aber das soll man nicht da deren Einfluss bereits in der neutonischen Rechnung herauskommt.

Rainer schrieb:

Kann man die Periode einfach berechnen?

Die zusätzliche Winkelgeschwindigkeit beträgt ja
Δω = 3π·rs/(T·p)
und der zusätzliche Weg beträgt
Δφ = 3π·rs/p
In zweiter Näherung ergibt sich also kein Zeitunterschied. Einstein hat das auch nicht gesondert untersucht, sondern die Periode T einfach unverändert übernommen.