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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 09:39 #103464

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Nee das ergibt dann 6,27855e+10 ly
Auch die Sekunden im Jahr sollten nicht stören.

einerlei :lol:
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 09:45 #103465

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Auch die Sekunden im Jahr sollten nicht stören.


Außerdem sehe ich gerade dass du auch ein anderes H0 hast, meines ist 67150m/Mpc/sek=2.17618e-18/sek

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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 09:49 #103467

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Hmm WA sagt dazu 6,3011e+10 ly

aber vielleicht rechnet er online nicht so exakt.
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 09:54 #103468

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aber vielleicht rechnet er online nicht so exakt.


Das normale Integrate ist in der Zeit knapp nach dem Urknall nicht genau genug, da habe ich auch was tun müssen damit ihm die Steigung dort nicht zu steil für die Stepsize wird aber mit dieser Integrationsmethode kommt man ausreichend genug hin:

int[f_, {x_, xmin_, xmax_}] :=
NIntegrate[f, {x, xmin, xmax},
Method -> {"GlobalAdaptive", "MaxErrorIncreases" -> 100,
Method -> "GaussKronrodRule"};, MaxRecursion -> 100];

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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 09:55 #103469

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aber mit dieser Integrationsmethode kommt man ausreichend genug hin:

Ja dann :)

Dann bleibe ich bei
rE° ≈ 16,7 Gly das habe ich wohl aus dem Buch von Josef
rP° = 46,9 Gly
rLK° = 63,6 Gly
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 10:03 #103471

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das habe ich wohl aus dem Buch von Josef


Wenn er den Partikelhorizont nicht bis zum Urknall zurückrechnet sondern bis z=1089 bis wohin die Photonen gekommen sind muss es eh ein bisschen weniger sein als wenn man ganz bis zum Urknall zurückrechnet um die Entfernung bis zu der wie Neutrinos im weitesten Fall gekommen sind zu erhalten, da muss man schauen was er als Text dabeistehen hat.

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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 10:15 #103474

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das habe ich wohl aus dem Buch von Josef


Wenn er den Partikelhorizont nicht bis zum Urknall zurückrechnet sondern bis z=1089 bis wohin die Photonen gekommen sind muss es eh ein bisschen weniger sein als wenn man ganz bis zum Urknall zurückrechnet um die Entfernung bis zu der wie Neutrinos im weitesten Fall gekommen sind zu erhalten, da muss man schauen was er als Text dabeistehen hat.

Ja klar, das passt aber so, bis z=1089 ist es nach CODATA 41,613 Mly, 13 Mpc bzw wird es nur comoving angegeben 45,3581 Gly, diese Zahl gerundet erwähnt Josef ebenfalls im Buch.

Es ergibt sich ja (auch ohne Inflation) immer eine Abweichung, weil es am Anfang keine Materie gab, sondern nur Strahlung, dann relativistische Materie und dann kalte Materie. Zudem verschiebt sich der Anteil wegen der Annihilation dann mit sinkender Temperatur wieder zur Strahlung. Der Materienteil war also nicht nur expansionsbedingt geringer zur Strahlung, sondern auch temperaturbedingt höher.

Jetzt fehlt nur noch die bis comoving 64 Gly erweiterte Animation :whistle:
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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 10:43 #103475

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Jetzt fehlt nur noch die bis comoving 64 Gly erweiterte Animation


Die gibt's eh schon längst, weiter hinten ist sie auch verlinkt:


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Hubble Sphäre 10 Jul 2022 10:47 #103476

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Das war mir entgangen.
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Hubble Sphäre 19 Jul 2022 19:40 #103753

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Nachdem ich nun lange gerechnet habe, ergibt sich, dass Einsteins Krümmungsradius des Vakuum RΛ derselbe ist wie der Radius des maximalen SL rsmax und exakt genau dasselbe wie der Hubble Radius rHw im Moment der Schubumkehr (Wende), und das ist kein Zufall:

rsmax = rHw = -RΛ = c/Hw = 1/²Λ = 9,587e+25 m = 10,1 Gly

Einsteins Krümmungsradius wäre allerdings in diesem Zusammenhang negativ, da abstoßend, und wenn er den Krümmungsradius der darin befindlichen Materie (inkl Vakuumenergie) ausgleicht, dann muss dessen rs genau gleich groß sein, und dies ist genau der Zustand bei der Wende, als ä = 0 war, also die Beschleunigung Null war. Expansion und Gravitation gleichen sich dabei genau aus. Nur der Schwung war positiv. Deshalb ist dies das größte mögliche SL, ohne Schwung herrscht an seinem rs "Schwerelosigkeit" (natürlich unabhängig vom Schwung). Und genau diese Dichte war im Moment der Wende gegeben.
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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 10:57 #103757

