Es ist eine
bekannte
Tatsache dass der Skalenfaktor a (das ist das was die
hier
hellgrau dargestellten Weltlinien der mitbewegten Galaxien festlegt) sich in der
strahlungsdominierten Phase des Universums proportional zu a∝√t, in der
materiedominierten mit a∝³√t² und in der
energiedominierten mit a∝eᵗ ausdehnt.
Hier schauen wir uns an wann und wie genau die analytischen Lösungen für die Einkomponentenuniversen (gestrichelte Kurven) mit der numerischen Lösung für unser tatsächliches
Mehrkomponentenuniversum (die solide Kurve) übereinstimmen. Die x→Achse ist die Zeit t und die y↑Achse der Skalenfaktor a.
In der frühen Zeit (hier die ersten 100 Jahre nach dem Urknall) passt die Lösung fast perfekt, die Skalierung lautet
a=√(H₀·t)·⁴√Ωr:
Je näher man der
materiedominierten Ära kommt desto mehr weicht die
Strahlungskurve von der
tatsächlichen Kurve ab:
Betrachten wir den nächstgrößeren Zeitraum liegt die blaue
Materiekurve schon näher an der
echten, richtig passt aber keine:
Sobald der Einfluss der
Strahlung vernachlässigbar klein wird passt die Kurve
a=³√(H₀·t)²·³√Ωm ziemlich genau:
In der mit kosmischen Maßstäben näheren Zukunft kann man wieder einfach mit
a=0.486·e^[H₀·√(ΩΛ)·t] rechnen:
Auf dem Linear/Log-Plot ist die
exponentielle Expansion eine gerade Linie, während die anderen Verläufe gebogen sind:
Wie man sieht gibt es an den Übergängen schon Abweichungen, aber am Log/Log-Plot macht es fast keinen Unterschied:
Man muss also nicht immer gleich das vollständige
numerische Integral lösen wenn man den Verlauf in einer Ära wo eine Energieform stark
dominiert
ausrechnen will, man benötigt nur die richtigen Vorfaktoren um die vereinfachte Lösung passend zu skalieren. In der Epoche wo
Strahlung und
Materie miteinander konkurrieren funktionieren die
Einkomponentenlösungen
nicht und man muss auf das Integral
t=∫₀ᵃ(da'/H/a') zurückgreifen.
Die Proportionalitätskonstanten in den Einkomponentenlösungen sind so gewählt dass sie zu den passenden Zeiten zu unserem Universum mit Ωr=9.2136e-5, Ωm=0.315, ΩΛ=1-Ωr-Ωm, Ωk=0, H₀=67.150 km/sek/Mpc, t₀=13.842 Gyr passen. In der heutigen Epoche bei a=1 wo weder die
blaue noch die
grüne Kurve wirklich auf die
violette passen verwendet man am besten die analytische
Zweikomponentenlösung
mit ΩΛ=1-Ωm die wenn man nicht gerade auf die ersten paar Millionen Jahre zoomt überall genau so aussieht wie das
komplette Integral.
In einem der nächsten UWudL Videos wird es ebenfalls um die Einkomponentenlösungen gehen,
hier
ist es jedenfalls so skaliert ist dass es in den Epochen wo es passen soll fast perfekt passt.