THEMA:

Es ist eine bekannte Tatsache dass der Skalenfaktor a (das ist das was die hier hellgrau dargestellten Weltlinien der mitbewegten Galaxien festlegt) sich in der strahlungsdominierten Phase des Universums proportional zu a∝√t, in der materiedominierten mit a∝³√t² und in der energiedominierten mit a∝eᵗ ausdehnt.

Hier schauen wir uns an wann und wie genau die analytischen Lösungen für die Einkomponentenuniversen (gestrichelte Kurven) mit der numerischen Lösung für unser tatsächliches Mehrkomponentenuniversum (die solide Kurve) übereinstimmen. Die x→Achse ist die Zeit t und die y↑Achse der Skalenfaktor a.

In der frühen Zeit (hier die ersten 100 Jahre nach dem Urknall) passt die Lösung fast perfekt, die Skalierung lautet a=√(H₀·t)·⁴√Ωr:

Je näher man der materiedominierten Ära kommt desto mehr weicht die Strahlungskurve von der tatsächlichen Kurve ab:

Betrachten wir den nächstgrößeren Zeitraum liegt die blaue Materiekurve schon näher an der echten, richtig passt aber keine:

Sobald der Einfluss der Strahlung vernachlässigbar klein wird passt die Kurve a=³√(H₀·t)²·³√Ωm ziemlich genau:

In der mit kosmischen Maßstäben näheren Zukunft kann man wieder einfach mit a=0.486·e^[H₀·√(ΩΛ)·t] rechnen:

Auf dem Linear/Log-Plot ist die exponentielle Expansion eine gerade Linie, während die anderen Verläufe gebogen sind:

Wie man sieht gibt es an den Übergängen schon Abweichungen, aber am Log/Log-Plot macht es fast keinen Unterschied:

Man muss also nicht immer gleich das vollständige numerische Integral lösen wenn man den Verlauf in einer Ära wo eine Energieform stark dominiert ausrechnen will, man benötigt nur die richtigen Vorfaktoren um die vereinfachte Lösung passend zu skalieren. In der Epoche wo Strahlung und Materie miteinander konkurrieren funktionieren die Einkomponentenlösungen nicht und man muss auf das Integral t=∫₀ᵃ(da'/H/a') zurückgreifen.

Die Proportionalitätskonstanten in den Einkomponentenlösungen sind so gewählt dass sie zu den passenden Zeiten zu unserem Universum mit Ωr=9.2136e-5, Ωm=0.315, ΩΛ=1-Ωr-Ωm, Ωk=0, H₀=67.150 km/sek/Mpc, t₀=13.842 Gyr passen. In der heutigen Epoche bei a=1 wo weder die blaue noch die grüne Kurve wirklich auf die violette passen verwendet man am besten die analytische Zweikomponentenlösung mit ΩΛ=1-Ωm die wenn man nicht gerade auf die ersten paar Millionen Jahre zoomt überall genau so aussieht wie das komplette Integral.

In einem der nächsten UWudL Videos wird es ebenfalls um die Einkomponentenlösungen gehen, hier ist es jedenfalls so skaliert ist dass es in den Epochen wo es passen soll fast perfekt passt.

Pemrod schrieb:

a=√(H₀·t)/7.2

Wieso H°/52 ?
ah ich habs
²(²Ωr·2) = 1/7,2

Pemrod schrieb:

a=0.9·³√(H₀·t)²

Ich habe den Faktor
³(²Ωm·3/2)² = 0,89
ok passt.

Wäre es nicht logischer, eine Konstante (Startwert) zu addieren und die Zeit entsprechend zu korrigieren? Schließlich steht t ja eigentlich für Δτ. Zwar geht dann die Nullung verloren.

Rainer Raisch schrieb:

Wäre es nicht logischer, eine Konstante (Startwert) zu addieren?