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Partikelhorizont nach t:

$ r_p(t) = a(t) \ \int_0^t \ \frac{c}{a(\bar{t})} \ d \bar{t} $

oder als Funktion vom Skalenfaktor a:

$ r_p(a) = a \ \int_0^a \ \frac{c}{\bar{a}^2 \ H(\bar{a})} \ d \bar{a} $

Ereignishorizont nach t:

$ r_e(t) = a(t) \ \int_t^{\infty} \ \frac{c}{a(\bar{t})} \ d \bar{t} $

oder als Funktion vom Skalenfaktor a:

$ r_e(a) = a \ \int_a^{\infty} \ \frac{c}{\bar{a}^2 \ H(\bar{a})} \ d \bar{a} $

Lichtbirne der Zeit tᵢ rückblickend in die Zeit t:

$ r_b(t_i , \ t) = a(t) \ \int_t^{t_i} \ \frac{c}{a(\bar{t})} \ d \bar{t} $

oder als Funktion vom Skalenfaktor a:

$ r_b(a_i , \ a) = a \ \int_a^{a_i} \ \frac{c}{\bar{a}^2 \ H(\bar{a})} \ d \bar{a} $

Hubbleradius nach t und a:

$ r_h(t) = \frac{c}{H(t)} \ , \ \ r_h(a) = \frac{c}{H(a)} $

Umrechnung von a nach t:

$ t(a) = \int_0^a \frac{dt}{d\bar{a}} \ d \bar{a} = \int_0^a \frac{1}{\bar{a} \ H(\bar{a})} \ d \bar{a}$

Für die analytischen Lösungen von t, a und H in den verschiedenen Epochen des Universums siehe hier , und für das Diagramm hier


Alles im Zitat in proper distances, für comoving wird je nachdem durch a(t) bzw. wenn nicht t sondern a gegeben ist direkt durch a dividiert.

zu ergänzen sind noch die weiter umgeformten Formeln
$ r_p(z) = c \ a \ \int_z^{\infty} \ \frac{1}{H(\bar{z})} \ d \bar{z} = r_H \ a \ \int_z^{\infty} \ \frac{1}{Ex(\bar{z})} \ d \bar{z} $
$ r_e(z) = c \ a \ \int_{-1}^z \ \frac{1}{H(\bar{z})} \ d \bar{z} = r_H \ a \ \int_0^z \ \frac{1}{Ex(\bar{z})} \ d \bar{z} $
$ Ex = H/H_0 = \sqrt{\Omega_r/a^4+\Omega_m/a^3+\Omega_\Lambda} = \sqrt{\Omega_r(z+1)^4+\Omega_m(z+1)^3+\Omega_\Lambda} $
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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 11:59 #103759

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$ r_e(z) = c $ $a$ $\int_0^z ...$


Für $z$ braucht man das Integral gar nicht extra umschreiben, da braucht man nur die Integrationsgrenze von $a$ auf $1/(1+z)$ ändern und kann die Funktionen so lassen wie sie sind:

${ \ \int_{0}^{\rm a} \ f(\bar a) \ d \bar a \ \to \ \int_{0}^{\rm 1/(1+z)} \ f(\bar a) \ d \bar a}$

aber wenn man es trotzdem macht kann man auch gleich das $a$ das du ja trotzdem noch mitführst in $z$ Form reinschreiben.

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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 12:23 #103760

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Der Witz bei dem Integral über z ist ja, dass man von 0 bis z integrieren kann statt von a=1/(z+1) bis ∞. Ob a oder z ist ansonsten natürlich egal.

Ich denke, dies ist für die numerische Berechnung günstiger.

Genau, WA liefert einmal ein endlos exaktes Ergebnis und im anderen Fall nur 6 Ziffern und dann
\( \int_{1/1091}^1... da \) = 4.53709 × 10^10 Standard computation time exceeded...
\( \int_0^{1090}... dz \) = 4.53709012065880007309125504430869303482752748328601698989016544046613555615184922243162081... × 10^10

\( \int_0^∞... da \) = 6.30111 × 10^10 Standard computation time exceeded...
\( \int_{-1}^∞... dz \) = 6.30110966116974483606283117637431809635923681578870286435773... × 10^10
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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 12:57 #103761

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Standard computation time exceeded...


Bis unendlich integrieren ist kein Problem, das konvergiert ja eh auf einen fixen Wert zu. Bei mir daheim geht das alles unter einer Sekunde:


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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 13:01 #103762

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Ja klar, ich habe ja nur die kostenlose online Version, aber es zeigt den Unterschied.
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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 16:14 #103772

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$ Ex = H_0/H = \sqrt{\Omega_r/a^4+\Omega_m/a^3+\Omega_\Lambda} $


Das hast du dich wohl vertippt, dort wo du ein $H_0/H$ hast gehört ein $H/H_0$ hin.

