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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:11 #111071

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Die Carter Konstante Q (oder auch C) stellt neben Energie E, Impuls p und Drehimpuls L eine vierte Erhaltungsgröße in der dreidimensionalen Bewegung dar. Diese Konstante wird in erster Linie für Orbits um rotierende SL nach Kerr benötigt, doch wenn ich nicht irre, auch für Mehrteilchensysteme.

Wie ich bei Yukterez entnommen habe, gibt er die Dimensionalität der Carter Konstante mit m²/s bzw m²kg/s also derselben wie des Drehimpulses an.

Üblich wird die Formel wie folgt dargestellt, was nach der Dimensionsanalye nicht aufgeht.
\( Q = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu^{2} - E^{2}\right) + \frac{L_z^2}{\sin^2\theta} \right) \)
Und es ist nicht ersichtlich, welche Faktoren dabei weggelassen wurden. Impuls, Energie und Masse passen ja unschwer zusammen, nur der Drehimpuls fällt aus dem Rahmen. Allerdings hat der Kerrparameter wieder die Einheit einer Länge, so dass letztlich der Impuls heraussticht.

Wieso nach wiki bei der Kerr-Newman-Metrik der Impuls weggelassen werden sollte, kann ich auch nicht nachvollziehen, könnte aber auf der Symmetrie beruhen, oder es ist ein Fehler. Die Änderung von sin und cos dient wohl lediglich dem Zweck, einen tan statt cot schreiben zu dürfen.
\( C = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left( a^{2}(1 - E^{2}) + \frac{L_z^2}{ \sin^2\theta}\right) = a^2 \ (1-E^2) \ \sin^2 \delta + L_z^2 \ \tan^2 \delta \)
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:20 #111072

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Wie ich bei Yukterez entnommen habe, gibt er die Dimensionalität der Carter Konstante mit m²/s bzw m²kg/s also derselben wie des Drehimpulses an.


Die Carter Konstante hat die Einheit Drehimpuls zum Quadrat, das sollte auch auf allen meinen Seiten so sein, siehe



für zeitartige, und unten für lichtartige Pfade mit hf statt mc²:



Wenn man's in der Einheit Drehimpuls will (was eigentlich eh gescheiter wäre) muss man noch die Wurzel ziehen.

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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:23 #111073

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Wie ich bei Yukterez entnommen habe, gibt er die Dimensionalität der Carter Konstante mit m²/s bzw m²kg/s also derselben wie des Drehimpulses an.


Die Carter Konstante hat die Einheit Drehimpuls zum Quadrat, das sollte auch auf allen meinen Seiten so sein, siehe

Wenn man's in der Einheit Drehimpuls will (was eigentlich eh gescheiter wäre) muss man noch die Wurzel ziehen.

ja klar, es geht mir darum, wie man aus dem Impuls in der Formel einen Drehimpuls macht, mittels rs/2?
Wenn man den Stoßparameter b nähme, hätte man ja gleich L, bliebe noch der momentane Abstand r als unwahrscheinliche Möglichkeit.
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:30 #111074

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ja klar, es geht mir darum, wie man aus dem Impuls in der Formel einen Drehimpuls macht, mittels rs/2?


Das kovariante \( p_{\theta} \) ist keine lineare Impulskomponente, das ist bereits eine Drehimpulskomponente, nur im Gegensatz zur axialen Komponente \( p_{\phi} \) aka \(L_z\) keine erhaltene. Das ist kein linearer Impuls aus dem ein Drehimpuls gemacht wird, sondern eine Drehimpulskomponente die in eine Erhaltungsgröße einfließt.

Die lineare (und spezifische, damit wir und das \( m \) schenken können) Impulskomponente in die \( \theta \) Richtung wäre \( v_{\theta} \ \gamma \), während die polare Drehimpulskomponente \( p_{\theta} = -g_{\theta \theta} \ \dot{\theta} \) ist.

