THEMA:

In der Folge 4 (Galilei) wurde das Konzept der Linearisierung anhand der Sinusfunktion vorgestellt und in Folge 14 (E = mc²) angewandt. Ich habe hierzu einige Fragen.

1. Linearisierung kann ich dann in Betracht ziehen, wenn die zu vereinfachende Funktion differenzierbar ist, was relativ leicht durch das Auftreten von Quadraten in der Funktionsvorschrift (z.B. beim Sinus durch die mathematisch exakte Darstellung mittels Pythagoras gegeben) erkennen kann. Richtig?

2. Linearisierung ist nicht anwendbar, wenn eine physikalische Einheit abgeleitet würde - ich darf nicht einfach den Betrag linearisieren und die Einheit "mit hinüber retten". Richtig?

3. Wenn ich Linearisierung anwenden möchte, reicht es, mir zu überlegen, wie stark sich der Funktionswert bei sehr kleinen Änderungen des Arguments in der Nähe von f(0) ändert. Richtig? Oder muss ich weitere Prüfungen vornehmen? (Hier geht es noch nicht um Zweckmäßigkeit!)

4. Dass der Lorentzfaktor für v = c nicht definiert ist, ist unerheblich, da ich nur v << c betrachten möchte. Richtig?

5. Ob es zweckmäßig ist, zu linearisieren, muss ich selbst erkennen lernen. Richtig?

Alles ziemlich richtig, wobei ich nichts zumr Mathemaitk (Differenzierbarkeit etc) sagen kann. Dies ist in der Physik selten ein Problem, außer bei Singularitäten.

2) Einheiten
Wenn Du eine Formel hast, die sinnvoll ist, dann kannst Du sie auch linearisieren. Dabei müssen natürlich die gleichen Einheiten herauskommen.
Wenn man dann die Linearisierung ableiten will, werden die Diskrepanzen aber schnell sehr groß, das hat aber nichts mit den Einheiten zu tun.

5) sinnvoll
Naja es ist immer sinnvoll, wenn die Abweichung gering ist. Man kann natürlich auch trotz geringer Abweichung so linearisieren, dass gar nichts mehr von dem herauskommt, was man sucht. Das merkt man dann spätestens am sinnlosen Ergebnis.

Danke, ra-raisch! Ich fühle mich auf dem richtigen Weg, aber - - - vielleicht habe ich 2. nicht präzise genug formuliert, daher muss ich nachhaken.

Ich bleibe mal bei den Inhalten der Videoreihe "Aristoteles - Stringtheorie": in Folge 4 wird die Sinusfunktion, in Folge 14 der Lorentzfaktor linearisiert. Beides sind reine Zahlenwerte: Sinus als Verhältnis zweier Längen, Lorentz als Verhältnis zweier Quadrate der Geschwindigkeit. Da ich den Ausdruck als Ganzes linearisiere, sind die Einheiten also vor der Linearisierung herausgekürzt.

Es gibt doch aber (Proportionalitäts-)Faktoren, die eine Einheit haben - die Gravitationskonstante, die Elementarladung etc.

Nun habe ich zwar noch keine Folge gesehen, in der "etwas mit Einheit" linearisiert wird - vielleicht will mein Kopf hier nur eine Bestätigung für etwas ganz Triviales, das ich so ausdrücken möchte:

2. Bis ich nicht genau weiss, was ich mache, versuche ich im Rahmen der Physik besser nicht, etwas zu linearisieren, was eine Einheit hat, die ich nicht schon wegkürzen konnte.

(Die Alternative wäre doch "Man darf sich die Berechnung des Betrages durch Linearisierung vereinfachen und die ggf. vorhandene Einheit beibehalten." Ich bin noch lange nicht durch mit den Videos und weiss nicht, ob so etwas überhaupt irgendwo vorkommt. Ich möchte einfach keine Unklarkeit mitschleppen! Formeln linearisieren oder eine Linearisierung ableiten, sowas will ich erst mal noch nicht - ich möchte einfach über Folge 14 hinaus weiter verstehen, mit- und nachrechnen können...)

Wie gesagt, die Einheiten spielen keine Rolle, solange die nicht veändert werden.

Schreib doch mal das Beispiel an, damit ich sehe, worum es geht.

Man darf aus jeder Formel die Einheiten herausziehen und ans Ende schreiben. zB m = μ·1kg. Wenn man sich nicht die Mühe macht, die Variablen anders zu nennen, darf man nicht vergessen, dass sie nicht mehr die Originale sind.

Früher war es üblich, mit sogenannten Zahlenwertgleichungen zu rechnen, also musste man gelegentlich jede Vaiable in anderen Maßeinheiten einsetzen. Besser sind die zugeschittenen Gleichungen, bei denen die jeweiligen Maße wenigstens noch angeschrieben werden.
zB v/(km/Std) = s/(km) : t/(Std) = 3,6 * s/(m) : t/(s)

"Daher" kommt zB die Einheit Parallaxensekunde (Parsec)
pc = 648000AE/π = 3600AE/deg = par(3600*180*D)/π = 3,08567758149000e+16 m
oder bei der Hubblekonstanten
H° = 67,4 km/sMpc = 67,4h = Hh·c/2997924580pc
Hh = 0,674
h = 1/1000pc

Ich glaube, ich kann meine Frage inzwischen beantworten.

Die allgemeine Linearisierungsvorschrift, wie sie in Folge 14 bei 2:02 an der Tafel steht - f(x) ≈ f(0) + f'(0) * x - ist eine Summe.

Falls f(x) eine Einheit hätte - sagen wir mal "irgendetwas pro Sekunde" - dann ergäbe sich bei Ableitung nach der Zeit "irgendetwas pro Sekunde zum Quadrat".

Ich kann aber keine Summe von "irgendwas pro Sekunde" und "irgendwas pro Sekunde zum Quadrat" / "irgendwas pro Sekunde zum Quadrat multipliziert mit x" bilden!

Somit müsste ich bei einer Linearisierung immer die Einheit der eigentlichen Funktion verwenden, und die kursiv geschriebene Alternative im post #71165 wäre richtig.

Auch wenn schon darauf geantwortet wurde, hier mein Senf dazu:

Anke schrieb:

In der Folge 4 (Galilei) wurde das Konzept der Linearisierung anhand der Sinusfunktion vorgestellt und in Folge 14 (E = mc²) angewandt. Ich habe hierzu einige Fragen.

1. Linearisierung kann ich dann in Betracht ziehen, wenn die zu vereinfachende Funktion differenzierbar ist, was relativ leicht durch das Auftreten von Quadraten in der Funktionsvorschrift (z.B. beim Sinus durch die mathematisch exakte Darstellung mittels Pythagoras gegeben) erkennen kann. Richtig?

Zum ersten Teil: Richtig. Dass mein eine Funktion linearisieren kann, ist sogar die Definition von Differenzierbarkeit: Wenn man nahe genug rangeht, sieht jede (differenzierbare) Funktion aus wie eine Gerade.
Beim zweiten Teil weiß ich nicht genau, was du meinst. Dass man Quadrate hat, hat erstmal nichts damit zu tun, ob eine Funktion differenzierbar ist. Was stimmt ist, dass jedes Polynom ( a+bx+cx^2+...) differenzierbar ist.

2. Linearisierung ist nicht anwendbar, wenn eine physikalische Einheit abgeleitet würde - ich darf nicht einfach den Betrag linearisieren und die Einheit "mit hinüber retten". Richtig?

Nicht richtig. Am besten, du zeigst ein Beispiel, wo klar wird, was du meinst, dann kann ich oder jemand anders versuchen, das genauer zu erklären.

3. Wenn ich Linearisierung anwenden möchte, reicht es, mir zu überlegen, wie stark sich der Funktionswert bei sehr kleinen Änderungen des Arguments in der Nähe von f(0) ändert. Richtig? Oder muss ich weitere Prüfungen vornehmen? (Hier geht es noch nicht um Zweckmäßigkeit!)

Naja, was man macht, ist einfach nur die Funktion ableiten. Linearisieren heißt, die Näherung: f(x0+x) ≈ f(x0)+f'(x0)*x anzuwenden. Das wird genauer, je näher du an den sog. Entwicklungspunkt x0 (in deinem Fall x0=0) gehst.

4. Dass der Lorentzfaktor für v = c nicht definiert ist, ist unerheblich, da ich nur v << c betrachten möchte. Richtig?

Ja.

5. Ob es zweckmäßig ist, zu linearisieren, muss ich selbst erkennen lernen. Richtig?

Ja. Das macht man dann, wenn eine Größe oder eine Abweichung von einer Bezugsgröße klein ist. Was genau "klein" ist, hängt natürlich vom konkreten Fall ab.[/quote]


Edit: Meine Autokorrektur kann leider kein Mathe. Ich hoff ich habe alles korrigiert.
Ahja, sorry, ich bin nicht ganz auf der Höhe. Dass ich mich selbst zitiert habe, war natürlich ein Versehen.

Danke!

Auch für f(x₀+x) ≈ f(x₀)+f'(x₀)*x - das ist präziser als im Video! Das Buch habe ich (noch) nicht, aber wenn ich über 'sowas' stolpere, dann sollte ich es wohl bestellen...

Anke schrieb:

Ich glaube, ich kann meine Frage inzwischen beantworten.

Die allgemeine Linearisierungsvorschrift, wie sie in Folge 14 bei 2:02 an der Tafel steht - f(x) ≈ f(0) + f'(0) * x - ist eine Summe.

Falls f(x) eine Einheit hätte - sagen wir mal "irgendetwas pro Sekunde" - dann ergäbe sich bei Ableitung nach der Zeit "irgendetwas pro Sekunde zum Quadrat".

Nein, das geht schon in Ordung.
Wenn Du df(x)/dx rechnest und dafür wieder mit x multiplizierst, ändern sich die Einheiten nicht, egal wie oft man differenziert, solange man genauso oft mit der Größe wieder multipliziert.
[f(x)] = [f'(x)x] = [f"(x)x²] = [f"'(x)x³] ...

Das verstehe ich!...so einfach ist das also... ich habe soo lange nicht mehr das Rechnen geübt, obwohl man beim Videoschauen gut jederzeit "pause" drücken und zum Bleistift greifen könnte... Ich gelobe Besserung!

Kurz zu #71166: In SI hätte die Hubblekonstante die Einheit 1/s?

(Die Kurzantwort erscheint hier fortlaufend, sorry, bin neu...)

Ich glaube, das Problem der Physik ist nicht die Linearisierung oder Differenzierbarkeit.

Das Problem ist die Integrierbarkeit.

Die meisten Gesetze der Physik werden in Form von Differentialgleichungen definiert. D.h.sie beschreiben, wie ein System auf eine infinitesimale lineare Änderung linear reagiert. Das Problem ist, daraus eine Aussage zu machen, wie sich das System im Großen verhält. Nur in den allerwenigsten Fällen und sehr beschränkten Spezialfällen gelingt es daraus eine Funktion zu finden, die das beschreibt. Selbst eine so simple Formel wie s=ds/dt *t , ist nur bei wenigen Spezialfällen wie einer konstanten Geschwindigkeit exakt zu lösen.

In den meisten Fällen muss Kollege Computer ran. Der simuliert das Geschehen in dem er ebenfalls mit kleinen linearen Teilstücken rechnet.

Anke schrieb:

Kurz zu #71166: In SI hätte die Hubblekonstante die Einheit 1/s?

(Die Kurzantwort erscheint hier fortlaufend, sorry, bin neu...)

Ja, das kann man so schreiben, das ist korrekt. Weshalb ihr Kehrwert auch Hubble-Zeit genannt wird.

Ob man Hz, 1/s oder W/J verwendet, es ist immer das gleiche, auch wenn aus Tradition manchmal eine bestimmte Schreibweise bevorzugt wird, es ist nur wie Schminke.

ra-raisch schrieb:

Ob man Hz, 1/s oder W/J verwendet, es ist immer das gleiche, auch wenn aus Tradition manchmal eine bestimmte Schreibweise bevorzugt wird, es ist nur wie Schminke.

Es geht nach meinem Verständnis darum, dass Mpc keine SI-Einheit ist.

Darüber hinaus kann ich dir nicht ganz zustimmen. Traditionen mag es geben, aber vollkommen willkürliche Einheiten sind nicht das gleiche, die würde und sollte niemand verwenden. Die Expansionsrate in (km/s)/Mpc anzugeben ist sinnvoll, da beschreibend. Die Interpretation als Frequenz ist ebenfalls sinnvoll. Aber W/J ist willkürlich, die Semantik stimmt nicht, das ist dann eben nicht das gleiche.

Die Linearisierung, wie das Wort schon sagt, ist die Verkleinerung des Wertebereichs einer gekrümmten stetigen Kurve auf einen kleinen Bereich, in dem sie linear verläuft.

Man schneidet sozusagen die gekrümmten und für die weitere Betrachtung nicht wichtigen Werte ab.

Man erhält dadurch eine vereinfachte mathematische Beschreibungsweise, die völlig ausreicht, das physikalische Phänomen, das man beschreiben möchte, auch sinnvoll zu beschreiben.

Eigentlich nicht schwer, das zu verstehen.

Thomas

Arrakai schrieb:

Aber W/J ist willkürlich, die Semantik stimmt nicht, das ist dann eben nicht das gleiche.

Ich meinte das allgemein beispielhaft, dafür gibt es womöglich eine sinnvolle Anwendung.

Ich hätte mich besser auf etwas Bekanntes wie zB auf rad = m/m beschränken sollen.

Anke schrieb:

Danke!

Auch für f(x₀+x) ≈ f(x₀)+f'(x₀)*x - das ist präziser als im Video! Das Buch habe ich (noch) nicht, aber wenn ich über 'sowas' stolpere, dann sollte ich es wohl bestellen...

Nichts zu danken.