THEMA:

Hallo zusammen.

Ich möchte euch hier einen neuen Blick auf die Lorentztransformation vermitteln. Die detaillierte Ausführung findet ihr in einem jpg. Als Link Im Anhang an diesen Post.

Daraus geht hervor, dass die Lorentz Transformation eine Rotation in der komplexen Ebene darstellt.

Wendet man diese Erkenntnis nun auf den topologischen Raum S3 an (die 3dimensionale Oberfläche einer 4dimensionalen Kugel) und beschreibt diesen mit Einheitsquaternionen (detailliert in einem sehr guten Video von 3BLUE1BROWN beschrieben) dann scheint dies meiner Meinung nach ein neues Licht auf die Spezielle Relativitätstheorie.

Im Genaueren:
Wenn q einem Einheitsquaternion entspricht dann entspricht.
q x p x q(-1) einer Rotation im 3dim. Raum
und
q x p x q einem Lorenz boost in die jeweilige Raumrichtung. (da sich hier die Raumrotationen gegenseitig aufgeben)

Raumrotationen sind Rotationen von imaginären zu imaginären Zahlen (zb von i zu j)

Lorentz boosts sind Rotationen von reellen zu imaginären Zahlen (zb von 1 zu i) so wie im Beispiel ausgeführt.

Beschäftigt und fasziniert mich schon seit einiger Zeit, darum musste ich das hier mal loswerden.
Es lohnt sich so oder so das Video von 3blue1brown zu Quaternionen anzuschauen

https://ibb.co/2MW9V9n
Grüße
Tim

Hi TimS,
Die Videos von 3Blue1Brown sehe ich auch immer gerne.
Ich denke jedoch nicht, dass das eine große Weisheit in Bezug auf die (relativistische) Mechanik ist.
Denn die Mechanik kennt ja für sich sowieso allerlei Bewegung , also im wesentlichen Translationen , bei denen es sich sowohl um Drehungen , als auch einfache lineare Transformationen im Sinne von Abbildungen R^3 auf R^3 handeln kann. Und eine Rotation im Sinne der Physik schützt ja nicht davor, einen Lorentzboost mitzumachen.

Warum sollte eine Rotation davor schützen einen Lorentzboost zu machen? Natürlich können Rotation und Boost kombiniert werden. Funktioniert der Link zu meinem jpeg? Ich finde das passt wie die Faust aufs Auge...
Und die Transformationen von denen ich spreche finden alle in R4 statt.

Man kann 1/γ, β und c=1 als ein rechtwinklinges Dreieck auffassen, dafür benötigt man keine komplexe Ebene.

1/γ²+β² = 1

Ja das stimmt. Das habe ich ja auch in meiner Erklärung geschrieben. Jedoch ergibt sich die hyperbolische Geometrie a^2 - bi^2 =1 nur in der komplexen Ebene. Raum und Zeit haben gewissermaßen ein unterschiedliches Vorzeichen.

Und meiner Meinung nach kann man den 3dimensionalen Raum nur korrekt darstellen wenn man 4 Dimensionen heranzieht. Und zwar 1,i,j und k (im Sinne von Einheitsquaternionen, also a^2 + bi^2 + cj^2 + dk^2 =1 und a, b, c, d element R) wobei 1 der Zeit und i, j und k dem Raum entsprechen...

TimS schrieb:

Warum sollte eine Rotation davor schützen einen Lorentzboost zu machen? Natürlich können Rotation und Boost kombiniert werden.

Funktioniert der Link zu meinem jpeg?

doch doch, hab ich kurz daruf geguckt.