Ja klar, ich habe ja nur die kostenlose online Version, aber es zeigt den Unterschied.


Die spuckt bei mir auch in wenigen Sekunden ein Ergebnis aus, und die meiste Zeit davon braucht wahrscheinlich das Internet:



Das weicht zwar in den Nachkommastellen ein bisschen von meinem Ergebnis von #103761 ab, aber da ich nur testen wollte ob es überhaupt geht habe ich auch beim Input nicht alle Nachkommastellen eingegeben. Wenn man nur int(...) eingibt interpretiert der Anschnurrechner das manchmal falsch, aber wenn man integrate(...) ausschreibt geht es auch dort.

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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 17:04 #103777

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Das hast du dich wohl vertippt,

Ja danke.

Naja es ging mir nicht um die Korrektheit, dass es geht habe ich ja gesagt, nur gibt es eben nur das runde Ergebnis mit 6 Stellen, dann bricht WA ab, mehr geht hingegen mit der anderen Formel.
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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 17:13 #103779

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Naja es ging mir nicht um die Korrektheit, dass es geht habe ich ja gesagt, nur gibt es eben nur das runde Ergebnis mit 6 Stellen, dann bricht WA ab, mehr geht hingegen mit der anderen Formel.


Refresh mal die Seite, das geht auch innerhalb von einer Sekunde auf so viele Kommastellen wie du am Screenshot oben siehst genau, wenn du auf denselben klickst kommt der Code wie man ihn eingeben muss

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Hubble Sphäre 20 Jul 2022 17:30 #103780

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WA schlägt diese Schreibweise vor, wobei er zwei Klammern weglassen wollte ....

Integrate[1/(sqrt(.0001/a²+.315/a+.6849a²)*a),{a,0,oo}] 10^18/(2.17618*31556952)

Das bricht wieder nach dem ersten Ergebnis ab, vielleicht hast Du ja eine erweiterte Zeitslice von der Uni aus?
(ebenso mit Deiner Formel)

It is possible that you have a Wolfram|Alpha Pro subscription at the university but are using the free version at home:

Extended Computation Time
With Wolfram|Alpha Pro, you can request up to triple the computation time from the Wolfram|Alpha servers, allowing for additional or more detailed results.

Pro € 5,25 billed € 63.00 annually
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Hubble Sphäre 21 Jul 2022 13:16 #103792

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Anderes 4. Thema:

Die Gesamtdichte zu den fraglichen Zeiten ist ja ganz einfach

ρ(a) = Ex²ρ = (H/H°)²ρ = 3/rH²κ

Damit ergeben sich die damaligen Dichte-Parameter
(c steht für kritisch und x für die verschiedenen Komponenten)

ρx = Ωx·ρc
ρc(a) = (H/H°)²ρc
ρx(a) = ρx/anx
Ωx(a) = ρx(a)/ρc(a) = ρx/anx·(H°/H)²/ρc = Ωx(H°/H)²/anx
also
Ωr(a) = Ωr(H°/H)²/a⁴
Ωm(a) = Ωm(H°/H)²/a³
Ωk(a) = Ωk(H°/H)²/a²

Mit einem Ωk ≈ 0,0007(19) ≪ 0,003 ergibt sich somit zum Zeitpunkt der Wende der maximale Krümmungsparameter seit der Inflation von
Ωk(w) ≪ 0,0039
Für die Rekombination (CMB) ergibt sich ein Maximalwert von
Ωk(dec) ≪ 0,0000066
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Hubble Sphäre 21 Jul 2022 15:01 #103796

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Ich habe die Evolution der kosmischen Horizonte nun neben der Funktion von t nun auch als Funktion von a geplottet, da sind die ansonsten merkbar gebogenen Kurven für den Zukunftslichtkegel und Partikelhorizont noch vergleichsweise gerade, siehe hier:



(Nachtrag: in den vorigen Beiträgen wo ich auf die alte Version des Videos ohne r(a) verlinkt habe habe ich den Link jetzt auch durch die neue Version wo alles drauf ist ersetzt, die hat auch mehr fps)
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Hubble Sphäre 24 Jul 2022 18:28 #103937

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Wenn ich nicht irre, dann beträgt die Lichtwegentfernung
dT = Δτ·c = tL·c = rH·∫(1/(a·Ex))da = rH·∫(a/Ex)dz

τ ist bei mir immer die abgelesene lokale Uhrzeit, hier also das jeweilige Weltalter.
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Hubble Sphäre 27 Jul 2022 13:03 #104090