Nein. Das wollte Josef machen, aber ich versuche es ihm gerade mit den Worten

Yukterez schrieb:

Beim Skalenfaktor kannst du zu dem von t abhängigen Faktor nicht einfach eine Konstante so wie aM=aR(51000)+... dazuaddieren, wenn dann muss man den ganzen Skalenfaktor mit dem von t abhängigen Wert multiplizieren aber einen Beitrag der daneben liegt und nicht verzinst wird kann es da nicht geben, das + ist vom mathematischen Standpunkt her Unfug

auszureden. Geplottet habe ich es zwar auch mit addierter Konstante, nur kommt dabei nichts anständiges heraus, siehe hier und hier .

Korrektur:
So hatte ich es auch schon versucht ... ---gelöscht---

Nachtrag:
Naja der Einfluss von beiden ist doch stärker, daher sollte der Startwert gefittet werden, wäre immer noch besser als die Steigung zu fitten.

Es reicht ja, auf heute zu fitten, den Unterschied wird man wohl nicht sehen.

a_m ≈ ³(ρ·κ(τ-τ_now)²)+1

Oder man wählt die Wende als Basis.

Rainer Raisch schrieb:

a_m ≈ ³(ρ·κ(τ-τ_now)²)+³(ρ·κ(τ_now)²)

Dazu müsste man zuerst wissen was dein κ ist und ob τ bei dir das Gleiche wie t ist, ohne deine Variablen zu kennen kann ich dazu nichts sagen.

Ich habs noch wesentlich korrigiert.

τ ist das Weltalter
κ der Einsteinfaktor Einsteinkonstante

Eigentlich wollte ich es mittels Ω bzw H° formulieren, habe mich aber an Deine Beispiele gehalten.

Dem würde wohl entsprechen:

a=0.89·³√(H₀·(τ-τ°))²+1

mit τ° heute

Rainer Raisch schrieb:

κ der Einsteinfaktor

Ich kenne nur die einsteinsche Gravitationskonstante κ, einen Einsteinfaktor kennt nicht mal Google aber "κ(τ_now)²" schaut ja auf den ersten Blick eher wie eine von τ abhängige Funktion aus, nicht wie ein konstanter Faktor.

Äh ja Einsteinkonstante κ. Nein keine Funktion, die kennzeichne ich mit einem "."

Aber falls das Vakuum die Kurve schon wegdrückt, wäre vielleicht die Wende eine gute Basis.
a_MD = 0.89·³√(H₀·(τ-τ_w))²+a_w
a_w = 0,611
τ_w = 2,43e+17 s = 7,70 Mrd Jahre

Ich hatte zwar wie folgt gedacht:

a_MD = ³√(τ/τ_w)²a_w

haut aber auch nicht so gut hin

Solche komischen Phantasiefunktionen machen keinen Sinn, den Skalenfaktor darf man nicht addieren, nur multiplizieren. Wenn man sich solche komplizierten Funktionen mit einem verzinsten plus einem unverzinsten Teil zusammenbastelt wird die Näherung erstens auch nicht besser, und zweitens geht dabei der Witz das tatsächliche Dreikomponentenuniversum mit zur jeweiligen Ära passenden Einkompontenuniversen zu vergleichen verloren, denn in einem Einkomponentenuniversum gibt es erst recht kein a(t)=f(t)+C.

Ja klar, so meinte ich, ich bin Deinen Beispielen blind gefolgt, bzw ging es ja für heute mit a=1