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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:40 #111075

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Verstehe p ist dann natürlich irreführend.

Ich nenne die momentane tangentiale Bewegung vo gegenüber dem stabilen Oribt vO. Dann wäre es wohl soviel wie vo·b, also doch der Stoßparameter?

bzw einfach der Impuls
Lθ = pθ·bθ
und dieser momentane Drehimpuls kann sich natürlich ständig ändern, das macht ja nichts, wenngleich verwunderlich.
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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:50 #111077

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Verstehe p ist dann natürlich irreführend.


Das ist so definiert, in Kugelkoordinaten sind die kovarianten Impulskomponenten entlang einer Winkelachse automatisch Drehimpulskomponenten:

\( -p_{\mu} = q \ A_{\mu} + \sum_{\sigma} \ g_{\mu \sigma} \ \dot{x}^{\sigma} \)

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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:52 #111078

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Na sag einfach, ob ich es so schreiben kann wie oben.

Die andere Frage wäre, wieso sich dies ändern kann, aber das liegt dann wohl an der Definition, beim Stoßparameter ändert sich der ja automatisch mit.

Es geht wohl darum, dass zwar der Drehimpuls in der Ellipse konstant ist, dass sich aber die fragliche tangentiale Komponente dauernd ändert, das kenne ich.

Dann ist es die tangentiale Komponente vo·r, denn für vo ist ja b=r.

Na, es genügt ja dann vollkommen Lθ zu schreiben.Das ist die momentane Komponente in tangentialer Richtung.
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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:55 #111079

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Na sag einfach, ob ich es so schreiben kann wie oben.


Das musst du selber proberechnen und schauen ob bei deinem Zeug das Gleiche rauskommt wie normal, das kannst du ja eh genau so gut wie ich austesten.

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Carter Konstante 05 Nov 2022 21:56 #111080

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das kannst du ja eh genau so gut wie ich austesten.

Ich fürchte nein, denn mit Deiner Formel kann ich nichts anfangen.
Aber nach Deiner Definition scheint es exakt dasselbe zu sein.
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Carter Konstante 05 Nov 2022 22:02 #111081

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Ich fürchte nein, denn mit Deiner Formel kann ich nichts anfangen.




ist äquivalent zu

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Carter Konstante 05 Nov 2022 22:04 #111082

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Da drängt sich dann die Frage auf, ob a in der Formel dimensionslos ist und hier ebenfalls der Radius einzusetzen ist statt rG?
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Carter Konstante 05 Nov 2022 22:07 #111083

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Da taucht dann die Frage auf, ob a in der Formel dimensionslos ist und hier ebenfalls der Radius einzusetzen ist statt rG?


Das ist in natürlichen Einheiten, wie man das über G, M & c auf SI Einheiten umrechnet oder umgekehrt kann ich dir schon zeigen, aber das ist so leicht dass du das sicher selber weißt. Per Dimensionsanalyse kann man da eh nur auf das Richtige kommen.

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Carter Konstante 05 Nov 2022 22:15 #111084

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Dann ist es rG bzw a mit Einheiten, für die Energie ergäbe der Radius auch wenig Sinn.
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Carter Konstante 05 Nov 2022 22:21 #111085

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Wieso nach wiki bei der Kerr-Newman-Metrik der Impuls weggelassen werden sollte, kann ich auch nicht nachvollziehen

Nach meinen bisherigen Notizen bezieht sich das auf Boyer Lindquist Koordinaten:
\( ak²(p²-E²/c²)sin.Δ²+Lz²tan.Δ² \)
sieht zwar merkwürdig aus. δ wird bei wiki hingegen als Inklinationswinkel bezeichnet. Ein Winkel sollte es schon sein :whistle:
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Carter Konstante 05 Nov 2022 22:41 #111086

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Im Internet wird das Thema ja eher stiefmütterlich behandelt, da schadet es nicht dem einen ganzen Beitrag zu widmen und ein Beispiel in Zahlen zu geben wo dann jeder selbst mitrechnen kann, denn am besten lernt man anhand von Beispielen. Die Signatur ist West Coast, die Einheiten durch die man den Input dividiert und den Output wieder multipliziert sind in eckigen Klammern.

