THEMA:

Hier mal etwas Spezielle Relativitätsthorie (SRT) für Leute, die gerne rechnen. Es sollte eigentlich einfach sein, aber irgendwas mache ich falsch. Würde mich freuen, wenn sich das mal jemand anschaut:

Gegeben sind drei relativ zueinander gleichförmig und geradlinig bewegte Inertialsysteme (IS). Alle sind bereits bewegt (in die gleiche Richtung). Beschleunigungen treten also nicht auf. Die drei IS sind:

- System S₀ mit darin ruhenden Uhren U₀.
- System S₁ mit darin ruhenden Uhren U₁ relativ bewegt zu S₀ mit v₁ = 0,8c.
- System S₂ mit einer darin ruhenden Uhr U₂, relativ bewegt zu S₁ mit v₂ = 0,6c.

In S₁ ruhen zwei Uhren U₁₀ und U₁₁ im Abstand von L₁ = 1 Ls (Lichtsekunde).
Es soll die Zeit für die Bewegung der U₂ von U₁₀ zur U₁₁ bestimmt werden.

Ich rechne mal so:

S₁ bewegt sich relativ zu S₀ mit v₁ = 0,8c ⇒ γ₁ = 5/3 = 1⅔ = 1,666… = \( \scriptstyle{\:\left(\sqrt{1 - (v/c)^2}\right)^{-1}} \)
⇒ Eine in S₁ erlebte Sekunde dauert 1s ∙ γ₁ = 1,666… s in S₀.

S₂ bewegt sich relativ zu S₁ mit v₂ = 0,6c ⇒ γ₂ = 5/4 = 1,25 = \( \scriptstyle{\:\left(\sqrt{1 - (v/c)^2}\right)^{-1}} \)
⇒ Eine in S₂ erlebte Sekunde dauert 1s ∙ γ₂ = 1,25 s in S₁.

Die Bewegung der in S₂ ruhenden Uhr U₂ auf der Strecke L₁ dauert also t₁ = L₁/v₂ = 1 Ls/0,6 Ls/s = 1⅔ s (1,666… s) in S₁.
Diese 1⅔ Sekunden sind 1⅔/γ₂ = 1⅔/1,25 = (5/3)/(5/4) = 4/3 = 1⅓ (1,333… s) in S₂.
Und es sind auch 1⅔ ∙ γ₁ = (1⅔)² = 25/9 (2,777…) Sekunden in S₀.

Die verschiedenen Zeiten für die Bewegung der U₂ von U₁₀ zur U₁₁ sind also:
a) t₂ = 1⅓ s = 4/3 U₂-Sekunden (1,333… s) im Ruhesystem S₂.
b) t₁ = 1⅔ s = 5/3 U₁-Sekunden (1,666… s) im Ruhesystem S₁.
c) t₀ = (1⅔)² s = 25/9 U₀-Sekunden (2,777… s) im Ruhesystem S₀.

Das sollte doch soweit stimmen, oder nicht?

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Was mir seltsam vorkommt ist die Rechnung mit relativistischer Addition:

Die in S₂ ruhende Uhr U₂ bewegt sich relativ zu S₀ mit der Geschwindigkeit \( v_3 \:=\: \frac{ \frac{4}{5}c + \frac{3}{5}c }{1 + \left(\frac{4}{5}c \cdot \frac{3}{5}c\right)/c^2}\:=\:\frac{35}{37}\:c \) ≈ 0,946c

\( \gamma_3 \:\scriptstyle{ =\: \sqrt{1-(35/37)^2}^{-1} \:=\: \sqrt{144/1369}^{-1} \:=\: (12/37)^{-1} } \) \(\:=\: \frac{37}{12} \) ≈ 3,083

Wie oben berechnet dauert die Bewegung der U₂ von U₁₀ zur U₁₁ genau t₀ = 25/9 Sekunden (2,777… s) in S₀.
Mit γ₃ = 37/12 entspricht das t₀/γ₃ = (25/9) / (37/12) = 25/3 ∙ 4/37 = 100/111 ≈ 0,9 s in S₂, was ein gewaltiger Unterschied zu den oben berechneten t₂ = 1⅓ s = 1,333… s in S₂ ist.

Was ist da faul? Hätte ich eine Längenkontraktion berücksichtigen müssen? Stimmen die Formeln nicht? Oder habe ich mich einfach nur verrechnet?

Steinzeit-Astronom schrieb:

...
Die verschiedenen Zeiten für die Bewegung der U₂ von U₁₀ zur U₁₁ sind also:
a) t₂ = 1⅓ s = 4/3 U₂-Sekunden (1,333… s) im Ruhesystem S₂.
b) t₁ = 1⅔ s = 5/3 U₁-Sekunden (1,666… s) im Ruhesystem S₁.
c) t₀ = (1⅔)² s = 25/9 U₀-Sekunden (2,777… s) im Ruhesystem S₀.
...
Oder habe ich mich einfach nur verrechnet?

Ich rechne für \(t_0\) aus \(S_1\) mit \( t_0 = \frac{1/0.6 + 0.8}{\sqrt{1-0.8^2}}\) und komme auf 4.111...

Steinzeit-Astronom schrieb:

In S₁ ruhen zwei Uhren U₁₀ und U₁₁ im Abstand von L₁ = 1 Ls (Lichtsekunde).
Es soll die Zeit für die Bewegung der U₂ von U₁₀ zur U₁₁ bestimmt werden.