a_MD = (0.89·³√(H₀·(τ-τ_w))²+1)a_w

nee schon eher wie vorher *grübel*

Was vielleicht auch manche wundern wird ist dass wir im zweiten Bild von Beitrag #99570 sehen, wie sich ein reines Strahlungsuniversum das gleich schnell wie unser mit Materie gemischtes Universum beginnt (der Anteil der dunklen Energie ist da noch zu klein um relevant zu sein), sich dann mit der Zeit doch langsamer ausdehnt als das mit Materie gemischte Universum und es später sogar vom ursprünglich langsamer gestarteten reinen Materieuniversum eingeholt wird, und das obwohl die Dichte bei der Strahlung mit 1/a⁴ und im Materieuniversum nur mit 1/a³ abnimmt, so dass man naiv vermuten könnte dass bei weniger Dichte auch weniger Gravitation herrscht und daher weniger gebremst wird. Das ist aber nicht der Fall, denn je schneller die Dichte ρ sinkt desto schneller sinkt auch der Hubbleparameter H, und desto langsamer wächst der Skalenfaktor a:
$$ H=\dot{a}/a=\surd(8 \pi G \rho / 3) $$
Bei der dunklen Energie wo die Dichte überhaupt nicht sinkt wird beispielsweise gar nicht gebremst sondern sogar beschleunigt, und bei der Strahlung wo sich die Dichte noch schneller ausdünnt als bei der Materie wird sogar noch stärker gebremst (das Ausdünnungsverhalten hängt direkt mit dem Druck zusammen, und der wirkt gravitativ). Das kann der Intuition zuwiderlaufen, aber es ist so.

Pemrod schrieb:

Was vielleicht auch manche wundern wird

Das Expansionsverhalten ist sehr kontraintuitiv.

Pemrod schrieb:

denn je schneller die Dichte ρ sinkt desto schneller sinkt auch der Hubbleparameter H, und desto langsamer wächst der Skalenfaktor a

Liegt dies nicht daran, dass die Strahlung auf Grund des Drucks mit dem doppelten Wert bremsend zu Buche schlägt?

FrII = c²Λ/3-4π(ρ/3+p/c²)G Beschleunigungsgleichung Friedmann 2
q = 4π·G(ρ+3p/c²)/3H² Bremsparameter

qR ~ 1+3/3 = 2

Das ist ja eine interessante Symmetrie, denn das Vakuum schlägt hierbei doppelt beschleunigend zu Buche.

qΛ ~ 1-3 = -2

Somit müßte ja auch
2ΩR = ΩM = 66%
einen "ähnlich" markanten Zustand (dominierendes Bremsverhalten) wie die Wende (Schubumkehr) beschreiben?.

Rainer Raisch schrieb:

Liegt dies nicht daran, dass die Strahlung auf Grund des Drucks...

In Anbetracht von

Pemrod schrieb:

das Ausdünnungsverhalten hängt direkt mit dem Druck zusammen, und der wirkt gravitativ

kann man das mit ja beantworten, aber es ist halt die gravitative Wirkung des Drucks und nicht seine dynamische. Josef hat hier zwar den Einwand bzw. die Ergänzung dass die oben getroffenen Aussagen auf ein flaches Universum zutreffen und H wegen der Wurzel im Falle eines Big Crunchs auch negativ sein kann, aber hier vergleichen wir eh flache expandierende Universen, und die Sache mit dem schneller abflachenden Skalenfaktor im Strahlungsuniversum hat auch seine Richtigkeit, da dachte er zuerst ja noch dass irgendwas an meinem Code nicht stimmt, aber jetzt ist klar dass das wirklich so gehört.

Rainer Raisch schrieb:

Somit müßte ja auch 2ΩR = ΩM = 66% einen "ähnlich" markanten Zustand (dominierendes Bremsverhalten) wie die Wende (Schubumkehr) beschreiben?.

Dominierendes Bremsverhalten herrscht bis zum Moment der Schubumkehr.

Pemrod schrieb:

Dominierendes Bremsverhalten herrscht bis zum Moment der Schubumkehr.

Ja das ist klar, ich meinte nur, dass der Zeitpunkt 2Ω_R=Ω_M=2/3 insoweit interessanter ist als Ω_R=Ω_M=1/2
Da beides gemeinsam und nicht gegensätzlich wirkt wie bei Λ, ist das natürlich nicht so augenfällig.

Allerdings macht dieser Faktor 2 in den Diagrammen auch nicht gerade viel aus.

Andererseits ist mir aufgefallen, dass unter τ<1 s die Partikel relativistisch bewegt sind und daher ebenfalls/fast mit a⁴ skalieren sowie ebenfalls Druck ausüben. Hinsichtlich der Freiheitsgrade gibt es dazu ja umfangreiche Rechnungen, der Druck wurde meines Wissens aber nirgends/selten erwähnt.