Die beiden radialen Terme \( p_r \) und \(\dot{r} \) brauchen wir für den Zweck zwar nicht direkt, aber der Vollständigkeit halber schreibe ich sie trotzdem gleich dazu, wenn auch in grau, so hat man alle drei Möglichkeiten die Initial Conditions über die Erhaltungsgrößen, die lokale 3-Geschwindigkeit oder die koordinatenbasierte 4-Geschwindigkeit zu geben bequem auf einer Seite.

Nehmen wir ein schwarzes Loch mit Drehimpuls \(a=\) \(0.9\) \( [G M^2/c] \) und Ladung \( Q=\) \( 0.4 \) \( [M/\surd(K/G)] \). Dem Testpartikel geben wir die Ladung \( q=\) \(-0.5 \) \( [m/\surd(K/G)] \) und platzieren ihn bei \( r=\) \(5\) \( [G M/c^2], \ \theta = 45°=\) \(\pi/4 \), mit einer lokalen linearen Dreiergeschwindigkeit relativ zum ZAMO \( \overset{\to}{v}=\{v_r, \ v_{\theta}, \ v_{\phi} \} = [c] \) \( \{1/2, \ 1/2, \ 1/2\} \), also \( v= | \overset{\to}{v}|=\) \(0.866025 \) \( [c] \).



Die benötigten metrischen Koeffizienten in Boyer Lindquist Koordinaten sind in natürlichen Einheiten

\( g^{t t} = \chi \ / \Delta \ / \Sigma, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_{t t} = 1-(2r-Q^2) \ / \Sigma, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_{t \phi} = \kappa \ / \Sigma \)

\( g_{\phi \phi} = -\chi \ sin^2 \theta \ / \Sigma, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_{\theta \theta} = -\Sigma, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \) \( g_{r r}=-\Sigma \ /\Delta\)

und das elektromagnetische Vektorpotential

\( A_t=r \ Q \ / \Sigma, \ \ \ \ \ A_{\phi}=-a \ r \ Q \ sin^2 \theta \ / \Sigma \)

mit den Termen

\( \Delta = r^2+2r+a^2+Q^2, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \kappa = a \ (2r-Q^2) \ sin^2 \theta \)

\( \chi = (a^2+r^2)^2-a^2 \ sin^2 \theta \ \Delta, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Sigma = r^2+a^2 \ cos^2 \theta \)



Um die Carter Konstante

\( C = p_{\theta}^2+\cos ^2 \theta \ [ \ L_z^2 \ csc^2 \theta -a^2 (E^2-\mu^2 ) ] \)

mit \( \mu = \) \(0 \) für Photonen bzw. \( \mu = \) \(-1 \) für Partikel auszurechnen brauchen wir \( E, \ L_z, \ p_{\theta} \) aka \( -p_t, \ p_{\phi}, \ p_{\theta} \):

\( E = g_{t t} \ \dot{t} + g_{t \phi} \ \dot{\phi} + q \ A_t \)

\( L_z = -g_{\phi \phi} \ \dot{\phi} - g_{t \phi} \ \dot{t} - q \ A_{\phi} \)

\( p_{\theta} = -g_{\theta \theta} \ \dot{\theta} = \surd(-g_{\theta \theta}) \ v_{\theta} \ \gamma \)

\( p_{r} = -g_{ r r} \ \dot{r} = \surd(-g_{r r}) \ v_{r} \ \gamma \)



Also berechnen wir mit \( \gamma = 1/\surd(1-v^2) \ =\) \(2 \ \) zuerst die 4-Geschwindigkeit