Was Du dafür brauchst, ist die Geschwindigkeit
v12 = -v01(+)v02 = -0.38461538461538475
Die Zeit ist dann
t1 = L1/v12 = 2.6 s

Soweit ich sehe, hast Du wohl das Minuszeichen übersehen.

Fraglich ist aber, ob L1 auf S0 oder S1 bezogen wurde, dann muss hier ggf der Lorentzfaktor γ01=1.6666 eingesetzt werden, um die Eigenlänge
L11 = L01·γ01 = 1.6666 ls
t1 = L11/v12 = 4.33333333 s
zu erhalten.

Deine Rechnung habe ich noch nicht nachvollzogen bzw geprüft.
Soll nun die Zeit t1 in t0 übersetzt werden, ist wieder der Lorentzfaktor einzusetzen, wenn ich nicht irre, müsste ich aber genauer prüfen.


Eigentlich geht das einfacher
t0 = L1/(Δv) = 5s

oh Du beziehst v2 ja auf S1

Alle Angaben beziehen sich wohl auf S1, denn wenn v2 auf S0 bezogen wäre, dann müsste sich S2 ja mit v1+v2=1,4 c gegen S0 bewegen.

somit gilt also
v01 = v1
v12 = v2

und dann vermute ich doch
L11 = L1

t1 = L1/v12 = 1,66666 s

- System S₀ mit darin ruhenden Uhren U₀.
- System S₁ mit darin ruhenden Uhren U₁ relativ bewegt zu S₀ mit v₁ = 0,8c = 4/5 c.
- System S₂ mit einer darin ruhenden Uhr U₂, relativ bewegt zu S₁ mit v₂ = 0,6c = 3/5 c.

Steinzeit-Astronom schrieb:

...
Die verschiedenen Zeiten für die Bewegung der U₂ von U₁₀ zur U₁₁ sind also:
a) t₂ = 1⅓ s = 4/3 U₂-Sekunden (1,3̅3 s) im Ruhesystem S₂.
b) t₁ = 1⅔ s = 5/3 U₁-Sekunden (1,666… s) im Ruhesystem S₁.
c) t₀ = (1⅔)² s = 25/9 U₀-Sekunden (2,777… s) im Ruhesystem S₀.
...
Oder habe ich mich einfach nur verrechnet?

sebp_ schrieb:

Ich rechne für \(t_0\) aus \(S_1\) mit \( t_0 = \frac{1/0.6 + 0.8}{\sqrt{1-0.8^2}}\) und komme auf 4.111...

Danke. Das scheint zu stimmen. Den Trick mit dem Kehrwert von 0,6 im Zähler mit \( t_0 = \frac{1/0.6 + 0.8}{\sqrt{1-0.8^2}}\) durchschaue ich aber nicht.

Frage: Warum funktioniert das? Bin nicht gerade ein Überflieger in Mathe . Auf denselben Wert komme ich umständlicher so:

S₂ bewegt sich relativ zu S₀ mit der Geschwindigkeit v₃ = 0,9̅4̅5 c: Es gilt \( \beta \:=\: \frac{v_3}{c} \:=\: \frac{ v_1 + v_2 }{1 + \left(v_1 \cdot v_2\right)}\:=\:\frac{ \frac{4}{5} + \frac{3}{5} }{1 + \left(\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}\right)}\:=\:\frac{35}{37}\: \) = 0,9̅4̅5

Der Lorentzfaktor ist γ₃ = 37/12 = 3,083̅3. Es gilt
\( \gamma_3 \:\scriptstyle{ =\: \sqrt{1-(35/37)^2}^{-1} \:=\: \sqrt{144/1369}^{-1} \:=\: (12/37)^{-1} } \) \(\:=\: \frac{37}{12} \) = 3,083̅3

Eine S₂-Sekunde ist entsprechend länger als eine S₀-Sekunde. Die t₂ = 4/3 s Eigenzeit in S₂ sind also t₀ = t₂ ∙ γ₃ = 4/3 ∙ 37/12 = 4/12 ∙ 37/3 = 1/3 ∙ 37/3 = 37/9 = 4,111… s Eigenzeit in S₀.

Andere Frage: Warum funktioniert es nicht, wenn ich einfach die wie oben unter c) die Eigenzeit t₁ umrechne in t₀ = 2,777… s? Wenn sich S₁ relativ zu S₀ bewegt mit v₁ = 0,8 c = 4/5 c, dann ist doch der Lorentzfaktor γ₁ = 5/3 = 1,666… und mit t₁ = 5/3 sollte doch t₀ = v₁ ∙ γ₁ = (5/3)² = 25/9 = 2,777… gelten^^.

Astronom,
das ist kein Trick, das ist einfach die Transformation der Zeitkoordinate. 1/0.6 ist eine Zeit.
Ich berechne die Zeit in S0 aus S1 vom Ort und zum Zeitpunkt wenn in S1 die Uhr U2 die Uhr U11 erreicht.

So mit der Zeitdilatation zu rechnen funktioniert nur manchmal. Transformiere einfach Orte und Zeiten von Uhren.
Dann ergibt sich die Zeitdilatation. Was genau du falsch machst weiss ich nicht. Was du rechnest ist sicherlich auch irgendwie richtig, aber passt nicht auf dein Problem.