Rainer Raisch schrieb:

Andererseits ist mir aufgefallen, dass unter τ<1 s die Partikel relativistisch bewegt sind und daher ebenfalls/fast mit a⁴ skalieren sowie ebenfalls Druck ausüben. Hinsichtlich der Freiheitsgrade gibt es dazu ja umfangreiche Rechnungen, der Druck wurde meines Wissens aber nirgends/selten erwähnt.

Der Plot im Spoiler von Beitrag #99692 beginnt bei 1e-6 Jahren, also 31 Sekunden, da ist die erste Sekunde in der die Nukleosynthese stattfand zwar nicht mehr drauf, aber der Druck wäre dann auch nur positiv, also ein kleiner positiver Tropfen in einem Meer von ebenfalls positiv drückender Strahlung, das macht das Brot dann auch nicht wirklich fett. Bei der dunklen Energie und ihrem negativen Druck hingegen tritt ab dann wo sie die Überhand gewinnt auch wirklich eine Änderung in der Art des Verhaltens ein, vorher geht es nur ein bisschen mehr oder weniger in die gleiche Richtung, aber nie in eine andere (außer bei der Inflation sofern da eine war, aber hier betrachten wir das normale FLRW/ΛCDM Urknallmodell)

Ja klar, mich interessiert die erste Sekunde halt mehr als die Zeit danach, da passiert eben noch was...die Elementarteilchen frieren nacheinander aus, das confinement ändert die Situation, es ergibt sich Reheating durch Annihilation, etc. Nur die Sache mit dem Druck war mir bisher entgangen, vielleicht spielt das auch gar keine große Rolle.

Aber hier ist das offtopic.

Rainer Raisch schrieb:

Ja klar, mich interessiert die erste Sekunde halt mehr als die Zeit danach, da passiert eben noch was...die Elementarteilchen frieren nacheinander aus, das confinement ändert die Situation, es ergibt sich Reheating durch Annihilation, etc. Nur die Sache mit dem Druck war mir bisher entgangen, vielleicht spielt das auch gar keine große Rolle.

Das ist dann wieder mehr Teilchenphysik und weniger Relativitätstheorie, da kann ich nicht viel mehr dazu sagen als man auch so googeln könnte aber zumindest zum Thema Inflationsmodell hatten wir ab #84617 schon was gerechnet, aber da wir nicht mal wissen ob es diese Ära überhaupt gab kann ich dazu auch keine gesicherten Aussagen machen.

Was man sich auf jeden Fall merken kann ist die Tatsache dass man die Expansion des Skalenfaktors in der strahlungs- und materiedominierten Ära auf dem Log/Log-Plot als gerade Linien einzeichnen kann, und in der DE-dominierten am Linear/Log-Plot

Was die Sache mit dem Hubbleparameter und der Dichte angeht: wenn man ein flaches und unendliches Universum hat und gleichmäßig Material hineinzaubert (oder aus einer höheren Dimension hineinschaufelt, oder wenn sich aufgrund irgendeiner Imperfektion genug Vakuumfluktuationen nicht auslöschen) führt allein die daraus resultierende Dichte zum entsprechenden Hubbleparameter, was H betrifft ist es also egal ob man dunkle Energie hat oder überall neue Materie oder Strahlung herbeigezaubert wird.

Die Frage ob das Hinzufügen neuen Materials oder auch einfach nur neuer Energie dazu führt ob ein flaches Universum schneller expandiert oder kollabiert kann nur davon abhängen ob es bereits expandiert oder kollabiert, denn da die Funktion des Hubbleparameters stetig differenzierbar sein muss kann er nicht von einem hohen positiven auf einen hohen negativen Betrag springen, auch wenn beides eine gültige Lösung der quadratischen Gleichung H²∝ρ wäre.