Und die Transformationen von denen ich spreche finden alle in R4 statt

R4 schön und und gut. Ein Translationsbewegung im Sinne der Physik erfordert sowieso immer Zeit. Dadurch dass es ein Geschwindigkeitslimit in unserer Welt gibt kann nunmal nichts unverzüglich passieren oder von A nach B gelangen. Es geht aber dennoch um dreidimensionale Objekte, die durch bzw sich in einem dreidimensionalen Raum bewegen. Das ist für die relativistische Mechanik ja nicht abgeschafft.
Die Lorentzgruppe und damit die Lorentztransformation und folglich der Lorentzboost beziehen sich ohnehin in Gänze auf das Phänomen Bewegung -und da sind Rotationen in alle Richtungen des R3, Verschiebungen in alle Direktionen des R3 und alles was man sich an unterschiedlichen Geschwindigkeiten zwischen annähernd festgenagelt (langsam) und nahe c (schnell)denken kann, inbegriffen.
Somit behandelt die Lorentztransformation nicht nur geradlinige Bewegungen, wie du zu glauben scheinst.
Worin also soll der Benefit liegen, die Lorentztransformation als Rotation aufzufassen, wo Sie doch sowieso allgemein formuliert ist und sowohl Rotationen, als auch Verschiebungen somit doch schon einschließt?

Ist wahrscheinlich Defintionssache was man mit Lorentztansformation meint. Fakt ist: Ein 4dimensionaler Raum hat 6 Ebenen. Daraus ergeben sich 3 Rotationen und 3 Boosts. Und die Boosts sind letztlich halt auch Rotationen, die wir nicht als solche wahrnehmen, da durch einen Punkt im Unendlichen rotiert wird...

Im sich nicht bewegenden Ruhesystem ist der Punkt 1 am Koordinatenursprung und der Punkt - 1 im Unendlichen (unter einer stereographischen Projektion der Einheitsquaternionen)

TimS schrieb:

Jedoch ergibt sich die hyperbolische Geometrie a^2 - bi^2 =1 nur in der komplexen Ebene. Raum und Zeit haben gewissermaßen ein unterschiedliches Vorzeichen.
[...]
a^2 + bi^2 + cj^2 + dk^2 =1 und a, b, c, d element R) wobei 1 der Zeit und i, j und k dem Raum entsprechen...

Wo ist jetzt das unterschiedliche Vorzeichen der Zeit geblieben?

Ropp schrieb:

Worin also soll der Benefit liegen, die Lorentztransformation als Rotation aufzufassen, wo Sie doch sowieso allgemein formuliert ist und sowohl Rotationen, als auch Verschiebungen somit doch schon einschließt?

Vielleicht sind Rotationen leichter vorstellbar, und im besten Fall einfacher zu rechnen, wie es 3Blue1Brown ja für 3D-Rotationen im Raum behauptet.

TimS schrieb:

Raum und Zeit haben gewissermaßen ein unterschiedliches Vorzeichen.

Das ist korrekt, vor Minkowski behandelte man die Zeit als imaginäre Raumdimension. Auch das Linienelement zeigt dies ja deutlich

ds² = -c²dt²+dr² = η_μλx^μx^λ

Seit der Tensorrechnung teilt man diese Komponenten allerdings nicht mehr mittels eines imaginären Faktors i auf sondern splittet diese in kovariante und kontravariante Komponenten:
t² = x_tx^t

wobei die kontravarianten Komponenten unser gewöhnliches Vorzeichen tagen und die kovarainten Komponenten das negative Vorzeichen, wahlweise bei der Zeitkomponente oder bei den Raumkomponenten.
x^t = t
x_t = -t

Dies hat viele Vorteile, denn beide Arten der Komponenten haben ihre jeweiligen Vorzüge und gemeinsam führen sie zu den invarianten Vierervektoren.

Das unterschiedliche Vorzeichen demaskiert sich erst wenn man die jeweiligen Terme quadriert.
i^2, j^2,k^2 =-1 während 1^2 =1

Mir gefällt die Sache mit dem i deutlich besser!

Soweit ich weiß, wir hatten das Thema schon früher im Forum, bieten die Quaternionen keine Vorteile beim Rechnen.

TimS schrieb:

die Boosts sind letztlich halt auch Rotationen, die wir nicht als solche wahrnehmen, da durch einen Punkt im Unendlichen rotiert wird...