\( \dot{t} = \gamma \ \surd(g^{t t}) = \) \( 2.55028 \) \( [1] \)

\( \dot{\phi}=[-\dot{t} \ g_{t \phi} - \gamma \ \surd(-g_{\phi \phi}) \ v_{\phi}-A_{\phi} \ q \ v^2 \ \mu^2] \ /g_{\phi \phi}= \) \(0.312781\) \( [c^3/G/M] \)

\( \dot{\theta} = v_{\theta} \ \gamma \ / \surd(-g_{\theta \theta}) = \) \(0.198399\) \( [c^3/G/M] \)

\( \dot{r} = v_{r} \ \gamma \ / \surd(-g_{rr}) = \) \(0.792853\) \( [c] \)



Damit kriegen wir die Energie- und Impulskomponenten

\( E=\) \( 1.57741 \) \( [mc^2]\)

\(L_z= \) \( 3.59882 \) \( [GMm/c]\)

\(\ p_{\theta} = \) \( 5.04033 \) \( [GMm/c] \)

\(\ p_{r} = \) \( 1.26127 \) \( [mc] \)



Das Ergebnis ist somit

\( C = \) \(37.7538 \) \( [GMm/c]^{ \ 2} \)

oder in den Drehimpulseinheiten

\( \surd C = \) \(6.14441 \) \( [GMm/c] \)



Falls irgendwo was anderes rauskommt muss ich schauen ob sich beim Formatieren kein Fehler eingeschlichen hat. Die benötigten \(g_{\mu \sigma} \) und \(A_{\mu}\) kann man hier und hier kontrollieren wenn irgendwas nicht passen sollte, und wer mit Mathematica arbeitet findet dort auch die Codes aus denen ich hier her kopiert habe, aber es sind dort nicht alle Buchstaben gleich belegt wie hier, also aufpassen.
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Carter Konstante 06 Nov 2022 01:06 #111089

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Danke, das muss ich erstmal verdauen. Du hast ja auch einen dimensionsbelasteten metrischen Tensor....

Einen konkreten Fall habe ich nicht, ich bin nur über meine widersprüchlichen Notizen gestolpert.

Wenn ich nicht irre, bin ich auf die Carter Konstante vor vielen Jahren ohne SL gekommen und zwar bei einem einfachen Dreikörperproblem.
Kennst Du das auch? Ich kann mich zwar kaum noch daran erinnern. Es war ein recht gut zu lesender Artikel, nur wo ich den hingetan habe....
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Carter Konstante 06 Nov 2022 09:45 #111101

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Du hast ja auch einen dimensionsbelasteten metrischen Tensor....


Von was für Dimensionen redest du, hier sind in der Metrik alle Konstanten auf \( \text{G=M=K=c=1} \) gesetzt, und wo man das nicht macht hat man sowieso spätestens in Kugelkoordinaten das \( g_{\theta \theta} \) und \( g_{\phi \phi} \) in der Einheit Fläche, dimensionslos ist dann nur \( g_{r r} \) und vielleicht noch \( g_{t t} \) wenn man \(ct\) statt \(t\) auf der Achse hat.

Falls du damit meinst dass ich in anderen Fäden das \( c^2\) bereits im \( g_{t t} \) hatte anstatt es auf die Zeitachse zu schreiben, das mache ich deshalb weil die Summenkonvention und mein Code dann gleich alles was es gibt vollautomatisch in den richtigen Einheiten ausspuckt, während man ansonsten an manchen Stellen händisch \( c \)s nachtragen müsste wenn man die Sekunden nicht in Metern will.

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Carter Konstante 06 Nov 2022 10:15 #111104

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Du hast ja auch einen dimensionsbelasteten metrischen Tensor....

Von was für Dimensionen redest du, hier sind in der Metrik alle Konstanten auf \( \text{G=M=K=c=1} \) gesetzt,

Ja eben, das erschwert die Dimensionsanalyse. Das Prinzip ist mir jedenfalls jetzt klar.
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Carter Konstante 06 Nov 2022 10:42 #111108

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Ja eben, das erschwert die Dimensionsanalyse. Das Prinzip ist mir jedenfalls jetzt klar.


Es gibt eh immer nur eine Möglichkeit die auf 1 gesetzten Konstanten miteinander zu multiplizieren oder dividieren dass die Größe die man hineinstecken will dimensionslos wird oder der Output auf die richtigen Einheiten kommt, nur bei solchen Sachen wie der Quadratmasse Mm würde von den Einheiten her auch M² oder m² für die benötigten kg² passen, aber dass die kleine Masse genau einmal mit jeder Impulskomponente multipliziert wird muss man eh schon seit Newton wissen.

Wie man sieht ist die Rechnung da oben eh auch so schon lang genug, die ganzen G, M, m, c & K in allen Formeln mitzuführen wäre in solchen Fällen also keine besonders übersichtliche Option.

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Carter Konstante 06 Nov 2022 11:52 #111113

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Es gibt eh immer nur eine Möglichkeit

Das ist schon klar, doch bei pθ steckte etwas ganz anderes in der Definition, und wer weiß, ob nicht woanders zB ein Faktor a als "selbstverständlich" in ein Symbol hineingezogen wurde....ich traue denen alles zu....
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Carter Konstante 06 Nov 2022 12:05 #111116

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wer weiß, ob nicht woanders zB ein Faktor a als "selbstverständlich" in ein Symbol hineingezogen wurde....


Den Spinparameter a kann man dafür nicht so wie die Naturkonstanten G, K und c oder die Masse M als Faktor zum Umrechnen von Einheiten verwenden, weswegen er im Gegensatz zu denen ja auch explizit in den Formeln drinsteht und so wie alle anderen Variablen auch anhand der Konstanten auf seinen dimensionslosen Wert gebracht wird


ich traue denen alles zu....


Auf solche Ideen würde kein normaler Mensch kommen, ich frage warum du denen, wer auch immer das ist, so was zutraust

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Carter Konstante 06 Nov 2022 12:40 #111118

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nicht so wie die Naturkonstanten G, K und c oder die Masse M als Faktor zum Umrechnen von Einheiten verwenden
...
Auf solche Ideen würde kein normaler Mensch kommen, ich frage warum du denen, wer auch immer das ist, so was zutraust

Das liegt allein schon daran, dass es zig verschiedene Sets von Umrechnungsfaktoren gibt, ganz abgesehen von den diversen cgs-Systemen.

L könnte man in der Formel ja auch durch M²c teilen, um es alles dimensionslos zu formulieren .... ich würde allerdings eher auf m bzw L zurückgreifen, wenn es irgendeinen Sinn haben soll.
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Carter Konstante 06 Nov 2022 13:41 #111124

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L könnte man in der Formel ja auch durch M²c teilen, um es alles dimensionslos zu formulieren


Allerdings weiß man dass man durch klein m dividiert um die Kilogramm aus den Einheiten herauszukriegen wenn man den normalen Bahndrehimpuls in den spezifischen umwandelt, also bleiben nur noch groß M, G und c übrig um die verbliebenen Meter und Sekunden rauszudividieren da die Gravitationskonstante mit der feldgebenden Masse gekoppelt werden muss, daher ist klar dass es GMm/c sein muss. Beim Eigendrehimpuls kommt die eigene Masse zum Quadrat rein, aber beim Bahndrehimpuls des einen um den anderen beide.

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Carter Konstante 06 Nov 2022 14:55 #111129

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daher ist klar dass es GMm/c sein muss.

So gesehen schon, aber eben nicht selbstverständlich, und ich wusste ja anfangs gar nicht, dass es letztlich überhaupt um den Drehimpuls geht, sondern dachte die Einheiten sollten im Endeffekt Längen m² darstellen.
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