Pemrod schrieb:

Was die Sache mit dem Hubbleparameter und der Dichte angeht: wenn man ein flaches und unendliches Universum hat und gleichmäßig Material hineinzaubert (oder aus einer höheren Dimension hineinschaufelt, oder wenn sich aufgrund irgendeiner Imperfektion genug Vakuumfluktuationen nicht auslöschen) führt allein die daraus resultierende Dichte zum entsprechenden Hubbleparameter, was H betrifft ist es also egal ob man dunkle Energie hat oder überall neue Materie oder Strahlung herbeigezaubert wird.

Damit ist auch die mithilfe des esoterischen Pseudotensors begründete angebliche Energieerhaltung im Universum ad absurdum geführt, denn wenn wir die dunkle Energie durch Materie die aus irgendeiner anderen Dimension in unser Universum geschaufelt wird so dass deren Dichte immer konstant bleibt ersetzen würde die Gesamtenergie inklusive Pseudoenergie ebenfalls immer 0 bleiben, das wäre dann also keine Energieerhaltung sondern Energievernichtung.

Es ist eine Frage der Betrachtungsweise, wobei ja üblich gerade die DE nicht mit einbezogen wird. Wie dies "beim" (es gibt beliebig viele) Pseudotensor ist, kann ich aber nach wie vor nicht sagen. Esoterisch ist wohl meist die Erwartung an diesen Pseudotensor. Ob/dass er andere Dienste für einen speziellen Beobachter leisten kann, halte ich jedenfalls für möglich.

Rainer schrieb:

Es ist eine Frage der Betrachtungsweise, wobei ja üblich gerade die DE nicht mit einbezogen wird.

Wenn du die DE nicht mit einbeziehst, dann stellt sich die Frage doch gar nicht erst.

Arrakai schrieb:

Wenn du die DE nicht mit einbeziehst, dann stellt sich die Frage doch gar nicht erst.

Doch natürlich, immerhin gibt es die Rotverschiebung.

Ich betrachte ohnehin nur die Hubblesphäre und begnüge mich (inkl Λ) mit dem konstanten Nullpotential Φ=0 m²/s² sowie der konstanten radialen Dichte M/rH=c²/2G.

Rainer Raisch schrieb:

Es ist eine Frage der Betrachtungsweise, wobei ja üblich gerade die DE nicht mit einbezogen wird.

Selbstverständlich wird die einbezogen, hier oder hier siehst du ja dass Λ in den Pseudotensor einfließt, und das Video in dem Bartelmann sich darauf beruft hat die dunkle Energie sogar explizit im Titel.

Rainer Raisch schrieb:

Esoterisch ist wohl meist die Erwartung an diesen Pseudotensor

Diese Erwartung zieht sich bis in die höchsten Kreise, selbst in manchen Videos aus der UWudL Reihe wird so dahergeredet als ob das Nullsummenuniversum eine beschlossene Sache wäre, dabei ist das bestenfalls eine Hypothese:

en.wikipedia.org/wiki/Zero-energy_universe schrieb:

The zero-energy universe hypothesis proposes that the total amount of energy in the universe is exactly zero.

Andererseits ist es natürlich verlockend den Zusammenhang von Hubbleparameter und Dichte als Erhaltungssatz aufzufassen, nur sollte man das nicht als Energie sondern eher so wie Susskind als sonstige conserved quantity bezeichnen. Einen wirklichen Wert hat das aber nicht, denn a=bc kann man immer auf a-bc=0 umstellen ohne dass dadurch wirklich was gewonnen wäre.

Pemrod schrieb:

denn a=bc kann man immer

Das würde ich in diesem Fall nicht sagen. Denn die konstante Gleichheit ist schon eine schöne Sache, vor allem wenn man an die Zeitdilatation denkt, die hinsichtlich der innerhalb der Weltalter Foliation räumlich überall gleichen Eigenzeit zwar ohnehin keine Rolle spielt.

Pemrod schrieb:

Wie man sieht gibt es an den Übergängen schon Abweichungen, aber am Log/Log-Plot macht es fast keinen Unterschied:

Das ist ja ungefähr so, also würdest eine Aufnahme der hässlichsten Visage der Welt aus 5 Millionen Pixeln und eine zweite aus 4 Pixeln miteinander vergleichen und dann sagen:"auf der Aufnahme aus 4 Pixeln ist es doch eigentlich ein hübsches Gesicht!"