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Wenn ich nicht irre, dann beträgt die Lichtwegentfernung
dT = Δτ·c = tL·c = rH·∫(1/(a·Ex))da = rH·∫(a/Ex)dz


Du hast die Integrationsgrenzen vergessen, und das \( Ex \) und \( rH \) braucht man auch nicht, das kürzt sich auf \( H \) runter: \(t(a)=\int_0^a dt=\int_0^a d\bar{a} \ dt/d\bar{a}\) wird mit \(da/dt=\dot{a}=a \ H \) zu \(t(a) = \int_0^a d\bar{a}/\bar{a}/H(\bar{a}) \) bzw. von $a$ bis $1$ integriert wenn du nicht das Alter des Universums sondern die Lichtreisezeit eines Objekts mit Rotverschiebung \(z=1/a-1\) suchst. Das mit \( c \) multipliziert ist auch der lokale Weg den das Licht tatsächlich in Flugrichtung zurückgelegt hat, also ohne den Abstand der während seiner Reise hinter ihm hinzugewachsen ist.

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Hubble Sphäre 27 Jul 2022 14:15 #104092

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Du hast die Integrationsgrenzen vergessen

Naja das war mir zu umständlich, jeder wird wohl so clever sein, den ihn interessierenden Anfangswert und Endwert (meist heute und damals also a..1 bzw 0..z) einzusetzen.

sondern die Lichtreisezeit eines Objekts

Naja das ist das gleiche, also war es korrekt. Diese Differentialentwicklung ist praktisch. Man muss sich nur die Abhängigkeit anders herum vorstellen, also nur wenn das möglich ist (eineindeutige Abbildung), daran musste ich jetzt etwas knobeln.

Und die Leuchtkraftentfernung ist
dL = dA/a²

Endlich ist mir auch klar, was dA ist, es ist einfach die damalige Entfernung und somit die "Lichtbirne" rB je Radians
dA = d/rad = rB/rad = a·dC/rad
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Hubble Sphäre 04 Aug 2022 07:58 #104470

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dA = d/rad = rB/rad = a·dC/rad

Drum wird die Winkelentfernung dA auch "proper" distance genannt.

Es gibt noch den markanten Punkt der größten möglichen Winkelentfernung, dies war damals der Hubble Radius, also
dA = rH = c/H = c·η

Gibt es dafür eine einfache Formel statt des Integrals?

c/H°Ex = c·/H°·∫(1/Ex)dz also ∫(1/Ex)dz = 1/Ex

es sieht einfach aus ... grübel
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Hubble Sphäre 04 Aug 2022 19:25 #104481

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∫(1/Ex)dz = 1/Ex


Eine einfache analytische Lösung für den maximalen heutigen Rückwärtslichtkegel gibt es nicht mal bei vernachlässigter Strahlung, da ist man schneller wenn man es numerisch löst, dann kriegt man mit den hier verwendeten Parametern

Max proper past lightcone @ a=0.38645309, t=4.068501e9: rL=5.8731826e9


mit t in Jahren und rL in Lichtjahren.
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Hubble Sphäre 05 Aug 2022 00:04 #104484

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Schade, ich hatte auf eine logische Lösung gehofft. Die Daten hatte ich auch so ähnlich

H soll 167 km/sMpc betragen

ahja
c/rL = 166,484 km/sMpc
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Hubble Sphäre 10 Aug 2022 19:37 #104734

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Zum Vergleich und zur Ergänzung habe ich das Raumzeitdiagramm auch für ein Universum in dem es nur Materie oder Strahlung und keine dunkle Energie gibt geplottet, dann gibt es bekanntlich keinen Ereignishorizont rE bzw. RE da der mitbewegte Partikelhorizont RP auf keinen konstanten Wert zukonvergiert sondern ewig wächst. Oben ist unser normales Universum, in der Mitte das materiedominierte und unten das strahlungsdominierte :



Hier mit dem Lichtkegel bei t=50 Gyr:



Der Hubbleradius rH wächst im materiedominierten Fall konstant mit 1.5c und der Partikelhorizont rP konstant mit 3c, daher sind die hier am r(t) Plot gerade Linien. Im strahlungsdominierten Universum ist der Hubbleradius gleich dem Partikelhorizont und beide wachsen konstant mit 2c.

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Hubble Sphäre 10 Aug 2022 20:52 #104738

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Achso, das basiert dann auf Ω ≪ 1
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Hubble Sphäre 10 Aug 2022 21:14 #104740

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Achso, das basiert dann auf Ω ≪ 1


Nein, das basiert auf

Evolution of the cosmic horizons in a matter dominated universe (Ωm=1)


was man eh sieht wenn man den Link namens "materiedominiert" im letzten Beitrag anklickt.
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