THEMA:

Ein sehr tolles Buch.

Auf Seite 90 beinhaltet die Gleichung 2.53 m.E. einen Fehler der klar wird, wenn man die Einheiten vergleicht. Links stehen [m²] und rechts stehen [m2/s].

Vorschlag für die genauere Darstellung:
Nach Gleichung 2.52 führen wir den zurückgelegten Weg des Planeten mit
%DELTA r = r₂ - r₁
ein. (Vektoren sind hier und im folgenden weggelassen)
Die Fläche A kann dann auch mit ausgedrückt werden:
A = r times %DELTA r
Es werden lediglich zwei andere Seiten des Dreiecks benutzt.
Jetzt macht man den Übergang zur differentiellen Betrachtung. Damit wird aus A ein dA und %DELTA r wird zu dr. Wir erhalten:
dA = r times dr
Der Radius r braucht jetzt keinen Index mehr, da die beiden Radien r₁ und r₂ zusammen fallen.
Jetzt wenden wir den Operator d/dt an und erhalten
dA/dt = d/dt( r times dr) = dr/dt times dr + r times dr/dt
Da sowohl dA/dt=0 als auch dr/dt=0 gilt, folgt:
0 = r times dr/dt

Durch nochmaliges Anwenden des Operators d/dt und der selben Vereinfachung erhält man dann die gewünschte Gleichungen
r times d² r/dt² = 0
Diese entspricht dann Gleichung 2.55 im Buch auf Seite 90.

Die Gleichung 2.55 sowie alle Schlussfolgerungen daraus sind korrekt.

Macht weiter so,
Günter

Das Dokument mit den richtigen Gleichungen kann man hier herunter laden: www.dropbox.com/s/q66a5loox32eqyl/kwdwv_1.pdf?dl=0

PS: times steht für das Kreuzproduckt der Vektoren (Latex style), %DELTA steht für den griechischen Buchstaben

Leider sind Anhänge derzeit nicht möglich.
Für Formeln gibt es hier Tex zB \( a^2 + b^2 = c^2 \) , das kann man aber leider in der Vorschau nicht kontrollieren.

Hallo guenter,
das 2. Keplersche Gesetz besagt, dass die beiden Vektoren zu gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreichen. Mit anderen Worten, der FlächenZUWACHS ist konstant, nicht die Fläche. In (Gl. 2.52) betrachten wir zunächst eine Fläche A, die für r1 = r2 null ergibt. Das darf man nicht verwechseln mit dem Flächenzuwachs in (Gl 2.53). Ich habe es wieder A genannt, weil ich dachte, der Text würde es klarstellen und ich wollte vermeiden, dass ich hier A_punkt schreibe und dann später A_zweipunkt brauche. Im Video hatte ich es so gemacht und es schien mir unnötig kompliziert.
Wir betrachten also die hinzugewonnene Fläche A pro Zeit, nachdem einer der Vektoren "losgefahren ist". Diese Fläche pro Zeit hat somit nicht die Einheit Fläche sondern Fläche pro Zeit.
Jetzt gilt es zu zeigen, dass genau dieser Flächenzuwachs pro Zeit zeitlich konstant ist, deshalb leiten wir ihn nach der Zeit ab und setzen ihn null.
Ich vermute, das Missverständnis entsteht durch die Verwendung der Variable A für zwei unterschiedliche Betrachtungen. Ich dachte, der Text würde das entschärfen. Wäre es einfacher zu verstehen, wenn wir von A_punkt und A_zweipunkt reden? Dann könnte man beginnen mit dA = r x r_Punkt mal dt. Im nächsten Schritt steht dann A_Punkt = r x r_Punkt und schließlich A_Zweipunkt = 0. Dass also die Änderung der Änderung der Fläche konstant ist? Ich glaube, so hatte ich es im Video gemacht.
Danke für den Hinweis.

Hallo Herr Gaßner,

vielen Dank für Ihre Antwort.
Ich habe den Text auf Seite 90 nach Gleichung 2.52 noch ein paar mal gelesen und bin damit auch nicht richtig glücklich.

Meine Kritik ist, daß die Gleichung A=r₁ x r₂ (Betrag, Halbe) nur für eine infinitesimal kleine Fläche äquivalent zur Fläche, die die Ellipse und der Leitstrahl beschreibt, ist. Das Kreuzprodukt beschreibt ansonsten nur das Dreieck, welches die beiden Vektoren aufspannen. Für einen makroskopischen Winkel ist die Fläche des Leitstrahls größer als die des Dreiecks. Gedanklich bleibe ich beim Lesen dieses Abschnitts schon an dieser Stelle hängen, wenn Sie einen Vektor fest halten und den anderen laufen lassen. Da verliere ich das differentielle Element. Diese infinitesimalen Elemente dA und dr sind für mich der Ausgangspunkt der Differentialrechnung.

Auch die Aussage "Die zeitliche Änderung des Vektors entlang seiner Reise ist gleichbedeutend mit der zeitlichen Ableitung nach der Zeit" trifft es meiner Meinung nach nicht gut. Aus meiner Sicht beschreibt das mehr das Integral nach dem Weg. Das Integral über dA nach dr liefert uns die Fläche A, die die beiden Vektoren und die elliptische Bahn aufspannen. Da sich der Planet bewegt, kann man das Integral auch über die Zeit ausführen, wenn man die veränderliche Geschwindigkeit in die Gleichung bekommt.

Vielleicht gehen wir noch mal ein Stück ins Abstrakte. Mit dem Abschnitt wollen Sie die Differentialgeometrie zur Lösung eines physikalischen Problems vorstellen. Der Vorteil des differentiellen Elements ist es hier, daß z.B. die Geschwindigkeit des Planeten in dem differentiellen Element (dA, dr) konstant ist. Die Winkel in dem Dreieck spielen keine Rolle. D.h. die differentielle Betrachtung ermöglicht es ein komplexes Problem in einem infinitesimalen Element einfach zu beschreiben. Anschließend kann man mit formaler Mathematik Umformungen vornehmen, um die gewünschten Ergebnisse zu erhalten. Dem Leser diese Systematik zu zeigen, ist doch das übergeordnete Ziel.

Ich hoffe, daß Ihnen die Anregung weiter hilft.

Viele Grüße
Günter

Guten Tag, Herr Gaßner,
sicher standen Sie beim Schreiben ständig vor der Frage, welche Abstriche an der mathematischen Exaktheit dem durchschnittlichen Leser das Verständnis erleichtern oder ihn eher verwirren. Auch des Essen des besten 3-Sterne-Kochs wird nicht all seinen Gästen schmecken. Und so werden auch Sie es natürlich nicht allen recht machen können. Bitte missverstehen Sie deshalb mein persönliches Feedback deshalb nicht als Aufforderung, den Text anzupassen. Aber im Zusammenhang mit anderen Rückmeldungen können Sie dadurch die Wirkung des Textes auf den durchschnittlichen Leser vielleicht leichter einschätzen:

1.) Ihr Vorschlag, von der Gleichung für eine beliebig kleine Fläche d_A auszugehen, und erst durch die Division durch d_t auf A_Punkt zu schwenken, könnte das Verständnis tatsächlich erleichtern.
2.) Eine Abweichung zwischen Video und Buch wirft beim Leser/Zuschauer grundsätzlich Fragen auf und sollte sehr gut motiviert sein, insbesondere wenn die Darstellung im Video "korrekter" ist. Vielleicht haben Sie entsprechende Rückmeldungen zum Video ja bewogen, die Darstellung im Buch zu ändern. Mich persönlich würde ein zweiter Punkt über dem A nicht ängstigen.
3.) Was ich weniger hilfreich finde, ist die etwas verschwommene Abgrenzung zwischen Vektoren und Skalaren. Dies fängt bereits bei Gleichung (2.50) an, wo auf der linken Seite der Gleichung ein Skalar und auf der rechten ein Vektor steht. So muss ich mir die Betragsstriche auf der rechten Seite selbst dazu denken. Die semantischen Unterschiede zwischen dem Gleichheits- und dem Äquivalenzzeichen halte ich nicht für gravierend genug, um ein neues Zeichen ohne Erläuterung einzuführen.
4.) Das Weglassen der Vektorpfeile ab Gleichung (2.51) hat mir nicht geholfen. Ich muss sie mir ebenso dazu denken wie die Betragsstriche in Gleichung (2.50).
5.) Insbesondere das Kreuzprodukt A = r_1 x r_2 wird im Text als Fläche betrachtet, und nicht als Vektor dessen Länge der Fläche entspricht (in entsprechenden Einheiten). Ich finde, es würde nichts schaden, sich hier anhand des Kreuzproduktes bewusst zu machen, dass die Mathematik nicht die Physik "ist", sondern nur eine nützliche Sprache mit mehr oder weniger guten Analogien.
6) Vielleicht würde die explizite Darstellung von r_Punkt als Geschwindigkeitsvektor, der bei Bahnen geringer Exzentrizität nahezu senkrecht auf dem Vektor r steht, das Verständnis erleichtern. Selbst wenn viele Leser die Differentiation noch aus der Schule kennen, würde ich das für mehrdimensionale Analysis nicht voraussetzen. Vielleicht ist nicht jedem Leser klar, was er sich unter der Richtung und Länge von r_Punkt vorzustellen hat.

Wie gesagt, ist alles eine Frage des persönlichen Geschmacks.