Mir gefallen jedenfalls diese Quaternionen... das hat was. Man erkennt, wie durch einen ein zusätzlichen Punkt im Unendlichen quasi eine neue Dimension erst entsteht. Es ist auch zahlentheoretisch interessant... fehlt nicht mehr viel, und es führt zum Beweis der (3n+1)-Vermutung .

Mit der Gefahr, dass es jetzt etwas "wild" wird.:

Ich würde argumentieren, dass wenn sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit von mir wegbewegt und Damit Distanz erzeugt er allein durch Erhöhung des Abstandes einen Lorentzboost durchführt ohne jedoch zu beschleunigen. Je größer die Entfernung eines Körpers desto mehr ist er lorentztransformiert (oder von 1 nach i rotiert), weil Abstand erzeugen heißt von 1 nach i rotieren. Es gibt also ein Art lokalen und globalen Lorentzboost... Letzeres würde ich dann globalen Lorentzboost nennen, während die initiale Beschleunigung des Körpers um eine konstante Geschwindigkeit zu erzeugen eine Art lokalen Lorentzboost darstellt.
Das erklärt dann auch wieso sich weit entfernte Körper von einem wegbewegen obwohl sie ruhen. Gegenwärtig natürlich erklärt durch Dunkle Energie, skalenfaktor etc. Hatten wir ja in den letzten Gaßner videos

>>>Je größer die Entfernung eines Körpers desto mehr ist er lorentztransformiert
Du verwechselst wohl die Koordinatentransformation mit der Differenz der unterschiedlichen Koordinatensysteme?
Eine Länge ändert sich auch bei größerer Entfernung nicht mehr.

@Rainer Raisch
Ist denn ein sich relativ zu mir entfernender Planet (nur durch Raumexpansion) nicht längenkontrahiert obwohl unsre Bezugssysteme zueinander nicht ruhen?

Deine Antwort wäre: nein hier gibt es keine Längenkontraktion. Richtig?

Meine Antwort wäre: Es gibt keine Raumexpansion sondern nur Längenkontraktion.

Sind beide Antworten nicht im Endeffekt identisch? Beides hat zur Folge, dass es in weiter Entfernung mehr Raum gibt.

TimS schrieb:

Das erklärt dann auch wieso sich weit entfernte Körper von einem wegbewegen obwohl sie ruhen.

Das ist doch ein Widerspruch. Entweder etwas bewegt sich von mir weg, d.h. der Abstand wird größer, oder es ruht relativ zu mir, d.h. der Abstand bleibt gleich. Falls sich der Abstand vergrößert, ist die Ursache der Bewegung völlig irrelevant. Ob nun der Zwischenraum expandiert oder das Ding sich nur konstant im Raum bewegt oder durch einen unbekannten Antrieb beschleunigt ist einerlei. Nach meinem Verständnis entspricht die Lorentzkontaktion immer der relativen Geschwindigkeit.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Nach meinem Verständnis entspricht die Lorentzkontaktion immer der relativen Geschwindigkeit.

Da stimme ich dir voll und ganz zu.

Das passt zwar nicht wirklich zur SRT, aber wenn es schon mal dasteht:

TimS schrieb:

Das erklärt dann auch wieso sich weit entfernte Körper von einem wegbewegen obwohl sie ruhen. Gegenwärtig natürlich erklärt durch Dunkle Energie, skalenfaktor etc.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Ob nun der Zwischenraum expandiert oder das Ding sich nur konstant im Raum bewegt oder durch einen unbekannten Antrieb beschleunigt ist einerlei. Nach meinem Verständnis entspricht die Lorentzkontaktion immer der relativen Geschwindigkeit.

Was wäre dann nach deinem Verständnis die Lorentzkontraktion eines relativ zum CMB-Frame ruhenden Beobachters der sich hinter deinem Hubbleradius befindet und eine Rezessionsgeschwindigkeit größer c hat?

Pemrod schrieb:

Was wäre dann nach deinem Verständnis die Lorentzkontraktion eines relativ zum CMB-Frame ruhenden Beobachters der sich hinter deinem Hubbleradius befindet und eine Rezessionsgeschwindigkeit größer c hat?

Wenn Rezessionsgeschwindigkeit kleiner c
Längen sind positiv und werden immer kleiner mit steigendem v

Wenn Rezessionsgeschwindigkeit = c
Länge gleich null

Wenn Rezessionsgeschwindigkeit größer c
Längen sind negativ und werden wieder größer mit steigendem v. Man befindet sich dann sozusagen in einem Anti Raum wo alles aus Antimaterie besteht. Die Zeit läuft hier rückwärts. In dem Zusammenhang macht es nicht mehr wirklich Sinn von einer Rezessionsgeschwindigkeit größer c zu sprechen

TimS schrieb:

Wenn Rezessionsgeschwindigkeit größer c Längen sind negativ und werden wieder größer mit steigendem v. Man befindet sich dann sozusagen in einem Anti Raum wo alles aus Antimaterie besteht. Die Zeit läuft hier rückwärts. In dem Zusammenhang macht es nicht mehr wirklich Sinn von einer Rezessionsgeschwindigkeit größer c zu sprechen

Na das würde sicher komisch aussehen, aber die Leute die sich die Objekte mit mehr als c angesehen haben sagen nichts davon dass die eine negative Länge hätten:

arxiv.org/pdf/astro-ph/0310808.pdf schrieb:

We show that we can observe galaxies that have, and always have had, recession velocities greater than the speed of light.

Pemrod schrieb:

die sich die Objekte mit mehr als c angesehen haben

TimS schrieb:

@Rainer Raisch
Ist denn ein sich relativ zu mir entfernender Planet (nur durch Raumexpansion) nicht längenkontrahiert obwohl unsre Bezugssysteme zueinander nicht ruhen?

Natürlich ist er lorentzkontrahiert, wieso fragst Du denn?

Falls Du allerdings die Expansion des Universums ins Spiel bringen willst, dann ist es einfacher, dies unter dem Aspekt der Rotverschiebung zu betrachten.
Hier kann man tatsächlich Objekte beobachten, die sich immer (während der Lichtlaufzeit) jenseits des Horizonts befanden.

Wenn die Objekte durch die Expansion lorentzkontrahiert und zeitdilatiert würden wäre das besonders lustig wenn man Dinge sieht sie sich schon immer mit Überlichtgeschwindigkeit von uns entfernt haben, denn dann müssten die ja eigentlich in der Zeit zurücklaufen, was dann wieder hieße dass sie sich nicht entfernen sondern nähern würden

Pemrod schrieb:

Was wäre dann nach deinem Verständnis die Lorentzkontraktion eines relativ zum CMB-Frame ruhenden Beobachters der sich hinter deinem Hubbleradius befindet und eine Rezessionsgeschwindigkeit größer c hat?

Sowas kommt in meinem Verständnis nicht vor. Licht von einem Objekt, das sich von uns mit einer Geschwindigkeit größer c entfernt, kann uns doch gar nicht erreichen, wenn c die Höchstgeschwindigkeit ist. Dann ist es auch sinnlos von einer Lorentzkontraktion solcher Objekte zu sprechen.

Oder wie soll das funktionieren? Wenn das Licht längst unterwegs war, bevor die Rezessionsgeschwindigkeit größer c wurde oder wie? Das ist mir alles suspekt. Ich bleibe lieber bei dem, was ich mir noch vorstellen kann... Hubbleradius und mehr gehört nicht dazu. In solchen Größenordnungen ist eh alles gaaaanz anders. Seit der Erfindung von DM und DE ist die Physik ja wieder in den Kinderschuhen und wir wissen nichts... alles dunkel. Statt DM und DE sollte man es Dunklen Verstand nennen. Das wäre ehrlicher . Mir fällt dabei jedenfalls kein Zacken aus der Krone.

Pemrod schrieb:

wenn man Dinge sieht sie sich schon immer mit Überlichtgeschwindigkeit von uns entfernt haben

Steinzeit-Astronom schrieb:

Licht von einem Objekt, das sich von uns mit einer Geschwindigkeit größer c entfernt, kann uns doch gar nicht erreichen, wenn c die Höchstgeschwindigkeit ist.
...
Oder wie soll das funktionieren?

Doch das geht bei der Expansion schon, da sich diese verlangsamt und sich hierdurch (natürlich) der Horizont vergrößert. Dabei kann das Licht den Horizont überschreiten, ohne dass die Quelle dies jemals tut.

Das heißt solange die Expansion konstant ist kann Licht hinter dem Hubbleradius nicht zu uns gelangen. Verlangsamt sich die Expansion jedoch, dann wächst der Hubbleradius und Photonen die vorher noch außerhalb waren sind jetzt innerhalb und können zu uns gelangen. Umgekehrt wenn die Expansion beschleunigt sinkt der Hubbleradius und Photonen die vorher noch innerhalb waren sind jetzt außerhalb und können uns nicht mehr erreichen...

Steinzeit-Astronom schrieb:

Licht von einem Objekt, das sich von uns mit einer Geschwindigkeit größer c entfernt, kann uns doch gar nicht erreichen, wenn c die Höchstgeschwindigkeit ist.

Na wenn du so was sagst nach dem ich dir den allgemein bekannten Satz von Davis & Lineweaver zitiert habe ist das aber schon sehr Dunning Kruger mäßig.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Seit der Erfindung von DM und DE ist die Physik ja wieder in den Kinderschuhen und wir wissen nichts... alles dunkel.

Das ist eine ganz schlechte Ausrede dafür in einem Faden über die SRT etwas zu verzapfen was weder in der SRT noch in der ART gilt.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Dann ist es auch sinnlos von einer Lorentzkontraktion solcher Objekte zu sprechen.

Das ist bei allen mitbewegten Objekten sinnlos, auch bei solchen deren Rezessionsgeschwindigkeit kleiner als c ist. Im Gegenteil sind die mitbewegten Beobachter sogar die einzigen zwischen denen sich unabhängig davon ob ihre Rezessionsgeschwindigkeit größer oder kleiner als c ist eine nicht nur relative sondern sogar gemeinsame Gleichzeitigkeitshyperfläche aufspannen lässt wo sowohl gₜₜ als auch gᵗᵗ 1 sind, da wäre es schon komisch denen eine relative Längenkontraktion und Zeitdilatation zuzuschreiben.

Pemrod schrieb:

Na das würde sicher komisch aussehen, aber die Leute die sich die Objekte mit mehr als c angesehen haben sagen nichts davon dass die eine negative Länge hätten

Wie das Licht aussieht das bei uns ankommt hängt denke ich maßgeblich von der Veränderung des Hubbleradius ab während das Photon zu uns unterwegs ist.
Ist das Photon bereits innerhalb des Hubbleradius führt dessen Vergrößerung zu einer Blauverschiebung des Photons. Der Effekt ist umso stärker ausgeprägt je näher sich das Photon an der Hubble Sphäre befindet.

Ist das Photon jedoch außerhalb des Hubbleradius und dieser vergrößert sich so wird es Rotverschoben solange bis es innerhalb des Hubbleradius ist. Dann wird es Blauverschoben.

Würde sich der Hubbleradius nicht ändern dann wäre ein Photon am Hubbleradius gefangen und unendlich Rotverschoben.
Vergrößert sich der Hubbleradius jedoch dann wird es etwas Blauverschoben und kommt deshalb immer noch sehr Rotverschoben (aber nicht unendlich Rotverschoben) bei uns an.
Macht das Sinn?

Ja so ungefähr aber:

TimS schrieb:

maßgeblich von der Veränderung des Hubbleradius ab während das Photon zu uns unterwegs ist.

Es hängt zwar alles zusammen, jedoch kommt es auf die Dauer der Lichtlaufzeit sowie die absolute Expansion ȧ an.

z = 1/a-1 = Δa/a

TimS schrieb:

Ist das Photon bereits innerhalb des Hubbleradius führt dessen Vergrößerung zu einer Blauverschiebung des Photons. Macht das Sinn?

Ich habe selten einen gröberen Unfug gelesen.