Ropp schrieb:

miteinander vergleichen und dann sagen:

Im Prinzip schon und ich finde auch die Details interessanter, doch im allgemeinen genügt eben die grobe Skizze zur Abschätzung der Entwicklung.

Die analytischen Zweikomponentenlösungen bilden das Dreikomponentenuniversum exakter ab als die Einkomponentenlösungen da sie auch die Übergänge von einer Domination zur anderen abdecken, aber dafür sind die Formeln komplizierter (wie wir schon im Faden über die Hubblesphäre gesehen haben, aber der Vollständigkeit halber gehört es auch hier her). Orange und rot sind die analytischen Lösungen für die Ära in der man Strahlung plus Materie berücksichtigen muss, und cyan Materie plus dunkle Energie. Violett ist die numerische Lösung mit allen 3 Komponenten:

Rainer schrieb:

Andererseits ist mir aufgefallen, dass unter τ<1 s die Partikel relativistisch bewegt sind und daher ebenfalls/fast mit a⁴ skalieren sowie ebenfalls Druck ausüben.

Diese Grenze wäre wohl gar auf
τ < 3e-5 s
zu reduzieren, denn hier entstand das Confinement und bildeten sich die Nukleonen (u≈mp≈mn), diese waren hier bereits nicht mehr so arg relativistisch (c/²3) schnell
v ≈ ²(2kT/u) ≪ c/²3
Auch die Annihilation der Quarks war längst abgeschlossen.
u ≫ kT/c²
Demgegenüber kann man die Elektronen vernachlässigen, soweit sie später annihilierten, ist daraus ohnehin die Hintergrundstrahlung entstanden.

Bis zur Higgs Ära errechne ich (für H bzw Ex) lediglich eine Diskrepanz vom Faktor maximal 8.
TH = 1,86e+15 K Hagedorn Temperatur
τH = 2,9e-11 s
ρ = 4TH⁴σ/c³ = 1e+29 kg/m³
HH = ²(ρ·κ/3)c = 7,5e+9 /s Hubbleparameter nach Temperatur

a = T_CMB/TH = 1,5e-15
H°Ex = 1e+9 /s rechnerischer Hubble Parameter bei konstanten Zuständen

Ich bin mir nicht sicher, ob dieser Thread für diesen Post so gut geeignet ist....allerdings betrifft es das Zweikomponentenuniversum:

Die Krümmung K=1/R² wird natürlich mit 1/a² skaliert. Der Krümmungsparameter Ωk=c²/H²R² vergrößert sich hingegen gemeinhin. Allerdings ist diese Unterstellung nicht ganz korrekt, denn seit der Schubumkehr verringert er sich wieder:

Ωk = c²/H²R² = c²a²/ȧ²(R°a)² = (c/R°)²/ȧ²
Je größer ȧ, desto kleiner wird der Parameter, mithin sinkt er für ä>0.
R° ist dabei der heutige Krümmungsradius.

Es genügt also Vakuumdominanz, ΩΛ > 2Ωm

Somit war die Krümmung (seit Ende der Inflation) zur Zeit der Schubumkehr am größten.

Rainer Raisch schrieb:

Die Krümmung K=1/R² wird natürlich mit 1/a² skaliert. Der Krümmungsparameter Ωk...

Mit der Definition stimmt deine untere Aussage zwar nicht, aber umgekehrt wird durchaus ein Schuh daraus:

Rainer Raisch schrieb:

Somit war die Krümmung (seit Ende der Inflation) zur Zeit der Schubumkehr am größten.

Das ist richtig sofern mit Krümmung der Betrag von Ωk gemeint ist und da überhaupt eine Krümmung ist, hier mit Ωk₀=-0.005 (also ein geschlossenes Universum). Die Schubumkehr ist bei der ersten vertikalen Hilfslinie, die orange Kurve ist -Ωk(t) und die anderen Farben sind so wie hier: