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Relativistische Raktenbewegung 17 Jun 2021 19:04 #86574

Hallo Community

2 Dinge Vorweg
* meine Letzte Mathe/Physik Vorlesung ist schon eine Weile her und ich hatte das nur im Nebenfach (bin Informatiker)
* Die Prämise unter der der folgende Beitrag steht, basiert auf einem System, das am Ende nur in einfacher Genauigkeit rechnen kann

Ich schlag mich sein einiger zeit mit dem Gedanken herum, wie eine Objekt relativistisch beschleunigt, wenn man eine konstante Kraft anlegt. Zur vereinfachung erzeugt das Objekt diese Kraft selber (Schub) und das Universum ist leer (keine anderen kräft) und unbewegt (wie starten bei v0 = 0). Keep thinks simple.

Mein erster versuch das Problem zu lösen, ging über den relativistischen Impuls:
F = dP / dt = [P(v0+dv) - P(v0)] / dt

mit P(v) = m0 * v / L(v) => L(v) = sqrt(1-(v/C)²)

F = [m0 * (v0+dv) / L(v0+dv) - m0*v0/L(v0)] / dt
F = m0/dt +[(v0+dv)/L(v0+dv) - v0/L(v0)]

Hier scheitere ich an meinen eingeschränkten Mathe-Fähigkeiten. Ich bekomme den Term dv/dt nicht so isoliert, dass ich eine Integration starten kann.

Da ich etwas frustriert war und ein Ergebnis haben wollte, habe ich den Holzhammer ausgepackt: den Ansatz als Informatiker/Ingenieur (kein Schreck bekommen, Kaffe schon mal wegstellen!)
P(v) = m0 * v / L(v)
  => hier stumpf dv eingesetzt ergibt
P(dV) = m0 * dv / L(v) 
  => da L(dV) keinen sinn ergibt, lass ich erstmal L(v) einfach in der Formel.
F = dP/dt = m0 / L(v0) * dv/dt 
  mit a = dv/dt
F = m0 / L(v0) * a
  für kleine a und dt sollte man L(v0) als konstant betrachten können. Also
a = F/m0 * L(v0) 
    womit a auch als konstant ist und man die klassischen formeln verwenden kann.

Um ein "Ergebnis" zu bekommen muss man nun numerisch integrieren.
speed = initialSpeed;
deltaTime = 1ms;
for (time = 0; time < maxTime; time+=deltaTime)
{
  speedFactor = speed / Constants.SpeedOfLight;
  lorenz = Sqrt(1 - speedFactor²);
  speed += acceleration * lorenz * deltaTime;
}
Das ganze lieferte auch erstmal "anschauliche" Ergebnisse und passte "vom Algoritmus her" gut zur Umgebung. (Man kann viel vorberechnen, die Methode wird eh im ms-Takt aufgerufen, somit ist deltaTime immer hinreichend klein).

So wirklich zufrieden war ich mit dem Ansatz jedoch nie. Dann wurde das Video von Herr Kroll bei YT released, wo es um die "Relativistische Raktenbewegung" ging. Zu meiner Enttäuschung, setzt er in seinem Beispiel die Beschleunigung als Konstant voraus und setzt den LorenzFaktor einfach in die Geschwindigkeitsgleichung. Dazu macht er ihn "einfach" von t abhängig via L(t) = sqrt(1-(a*t/C)²). Ich war etwas erstaunt, dass man das so einfach machen darf. Das war jedoch der Denkanstoß, den ich brauchte: was der darf, darf ich auch (hoffe ich ... irgendwie)
Ich definiere mir den zeitabhängigen LorenzFaktor wie folgt:
L(t) = sqrt(1-(t/tmax)²)
wobei tmax erstmal unbekannt ist und noch ermittelt werden muss.

daraus foglt a(t):
a(t)=F/m0*L(v0)*L(t) 
  => Den L(v0) braucht es für den Fall, dass das Objekt schon inital beschleunigt ist. 
  => zur Vereinfachung ersetze ich F/m0*L(v0) = a0. Dieser Wert ist konstant und somit kein Problem.

Somit muss man nur noch L(t) integrieren und bekommt folgende Formel für v(t)
v(t) = a0 * tmax/2 * arcsin(t/tmax) + a0 *t/2*L(t) + v0

vmax = C = v(tmax)
C = a0 * tmax/2 * arcsin(tmax/tmax) + a0 *t/2*L(tmax) + v0 
  => arcsin(tmax/tmax) = arcsin(1) = PI/2 
  => L(tmax) = 0
C=a0 * tmax/2 * PI/2 + v0
C-v0=a0*PI*tmax/4
tmax = 4(C-v0)/(a0*PI)
somit ergibt sich final
v(t) = a0 * 4(C-v0)/(2*a0*PI) * arcsin(t/tmax) + a0 *t/2*L(t) + v0
v(t) = 2(C-v0)/PI * arcsin(t/tmax) + a0 *t/2*L(t) + v0

Für eine CPU kann man das ganze noch weiter zusammenfassen/vereinfachen aber das wird unübersichtlich.

Meine abschließende Frage ist nun. Darf ich einfach L(t) und a(t) so definieren wie ich es getan habe? Wenn das kompletter Murks ist, was wäre der korrekte weg?

PS: Mein versuch meine Formel in F=dP/dt mit P(t) = m0*v(t) einzusetzten und zu überprüfen, dass nur F überbleibt, bekomme ich nur mit Tricks und Kniffen so hingeboben, das so etwas ähnliches wie F auskommt (bei mir bleibt ein Faktor 1/2 über).

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Relativistische Raketenbewegung 17 Jun 2021 20:54 #86580

Ich schlag mich sein einiger zeit mit dem Gedanken herum, wie eine Objekt relativistisch beschleunigt, wenn man eine konstante Kraft anlegt.


Wenn das was der Pilot auf seinem Accelerometer abliest konstant sein soll muss die lorentzinvariante Eigenbeschleunigung aka Proper Acceleration a=F/m konstant sein.

Dazu macht er ihn "einfach" von t abhängig


Man kann ihn auch von τ abhängig machen, aber mit t ist es eleganter und nachvollziehbarer denn F=m a=dp/dt. a t ergibt bei Newton sowohl die Geschwindigkeit v als auch den spezifischen Impuls p/m, während es bei Einstein nicht die Geschwindigkeit sondern nur den spezifischen Impuls ergibt. 1/√(1-v²/c²)=√(1+p²/m²/c²)=γ, p/m=v γ; der relativistische Impuls p steigt bei konstantem a proportional zur Koordinatenzeit t.

Zur vereinfachung erzeugt das Objekt diese Kraft selber (wie starten bei v0 = 0). Keep thinks simple.


Bei In[6] nutze ich die Erkenntnis aus dem letzten Absatz und definiere die Geschwindigkeit v. Dann gebe ich für die kinematische Zeitdilatation den Lorentzfaktor ein und integriere bei In[9] und In[10] die Eigenzeit τ nach t und bei In[9] und In[14] die Geschwindigkeit nach der Zeit um die zurückgelegte Strecke x zu erhalten. Wenn a nicht konstant ist muss man eine Funktion von t draus machen (sofern sie als Funktion von τ vorliegt rechnet man sie um) und das Produkt a t durch das Integral ∫₀ᵗ a dt ersetzen. Auf den Plots bei Out[16] ist die horizontale Achse die Koordinatenzeit t:



Die Eigenbeschleunigung habe ich trotz dem sie konstant ist zur Kontrolle ebenfalls als Funktion geplottet. Man kann auch t nach τ integrieren statt τ nach t, mit einem Klick aufs obere Bild tun sich 3 Wege zum Ziel auf. Analytische Lösung für τ und x:



Wenn v₀=0 kürzt es sich noch weiter und stimmt auch mit dem Lösungsheft überein, siehe z.B. hier bei (2) und (3).
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Letzte Änderung: von Pemrod.

Relativistische Raktenbewegung 17 Jun 2021 22:09 #86583

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Relativistische Raktenbewegung

Ich habe Deinen Post nur überflogen, aber die Rechnung wurde erst vor ein paar Tagen von Peter Kroll sehr anschaulich und bündig vorgerechnet, allerdings nur eine Näherung. (43 Min)

www.uwudl.de/component/k2/relativistisch...ung-peter-kroll.html

In der Formel von Peter Kroll taucht zuletzt der Parametr v° auf, der die Ausströmgeschwindigkeit ist und für ein Photonentriebwerk mit v°=c anzusetzen ist. Die Formel versagt dann aber für v°=0 und liefert v=c....weil sich eine unendlich lang dauernde Beschleunigung ergeben würde.
v = c(1-(M/M°)^(2v°/c)/(1+(M/M°)^(2v°/c)
v = a·τ/²(1+a²τ²/c²)

Die exakte Formel (Ziolkowski) lautet (Photonentriebwerk)
v = ln(M°/M) = ln(1/(1-ΔM/M°)) = tanh(a·τ/c)
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Relativistische Raktenbewegung 18 Jun 2021 05:47 #86592

Relativistische Raktenbewegung

Ich habe Deinen Post nur überflogen, aber die Rechnung wurde erst vor ein paar Tagen von Peter Kroll sehr anschaulich und bündig vorgerechnet, allerdings nur eine Näherung. (43 Min)

Das Video hab ich sogar in meinem Post referenziert, deswegen poste ich hier, weil ich eine Grundprämisse nicht verstehe.

@Pemrod erstmal danke für deine ausführliche Antwort

Wenn das was der Pilot auf seinem Accelerometer abliest konstant sein soll muss die Proper Acceleration a konstant sein.

Meine Frage ist ja, sollte die "Proper acceleration" nicht runter gehen? Wenn ich vom relativistischen Impuls bzw der relativistischen Kraft ausgehe und der Schub den eine Rakete erzeugt konstant, ist müsste der Term doch sinken? (Den Massverlust durch verbrennen von Treibstoff mal kurz bei Seite gelassen)

Bei steigender V0 geht bei der "relativistischen Kraft" ja zunehmend alles für den Term m0/γ(v) drauf? Sollte die resultierende Beschleunigung nicht gegen null gehen? Also bei V0 = C ist es egel welche Kraft man ansetzt, das Objekt wird nicht mehr beschleunigt weil m0/γ(v) = unendlich?

Kannst du mir erläutern wo der der 1/√(1-v²/c²)=√(1+p²/m²/c²)=γ herkommt und wie du damit auf v(t) in ln(6) kommst?

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Relativistische Raketenbewegung 18 Jun 2021 06:04 #86593

Meine Frage ist ja, sollte die "Proper acceleration" nicht runter gehen?


Wenn die Leistung (nicht Kraft) die ein ruhender Beobachter investiert um den anderen zu beschleunigen konstant bleibt dann wird der Accelerometer im beschleunigten System eine sinkende Beschleunigung anzeigen, aber nachdem du ja gesagt hast

Zur vereinfachung erzeugt das Objekt diese Kraft selber


passt das schon so wie es ist. Wenn du willst dass der Rakete die Kraft ausgeht gilt

Wenn a nicht konstant ist muss man eine Funktion von t draus machen (sofern sie als Funktion von τ vorliegt rechnet man sie um) und das Produkt a t durch das Integral ∫₀ᵗ a dt ersetzen.


Die Umrechnug von a als eine Funktion von t sofern es als Funktion von τ vorliegt geht über das Integral des Gammafaktors.

Wenn ich vom relativistischen Impuls bzw der relativistischen Kraft ausgehe und der Schub den eine Rakete erzeugt konstant, ist müsste der Term doch sinken? (Den Massverlust durch verbrennen von Treibstoff mal kurz bei Seite gelassen)


Nein, die Effizienz einer Rakete steigt bei steigender Geschwindigkeit, siehe z.B. hier.

Kannst du mir erläutern wo der der 1/√(1-v²/c²)=√(1+p²/m²/c²)=γ herkommt


Das ist mir schon vor langer Zeit beim Umstellen von Formeln aufgefallen, aber du kannst es mit dem bekannten relativistischen Impuls p=m v γ leicht proberechnen dass es wirklich so ist.

und wie du damit auf v(t) in ln(6) kommst?


Wenn der spezifische Impuls einfach p/m=a t ist brauche ich nur die bekannte Definition p/m=v γ hernehmen und kriege a t=v γ, also v=a t/γ (samt dem Term für den Startimpuls wo der bereits vorhandene und der neu hinzugewonnene Impuls addiert werden falls v0≠0).

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Relativistische Raktenbewegung 18 Jun 2021 07:35 #86595

Meine Frage ist ja, sollte die "Proper acceleration" nicht runter gehen?


Wenn die Kraft die ein ruhender Beobachter investiert um den anderen zu beschleunigen konstant bleibt dann wird der Accelerometer im beschleunigten System eine sinkende Beschleunigung anzeigen, aber nachdem du ja gesagt hast

Zur vereinfachung erzeugt das Objekt diese Kraft selber


passt das schon so wie es ist.

Wenn ich vom relativistischen Impuls bzw der relativistischen Kraft ausgehe und der Schub den eine Rakete erzeugt konstant, ist müsste der Term doch sinken? (Den Massverlust durch verbrennen von Treibstoff mal kurz bei Seite gelassen)


Nein, die Effizienz einer Rakete steigt bei steigender Geschwindigkeit, siehe z.B. hier.


Verzeih mir die Blöden nachfragen, aber ich hab noch einen Knoten im Kopf. Dass eine Rakete effizienter wird, jeh länger sie brennt, da die Masse ja runter geht (verbrennen von Treibstoff).

Gehen wir ins extrem: Meine Rakete ist schon bei v0 = (nahe) C (wie auch immer sie ein Trägersystem da hin bekommen hat). Bei v0=0 würde die Rakete einen schub von einem 1N erzeugen (bei 1KG startmasse ergibt das a= 1m/s). Deiner Aussage nach würde bei v0 = (nahe) C (die Rakete startet ihren Antrieb erst jetzt) das accelerometer auch 1m/s anzeigen?

Kannst du mir erläutern wo der der 1/√(1-v²/c²)=√(1+p²/m²/c²)=γ herkommt


Das ist mir schon vor langer Zeit beim Umstellen von Formeln aufgefallen, aber du kannst es mit dem bekannten relativistischen Impuls p=mvγ leicht proberechnen dass es wirklich so ist.


Hab ich versucht, ich bekomme die Proberechung nicht aufgelöst

und wie du damit auf v(t) in ln(6) kommst?


Wenn der spezifische Impuls einfach p/m=at ist brauche ich nur die bekannte Definition p/m=vγ hernehmen und kriege at=vγ, also ist v=at/γ (samt dem Term für den Startimpuls falls v0≠0).


OK den Sprung habe ich verstanden

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Relativistische Raketenbewegung 18 Jun 2021 07:47 #86596

Wenn die Kraft die ein ruhender Beobachter investiert um den anderen zu beschleunigen konstant bleibt dann wird der Accelerometer im beschleunigten System eine sinkende Beschleunigung anzeigen


Keine Ahnung wie mir das passiert ist, ich meinte natürlich die Leistung, bei der Kraft ist Actio bekanntlich gleich Reactio.

Nein, die Effizienz einer Rakete steigt bei steigender Geschwindigkeit

Dass eine Rakete effizienter wird, jeh länger sie brennt, da die Masse ja runter geht (verbrennen von Treibstoff).


Das ist ein anderes Kapitel, wenn einfach nur weniger Masse bewegt werden muss steigt deswegen nicht die Effizienz. Hier reden wir von der geschwindigkeitsabhängigen Effizienz, das ist ein alter Hut. Da brauchst du nur nach rocket efficiency velocity googeln, da wirst du sofort fündig.

Kannst du mir erläutern wo der der 1/√(1-v²/c²)=√(1+p²/m²/c²)=γ herkommt

Das ist mir schon vor langer Zeit beim Umstellen von Formeln aufgefallen, aber du kannst es mit dem bekannten relativistischen Impuls p=mvγ leicht proberechnen dass es wirklich so ist.

Hab ich versucht, ich bekomme die Proberechung nicht aufgelöst


Nichts leichter als das:



Du musst einfach nur irgendeinen beliebigen Wert für v einsetzen und sehen dass auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl rauskommt.

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Letzte Änderung: von Pemrod.

Relativistische Raktenbewegung 18 Jun 2021 08:16 #86597

Gehen wir ins extrem: Meine Rakete ist schon bei v0 = (nahe) C (wie auch immer sie ein Trägersystem da hin bekommen hat). Bei v0=0 würde die Rakete einen schub von einem 1N erzeugen (bei 1KG startmasse ergibt das a= 1m/s). Deiner Aussage nach würde bei v0 = (nahe) C (die Rakete startet ihren Antrieb erst jetzt) das accelerometer auch 1m/s anzeigen?


Ja. Die Eigenbeschleunigung der Rakete bleibt in diesem Fall immer konstant 1 m/s². Wie schnell sich die Rakete bezogen aufandere Bezugssysteme bewegt (= Relativgeschwindigkeit) ist dabei nicht relevant
The truth is often what we make of it; you heard what you wanted to hear, believed what you wanted to believe.

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Letzte Änderung: von Arrakai.

Relativistische Raketenbewegung 18 Jun 2021 08:19 #86598

Gehen wir ins extrem: Meine Rakete ist schon bei v0 = (nahe) C (wie auch immer sie ein Trägersystem da hin bekommen hat). Bei v0=0 würde die Rakete einen schub von einem 1N erzeugen (bei 1KG startmasse ergibt das a= 1m/s). Deiner Aussage nach würde bei v0 = (nahe) C (die Rakete startet ihren Antrieb erst jetzt) das accelerometer auch 1m/s anzeigen?


In ihrem eigenen System ist die Rakete in Ruhe, für die macht es keinen Unterschied ob sie im System des unbeschleunigten Beobachters bewegt ist. Wenn sie nur weil sie relativ zu irgendwem anderen bewegt ist weniger auf ihrem Accelerometer ablesen würde als der Antrieb hergibt wäre Geschwindigkeit nicht mehr relativ.

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Relativistische Raktenbewegung 18 Jun 2021 08:28 #86599

Deiner Aussage nach würde bei v0 = (nahe) C (die Rakete startet ihren Antrieb erst jetzt) das accelerometer auch 1m/s anzeigen?

Das ist leicht zu erklären. Das Accelerometer zeigt den Zuwachs der Geschwindigkeit im Bezugssystem der Rakete von "jetzt" auf "gleich". Dabei ist unerheblich welche Geschwindigkeit die Rakete bezüglich des Startplatzes hat.
Die Geschwindigkeit "jetzt" ist immer =0 anzusetzen (die Geschwindigkeit der Rakete relativ zu sich selbst ist 0); die Geschwindigkeit "gleich" ist, wenn die von der Rakete selbst erzeugte Kraft bezüglich Rakete konstant ist ebenfalls konstant (im Beispiel 1m/s). Und das Spiel geht von vorne los: aus "gleich" wird "jetzt" und es gibt ein neues "gleich" = jetzt+dt.
assume good faith

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Relativistische Raktenbewegung 18 Jun 2021 08:37 #86600

Nichts leichter als das:



Du musst einfach nur irgendeinen beliebigen Wert für v einsetzen und sehen dass auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl rauskommt.


Danke für die Hilfe, hab meinen Rechenfehler gefunden...

Ja. Die Eigenbeschleunigung der Rakete bleibt in diesem Fall immer konstant 1 m/s. Wie schnell sich die Rakete bezogen aufandere Bezugssysteme bewegt (= Relativgeschwindigkeit) ist dabei nicht relevant

In ihrem eigenen System ist die Rakete in Ruhe, für die macht es keinen Unterschied ob sie im System des unbeschleunigten Beobachters bewegt ist. Wenn sie nur weil sie relativ zu irgendwem anderen bewegt ist weniger auf ihrem Accelerometer ablesen würde als der Antrieb hergibt wäre Geschwindigkeit nicht mehr relativ.


ok hier liegt mein Denkfehler/Verständnisproblem....

Umkehrschluss (zur Kontrolle): Der Beobachter in einer Rakete die schon V0 = C besitzt, "beschleunigt" mit 1m/s². Dass Accelerometer zeigt das konstant an. Der Beobachter in der Rakete stellt aber fest, dass er sich von seiner Startplattform (die auch v0 = C) hat nicht entfernt. Es spielt an diesem punkt auch keine Rolle mehr wie groß a ist (solange es positiv ist)

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Letzte Änderung: von raptor2101.

Relativistische Raktenbewegung 18 Jun 2021 08:50 #86601

ok hier liegt mein Denkfehler/Verständnisproblem....

Umkehrschluss (zur Kontrolle): Der Beobachter in einer Rakete die schon V0 = C besitzt, "beschleunigt" mit 1m/s². Dass Accelerometer zeigt das konstant an. Der Beobachter in der Rakete stellt aber fest, dass er sich von seiner Startplattform (die auch v0 = C) hat nicht entfernt. Es spielt an diesem punkt auch keine Rolle mehr wie groß a ist (solange es positiv ist)


Solange die Rakete mit 1 m/s² beschleunigt entfernt sie sich aus Sicht des Beobachters in der Rakete auch weiter von ihrer (selbst ja unbeschleunigten) Startplattform. Lediglich die Relativgeschwindigkeit zählt, und die kann nicht >= c werden. Daher muss man bei relativistischen Geschwindigkeiten dann die relativistische Geschwindigkeitsaddition nutzen.
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Relativistische Raketenbewegung 18 Jun 2021 09:01 #86602

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Kannst du mir erläutern wo der der 1/√(1-v²/c²)=√(1+p²/m²/c²)=γ herkommt

γ² = 1+β²γ² = 1+β²/(1-β²) = ((1-β²)+β²)/(1-β²)
das kannst Du leicht nachrechnen
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Relativistische Raktenbewegung 18 Jun 2021 10:21 #86605

Solange die Rakete mit 1 m/s² beschleunigt entfernt sie sich aus Sicht des Beobachters in der Rakete auch weiter von ihrer (selbst ja unbeschleunigten) Startplattform. Lediglich die Relativgeschwindigkeit zählt, und die kann nicht >= c werden. Daher muss man bei relativistischen Geschwindigkeiten dann die relativistische Geschwindigkeitsaddition nutzen.


OK jetzt muss ich erstmal meinen Knoten im Kopf lösen und schauen wie sich das abgebildet bekomme...

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Relativistische Raketenbewegung 18 Jun 2021 23:19 #86648

Wenn das was der Pilot auf seinem Accelerometer abliest konstant sein soll muss die Proper Acceleration a konstant sein.


Auch interessant ist was wäre wenn nicht der Beschleunigte sondern der Ruhende eine konstante Beschleunigung am Beschleunigten messen würde. Hier ist nicht a=dp/dt sondern ẍ=d²x/dt² konstant α=ẍ=1e6 m/sek². Bei t=300 sek Koordinatenzeit und τ=235 sek Eigenzeit hätte der Beschleunigte die Lichtgeschwindigkeit erreicht und sein Impuls wäre unendlich, dann wäre abrupt Schluss mit lustig:



Die Umrechnung der Koordinatenbeschleuigung ẍ=d²x/dt²=dv/dt in die gefühlte Kraft F=ma lautet in Minkowskikoordinaten a=ẍ γ³. Als nächstes könnte man noch berechnen wie die Kurven am Plot aussähen wenn man eine konstante Leistung aufwenden würde um den Körper zu beschleunigen. Die analytischen Lösungen für τ und x als Funktionen von t lauten

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Relativistische Raketenbewegung 18 Jun 2021 23:37 #86650

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hätte der Beschleunigte die Lichtgeschwindigkeit erreicht und sein Impuls wäre unendlich, dann wäre abrupt Schluss mit lustig:

Der Hubble Flow beschleunigt die Beschleunigung sogar und hört damit auch nicht auf, wenn v>c.
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Relativistische Raketenbewegung 19 Jun 2021 04:21 #86653

Der Hubble Flow beschleunigt die Beschleunigung sogar und hört damit auch nicht auf, wenn v>c.


Das wäre eine andere Aufgabenstellung, hier geht es um eine kinematische Beschleunigung wo auch jemand an dem der Beschleunigte vorbeifliegt eine hohe Geschwindigkeit relativ zu ihm misst und nicht um das mitgetragen werden im expandierenden Raum wo er niemanden überholt. Außerdem kommt noch erschwerend hinzu dass der Impuls dann invers proportional zum Skalenfaktor ist, die lokale Geschwindigkeit wird dann also kleiner und nicht größer. Deshalb lieber wieder zurück zum Thema:

Als nächstes könnte man noch berechnen wie die Kurven am Plot aussähen wenn man eine konstante Leistung aufwenden würde um den Körper zu beschleunigen.


So sähe es aus wenn konstant 10¹⁴ Watt pro Kilo Ruhemasse in den Beschleunigten investiert würde:



Die Funktion für v ergibt sich bei konstanter Leistung aus der Forderung dass die kinetische Energie proportional zu t ist.

\( \rm \gamma_0+ W \ /c^2=\gamma \)

Die obige Gleichung die dafür steht dass die im Falle einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ bereits vorhandene (spezifische) relativistische Energie γ₀ c² plus der zugeführten Arbeit W (pro Kilo) auf der linken Seite gleich der aktuellen Energie rechts ist wird mit W=L t für Arbeit gleich Leistung mal Zeit nach v als Funktion von t aufgelöst:

\( \rm v = c \ \surd \{ (-1 + W \ /c^2 + \gamma_0) (1 + W \ /c^2 + \gamma_0) \} \div ( W \ /c^2 + \gamma_0 ) \)

Daraus ergeben sich die analytischen Lösungen für τ und x, Log steht für den Logarithmus Naturalis zur Basis e:



Den Output für x kann man vielleicht noch eleganter kürzen, Mathematica findet nicht immer die kürzeste Form aber mir macht das manuelle Kürzen meterlanger Formeln keinen Spaß deshalb poste ich es wie ich es kriege.

Zusammenfassend hatten wir bei #86580 den Fall mit konstanter Kraft wo der Impuls linear zunimmt, bei #86648 die konstante Koordinatenbeschleunigung wo die Geschwindigkeit linear zunimmt und hier bei #86653 die konstante Leistung wo die kinetische Energie linear zunimmt.

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Relativistische Raktenbewegung 20 Jun 2021 12:20 #86723

der relativistische Impuls p steigt bei konstantem a proportional zur Koordinatenzeit t.


Ich ersetze dann a durch g und raus kommt Folgendes.

$$\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=g\cdot t$$

Teilt man beide Seiten durch c, bildet das Quadrat und zählt 1 dazu, erhält man 2b. Aufgelöst nach v ergibt 2a. Davon die Stammfunktion 1a und die Ableitung 3a.

1b und 3b kriegt man mit Hilfe von 2b.

$$(1a) s=\frac{c^2}{g}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{g^2\cdot t^2}{c^2}}-1\right)\qquad (1b) s=\frac{c^2}{g}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)$$


$$(2a)v=\frac{g\cdot t}{\sqrt{1+\frac{g^2\cdot t^2}{c^2}}} \qquad (2b)\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}=1+\frac{g^2\cdot t^2}{c^2}$$


$$(3a) a=\frac{g}{\left(1+\frac{g^2\cdot t^2}{c^2}\right)^{1.5}}\qquad (3b) a=g\cdot\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{1.5}$$

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Relativistische Raketenbewegung 21 Jun 2021 00:38 #86785

Was mir gerade aufgefallen ist ist dass die Rechnung zur konstanten Eigenbeschleunigung und auch die zur Koordinatenbeschleunigung sowohl positive als auch negative v₀ vertragen und gegebenenfalls auch einen nahtlosen Umkehrpunkt liefern, die zur konstanten Leistung aufgrund dessen dass ich sie nach der Energie in die v₀ nur quadratisch einfließt zusammengebastelt habe aber nur positive.

In dem Fall ist es aber auch kein Problem, wenn man eine negative v₀ hat kann man v₀=0 setzen und schauen bei welchem Zeitpunkt das Positiv der negativen Anfangsgeschwindigkeit erreicht wird, diesen Teil des Plots kann man dann einfach kopieren und horizontal und vertikal gespiegelt an den Anfang drantackern wobei die Achsenwerte mit -1 multipliziert werden, das kann man machen da die Sache zeitsymmetrisch ist. Der Zeitpunkt t=0 ist dann immer der Umkehrpunkt wo v=0.

Um nochmal auf die Geschichte mit der steigenden Effizienz bei steigender Geschwindigkeit zurückzukommen, im letzten Beispiel mit konstanter Leistung sieht man im Plot links unten auch dass die eingesetzte Kraft bei hoher Geschwindigkeit viel effizienter in Leistung umgewandelt wird, oder im Umkehrschluss dass für eine gleichbleibende Leistung eine sinkende Eigenbeschleunigung bzw. Kraft ausreicht, was eine Rakete so lange sie konstante Kraft produziert bei steigender Geschwindigkeit effizienter macht da die gleichbleibenden Newton dann steigenden Watt entsprechen.

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Relativistische Raktenbewegung 21 Jun 2021 11:42 #86800

S sei das Bezugsystem Sonne und S' das der Rakete. Anstatt g hätte ich auch a' nehmen können. Ich fand jedoch g passender. Das Leben im Raumschiff soll sich doch möglichst unter Erdbedingungen vollziehen und da ist man ja auch gewohnt, die Fallbeschleunigung mit g zu bezeichnen. Wie lautet nun der Zusammenhang zwischen t und t'. Zunächst mal findet man mit Hilfe von (2b) folgenden Zusammenhang.
$$\frac{dt'}{dt}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{g\cdot t}{c}\right)^2}}$$
und durch Integrieren
$$t'=\frac{c}{g}\cdot\sinh^{-1}\left(\frac{g\cdot t}{c}\right)\rightarrow t=\frac{c}{g}\cdot \sinh\left(\frac{g\cdot t'}{c}\right)$$

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Letzte Änderung: von julian apostata. Grund: Hyperbelsinus korrigiert

Relativistische Raktenbewegung 21 Jun 2021 15:54 #86824

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g sollte man nicht von t trennen
Ansonsten sollte g in g' verwandelt werden, wenn ich mich nicht irre mittels γ³

In der ersten Formel #86800 steht (g·t/g)² statt (g·t/c)²
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

Relativistische Raktenbewegung 22 Jun 2021 13:36 #86861

Den Flüchtigkeitsfehler hab ich inzwischen korrigiert.

g sollte man nicht von t trennen

????? Wo genau hab ich denn die Beiden getrennt?

Ansonsten sollte g in g' verwandelt werden, wenn ich mich nicht irre mittels γ³


Gut dann schaun'mer doch mal (3a) und 3(b) an. g ist die Beschleunigung, welche die Raumschiffpassagiere mittels einer Waage registrieren. (1 Kilogramm Masse wiegt also 9.81 Newton).

Die Beschleunigung a wird im System Sonne mittels des Geschwindigkeitszuwachs gemessen. Und während g gleicht bleibt, wird a immer kleiner.

Na gut, aber wie würdest du dann (3a) und (3b) formulieren?

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Relativistische Raketenbewegung 22 Jun 2021 13:48 #86863

g sollte man nicht von t trennen

Die Beschleunigung a wird im System Sonne mittels des Geschwindigkeitszuwachs gemessen


Dann verwendest du a für dv/dt=d²x/dt. Da man die Buchstaben der Variablen so definieren kann wie man will kann man natürlich auch für das was oben a=F/m=dp/dt ist g schreiben und für das was oben α=ẍ=d²x/dt² ist a, aber ob es viel bringt ist eine andere Frage.

Der Threadersteller hat in seinem Eröffnungsbeitrag a=F/m definiert, und da a auch in vielen Quellen als die Eigenbeschleunigung aka Proper Acceleration definiert ist und es sich eingebürgert hat dass das was bei Newton dv/dt ist bei Einstein zu dp/dt wird (und g normalerweise für den speziellen Wert von g=9.81 m/sek² steht, so dass man bei F/m=981 m/sek² nicht sagen würde "g=100 g" sondern "a=100 g"), sehe ich jetzt keinen Sinn darin nachträglich die Bedeutung der Variablen zu vertauschen.

Dass du g statt a schreibst kann man noch verstehen da du dein Beispiel auf den Spezialfall dass der Pilot exakt 1 g spürt und auf seinem Accelerometer abliest beschränkst, aber für α würde nicht einfach a schreiben denn das wird alle die die Beiträge davor gelesen haben und die bekannte Definition des Fadeneröffners a=F/m im Kopf haben nur unnötig verwirren.

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Letzte Änderung: von Pemrod.

Relativistische Raktenbewegung 22 Jun 2021 14:37 #86866

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Na gut, aber wie würdest du dann (3a) und (3b) formulieren?

Nein nicht 3a und 3b sondern g·t' in #86800
Ich habe jetzt nichts davon nachgerechnet, nur hier fällt die Diskrepanz auf, entweder g·t oder g'·t'
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Relativistische Raketenbewegung 22 Jun 2021 15:59 #86872

Ich habe jetzt nichts davon nachgerechnet


Ich habe es einmal nachgerechnet und mit dem was mir in Beitrag #86580 bei den analytischen Lösungen rauskommt wenn ich v₀=0, γ₀=1 setze verglichen, irgendwas scheint mit Apostatas Formel

\( t´=\frac{c}{g}\cdot\sin^{-1}\left(\frac{g\cdot t}{c}\right) \)


nicht zu stimmen:

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Relativistische Raktenbewegung 22 Jun 2021 16:06 #86874

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Da #86800 fehlt ganz sicher das hyperbolicus

Es ist aber anders als Deine Lösung
Vorsicht, ich schreibe vereinfacht ohne Wurzelzeichen ³x=³√x , wenig Klammern 1/4r²π=1/(4r²π) , statt Vektorpfeil v¹=v⃗ Funktionen bzw Argumente kennzeichne ich mit einem Punkt f.(x)=f(x)

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Relativistische Raketenbewegung 22 Jun 2021 16:19 #86875

Da #86800 fehlt ganz sicher das hyperbolicus


Stimmt, mit ArcSinh statt ArcSin sieht es schon besser aus.

Es ist aber anders als Deine Lösung


Mit Hyperbolicus wäre es abgesehen von den anderen Buchstaben äquivalent zu meiner Formel mit v₀=0. Das ist zwar nicht auf den ersten Blick ersichtlich wenn man die Definitionen der ganzen trigonometrischen Funktionen nicht auswendig weiß, aber

\( ArcTanh \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=ArcSinh \left(\frac{x}{y}\right) \)

also wenn man seine (korrigierte) Funktion durch jene die mir in Beitrag #86872 bei Out[2] herauskommt dividiert kommt immer 1 raus.
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Relativistische Raktenbewegung 22 Jun 2021 16:47 #86876

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ich hatte es mit WA probiert und ein anderes Ergebnis bekommen. ... ah das ist ja ein Plus ....
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Relativistische Raketenbewegung 22 Jun 2021 17:05 #86878

ah das ist ja ein Plus ....


Wo ist ein +, weder in seiner noch in meiner Formel für τ kommt mit v₀=0 ein + vor

ich hatte es mit WA probiert und ein anderes Ergebnis bekommen.


Wenn man mit Wolfram eine allgemeine Lösung sucht wo v₀ nicht 0 sein muss findet es die Lösung mit dem ArcTanh und behält den dann auch bei wenn man nachträglich v₀=0 setzt, aber wenn man schon v₀=0 setzt bevor man nach τ auflöst findet es auch die ArcSinh Lösung:



also wenn man a durch g ersetzt das Gleiche wie wenn man bei Julian Apostatas Formel

\( t'=\frac{c}{g}\cdot\sin^{-1}\left(\frac{g\cdot t}{c}\right) \)


den ArcSin mit einem ArcSinh korrigiert.

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Relativistische Raktenbewegung 22 Jun 2021 18:30 #86880

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Wo ist ein +, weder in seiner noch in meiner Formel für τ kommt mit v₀=0 ein + vor

hier

asinh(10x) - atanh(10x/sqrt(1 + 10²x²))
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